Seriál 16. ročníku

Celý seriál je také možné nalézt v ročence.

Úlohy

1. Série 16. Ročníku - S. komplexní čísla

 

  • Spočtěte reálnou a imaginární část sin($a+bi)$.
  • Pomocí komplexní symbolické metody odvoďte vztah pro rezonanční frekvenci paralelního RLC obvodu, tj. nalezněte frekvenci, pro kterou má při konstantním napětí celkový proud v obvodu minimální amplitudu.
  • Sečtěte pomocí komplexních čísel následující řady. (Návod: řada $A+Bi$ je geometrická.)

$$A=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n\delta}\cos(n\varphi),   B=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n\delta}\sin(n\varphi)$$

2. Série 16. Ročníku - S. limity a derivace

 

  • Dokažte, že těleso, které má v čase $t$ polohu $x = gt^{2}/2$ + $v_{0}t$ + $x_{0}$ se pohybuje se zrychlením $g$.
  • Spočítejte lim_{$x→1}(x^{2}$ − 4$x$ + 3)/($x^{2}$ + 2$x$ − 3)
  • Nahraďte co nejlépe funkcí $f$ v okolí bodu $x$ = 0 lineární funkcí, víte-li $f(0)=3$ a $f'(0)=-2$.
  • Jaký je poměr výšky a průměru podstavy válce, který má při daném povrchu maximální objem?

3. Série 16. Ročníku - S. integrály

 

  • Spočítejte nitegrály funkcí $y=x^{2}e^{x}$, y = $\sin^{3}xcos^{2}x$.
  • Určete obsah obrazce, který je ohraničen funkcemi $y_{1}=√(|x|)+√(1-|x|)$, $y_{2}=√(|x|)-√(1-|x|)$. Tento obrazec nakreslete.

4. Série 16. Ročníku - S. diferenciální rovnice

 

  • Organizátor FYKOSu vypil velmi rychle láhev tvrdého alkoholu. Alkohol se z žaludku vstřebává do krve rychlostí úměrnou jeho množství (v žaludku)

s konstantou úměrnosti $\alpha$ a z krve je odbouráván játry podle stejného vztahu, tentokrát však s konstantou úměrnosti $\beta$. Sestavte diferenciální rovnici popisující tyto děje, určete závislost množství alkoholu v krvi na čase, určete čas, ve kterém je koncentrace maximální a vypočítejte ji.

  • Šnek plazící se rychlostí 1 mm.s^{-1} se v čase $t_{0}$ postaví na začátek gumového lana dlouhého 1 m a začne se plazit. Ve stejném okamžiku se lano začne napínat rychlostí 1 m.s^{-1} (je nekonečně pružné takže nikdy nepraskne). Rozhodněte, zda šnek dosáhne konce lana v konečném čase a pokud ano, spočítejte, za jak dlouho se tak stane.
  • Takzvaná redukovaná Gaussova rovnice má tvar

$xy''+(\ga\;\mathrm{mm}a$ -x)y'-\alpha y$ = 0

Předpokládejte řešení ve tvaru Taylorova polynomu, určete vztah pro jeho koeficienty a vyšetřete asymptotické chování řešení (tj. určete jakou funkcí by se dalo vystihnout jeho chování pro velká $x)$. Určete pro jaké hodnoty koeficientů $\ga\;\mathrm{mm}a$ a $\alpha$ je konečný tento integrál

∫ _{0} ^{\infty} e^{$x/2}$ $F(\alpha$, $\ga\;\mathrm{mm}a$, $x)$ d$x$,

kde $F(\alpha$, $\ga\;\mathrm{mm}a$, $x)$ značí řešení Gaussovy rovnice (takzvaná redukovaná hypergeometrická funkce). Poznámka: Pokud označíme $E=-1/\alpha^{2}$, dostaneme z poslední rovnice pro $E$ zajímavou podmínku. A pokud se vám při pohledu na ni začíná vybavovat vzorec pro možné hodnoty energie elektronu v atomu vodíku, pak vězte, že podobnost s vaším výsledkem není vůbec náhodná.

5. Série 16. Ročníku - S. algebra

 

  • Dokažte, že vektory $v_{1}=(1,2,3)$,

$v_{2}=(-1,0,1)$, $v_{3}=(1,1,1)$ jsou lineárně závislé.

  • Vyřešte následující soustavu diferenciálních rovnic pomocí výpočtu exponenciály matice

<table><tr><td rowspan=„2“>(</td><td>x'</td><td rowspan=„2“>) = (</td> <td>a</td><td>-b</td><td rowspan=„2“>) (</td><td>x</td><td rowspan=„2“>)</td></tr> <tr><td>y'</td><td>b</td><td style=„text-align:right“>a</td><td>y</td></tr></table>

Diskutujte tvar trajektorie řešení v rovině ($x,y)$ v závislosti na znaménku parametrů $a,b$.

Nápověda: Zjistěte, zda „náhodou“ neexistuje jistá podobnost mezi maticí této soustavy a komplexním číslem $a$ + $bi$ a vzpomeňte si na vzorec pro exponenciálu komplexního čísla z prvního dílu seriálu.

  • Napište matice $R_{1}$, $R_{2}$,

$R_{3}$ popisující prostorové rotace o úhel \pi/2 okolo os $x$, $y$ a $z$ a spočítejte komutátory [$R_{1}$, $R_{2}]$, [$R_{2}$, $R_{3}]$, [$R_{1}$, $R_{3}]$.

Jako nepovinný bonus se můžete pokusit své výsledky zapsat v jednotném tvaru pomocí takzvaného $Levi-Civittova$ \epsilon$ [čti: levičivitova]. Levi-Civittovo \epsilon je symbol se třemi indexy \epsilon_{ijk}, kde i,j,k = 1,2,3, který nabývá následujících hodnot: Mají-li alespoň dva z jeho indexů stejnou hodnotu, je \epsilon_{ijk} = 0. Dále \epsilon_{123} = 1 a pro všechny ostatní permutace indexů (1,2,3) získáme jeho hodnotu tak, že vyjdeme z posloupnosti 1,2,3, kterou budeme postupně modifikovat přehazováním poloh dvou čísel (např. z (1,2,3) na (2,1,3)) a to tak dlouho, dokud nedospějeme k permutaci indexů která nás zajímá. Pokud byl počet kroků (přehození dvou čísel) sudý, bude \epsilon_{ijk} a v opačném případě je \epsilon_{ijk} = -1 (jedná se o totálně antisymetrický tenzor třetího řádu).

6. Série 16. Ročníku - S. vícerozměrné integrály

 

  • Spočítejte průměrnou vzdálenost cestovatele náhodně se pohybujícího po severní polokouli od severního pólu a od rovníku (předpokládejte že cestovatel se pohybuje rovnoměrně po celém povrchu polokoule, za vzdálenost berte délku cesty po povrchu Země).
  • Uvažujte nekonečně vysokou rotačně symetrickou věž, jejíž poloměr ve výšce $h$ nad zemí je $r=a/(1+(h/a))$, kde $a=1\;\mathrm{m}$. K dispozici máme barvu, jejíž krycí schopnost je 10 m^{2} na litr. Rozhodněte, zda potřebujeme více barvy na natření nebo naplnění této věže barvou.
  • Trpaslíci se rozhodli, že pomohou Sněhurce při vaření. Sněhurka tedy rozkrájela jeden (dokonale kulatý) brambor na sedm stejně tlustých plátků a rozdala je trpaslíkům k oškrábání. Rozhodněte, který z trpaslíků bude mít nejvíce práce (trpaslíkem vynaložené usílí je úměrné povrchu oškrábané šlupky).
Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz