Seriál 18. ročníku

Celý seriál je také možné nalézt v ročence.

Úlohy

1. Série 18. Ročníku - S. kinematika hmotného bodu

* Poloha hmotného bodu v závislosti na čase v kartézské souřadnicové soustavě je popsána polohovým vektorem $\vect{r}(t) =(R \cos\(\omega t\)$,R sin\(\omega t\),d)\,.$$ Určete, jak závisí na čase vektory $v(t)$ a $a(t)$. Vypočítejte také tečnou, normálovou a binormálovou složku zrychlení.

  • Kolo poloměru $R$ se valí bez prokluzování po přímé dráze rychlostí $v$. S kolem je pevně spojen bod ve vzdálenosti $r$ od středu. Určete jeho pohyb a rychlost jako funkce času v soustavě spojené se Zemí. Může být jeho rychlost v určitém okamžiku nulová?

Zadali autoři seriálu Honza Prachař a Jarda Trnka.

2. Série 18. Ročníku - S. Newtonovy pohybové rovnice

 

  • Napište a řešte pohybové rovnice hmotného bodu v tíhovém poli Země. Souřadnicovou soustavu orientujte tak, že osy $x$ a $y$

jsou vodorovné a osa $z$ míří vzhůru. Počáteční poloha hmotného bodu je $\textbf{r}_{0} = (0,0$,$h)$, počáteční rychlost je $\textbf{v}_{0} =(v_{0}\cosα,0,v_{0}\sinα)$.

  • Muž s puškou sedí v křesle, které se otáčí kolem svislé osy s frekvencí

$f$ = 1 Hz. Spolu s křeslem se otáčí terč, který je k němu pevně upevněn. V jistém okamžiku muž vystřelí kulku rychlostí $v$ = 300 km/h směrem od osy otáčení přesně do středu terče. V jakém místě prorazí kulka terč? Řešte jak z pohledu neinerciální, tak z pohledu inerciální vztažné soustavy. Vzdálenost hlavně od středu terče je $l=3\;\mathrm{m}$, odpor vzduchu zanedbejte.

  • Vyjádřete závislost rychlosti hmotného bodu na poloze v gravitačním poli Slunce.

Zadal Honza Prachař.

3. Série 18. Ročníku - S. Lagrangeovy rovnice 1. druhu

 

  • Mějme hmotný bod zavěšený na nehmotném a nepružném vlákně. Zaveďte kartézskou souřadnicovou soustavu a v ní napište podmínku pro hmotný bod. * Napište Lagrangeovy rovnice 1. druhu pro hmotný bod z části a). Ukažte, že jsou ekvivalentní s rovnicí matematického kyvadla d^{2}$\varphi/dt^{2}$ + $g/l$ \cdot sin $\varphi$ = 0, kde $\varphi$ je úhlová výchylka z rovnovážné polohy. * Malé těleso je v klidu na vrcholu polokoule a začne klouzat dolů. Pomocí Lagrangeových rovnic 1. druhu určete, v jaké výšce se těleso odlepí od polokoule. ( Nápověda: Těleso se odlepí v okamžiku, kdy $\lambda$ = 0.)

Úlohu zadali autoři seriálu Honza Prachař a Jarda Trnka.

4. Série 18. Ročníku - S. Lagrangeovy rovnice 2. druhu

figure

Malý korálek o hmotnosti $m$ klouže bez tření na drátu ve tvaru kruhové smyčky poloměru $R$, smyčka se otáčí konstantní úhlovou rychlostí $Ω$ kolem svislé osy (viz obrázek).

  • Vhodně zvolte zobecněnou souřadnici a sestrojte Lagrangeovu funkci problému.
  • Sestavte Lagrangeovu rovnici 2. druhu, která popisuje pohyb korálku.
  • Rozhodněte, kdy je rovnovážná poloha v nejnižší poloze smyčky stabilní a kdy je labilní v závislosti na $Ω$. Pro $Ω$, kdy je tato poloha stabilní, vypočítejte periodu kmitů korálku kolem této polohy.
  • Za bonusové body nalezněte další rovnovážné polohy a diskutujte, zda jsou stabilní, nebo labilní. Pokud jsou stabilní, určete periodu kmitů kuličky kolem těchto rovnovážných poloh.

Navrhli autoři seriálu Jarda Trnka a Honza Prachař.

5. Série 18. Ročníku - S. Merkur, jáma a kyvadlo

figure

V následujících úlohách ověříme vaši znalost všech dosud probraných kapitol mechaniky, tj. Newtonova formalismu, D'Alembertova principu a Lagrangeova formalismu.

  • Představte si planetu Merkur obíhající kolem Slunce. Jak známo, jeho eliptická trajektorie se stáčí (posouvá se poloha perihélia), což nemůže být způsobeno gravitační silou $\textbf{F}=κ(mM\textbf{r})⁄r^{3}$.

Dokažte, že když k této síle přidáme dodatečnou centrální sílu $\textbf{F}=C(\textbf{r})⁄r^{4}$, kde $C$ je vhodná konstanta, celá trajektorie (elipsa) se bude otáčet konstantní úhlovou rychlostí (čili existuje vztažná soustava otáčející se konstantní úhlovou rychlostí taková, že trajektorie v ní bude elipsa). Znáte-li tuto úhlovou rychlost $Ω$, určete konstantu $C$. Stačí takováto oprava k záchraně Newtonovy teorie gravitace?

  • Určete rovnovážné polohy homogenní tyčky délky $l$ opřené o vnitřní stěny jamky ve tvaru písmene „V“ (viz obr. 12) v závislosti na vrcholovém úhlu jamky $α$.
  • Pomocí Lagrangeových rovnic vypočítejte periodu malých kmitů dvojzvratného kyvadla na obrázku 13. Závaží na koncích nehmotné tyčky délky $l$ mají hmotnosti $m_{1}$ a $m_{2}$, vzdálenost bodu závěsu od závaží o hmotnosti $m_{1}$ je $l_{0}$.

a)Na úlohu narazil Matouš v jedné pěkné ruské knize. b), c) Zadal Honza Prachař a Jarda Trnka.

6. Série 18. Ročníku - S. Hamiltonův formalismus

Langrangián částice v elektromagnetickém poli je$L=\frac{1}{2}mv-qφ+q\textbf{v}\cdot \textbf{A}=\frac{1}{2}\;\mathrm{m}\cdot \sum_{i=1}^{3}v_{i}-qφ+q\cdot \sum_{i=1}^{3}v_{i}A_{i}$,

kde $φ$ je elektrický potenciál a $\textbf{A}$ magnetický vektorový potenciál.

  • Určete zobecněné hybnosti částice $p_{i}$ příslušející rychlostem $v_{i}$.
  • Napište Hamiltonovu funkci (v proměnných ($x_{i}$, p$_{i})!)$.
  • Řešte Hamiltonovy rovnice, je-li $\textbf{A}=**0**$ a $φ=-Ex_{1}$.

Zadal Honza Prachař.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz