Seriál 19. ročníku

Celý seriál je také možné nalézt v ročence.

Úlohy

1. Série 19. Ročníku - S. pravděpodobnost

 

  • Z balíčku 32 karet se náhodně vyberou tři karty. Zjistěte pravděpodobnosti jevů, že mezi vybranými kartami bude právě jedno eso, alespoň jedno eso, ani jedno eso.
  • $Nstejných$ částic se nachází v nádobě. Určete pravděpodobnost, že v levé půlce bude o $m$ částic více než v pravé půlce. Nakreslete graf závislosti pro $N=10^{10}$. Rozsah $m$ volte tak, aby pravděpodobnost na krajích intervalu byla desetinová oproti středu intervalu. Jak závisí šířka křivky (tj. rozdíl $m_{2}-m_{1}$, kde $m_{2}>0$ a $m_{1}<0$ jsou hodnoty $m$, pro které je pravděpodobnost poloviční oproti maximu) na $N?$
  • Odhadněte velikost ln ($n!)$ (bez použití Stirlingova vzorce).

Autor seriálu Matouš Ringel.

2. Série 19. Ročníku - S. aparát statistické fyziky

 

  • Jaký je vztah mezi počtem mikrostavů Ω($E)$ termostatu s energií ≤ $E$

a veličinou $η(E)$ (tj. počtem mikrostavů s energií v intervalu $E±Δ)$ pro malá Δ?

  • Mějme systém $N$ nezávislých harmonických oscilátorů, přičemž energie každého oscilátoru může nabývat hodnot $nhω$ s $n=0,1,2$,…

(zanedbáváme energii nulových kmitů). Jaký bude mít tvar veličina $η(E)$ a $β(E)$ pro velká $N$ a $E?$

  • Najděte stejné veličiny jako v předchozím příkladu pro systém $N$ neinteragujících volných elektronů uvězněných na úsečce,

(*) ve čtverci, () v krychli. Nápověda:** Použijte de Broglieho relace mezi hybností a vlnovou délkou de Broglieho vlny. Na úsečku se musí vejít celý počet půlvln. De Broglieho vlny ve čtverci si lze představit coby součin vln ve směru osy $x$ a osy $y$, kvantovací podmínka je podobná jako pro úsečku.

Autorem je Matouš.

3. Série 19. Ročníku - S. aplikace statistické fyziky

 

  • Pomocí podobné úvahy jako v příkladu v textu určete, jaký tvar má Gultbergův-Waageův zákon pro složitější reakce (např. 2$A+B->A_{2}B)$. Zkuste zjistit, jestli (a jak dobře) tento zákon odpovídá skutečnosti.
  • Z Maxwellova-Boltzmannova rozdělení odvoďte, jaké mocnině teploty je úměrná střední kinetická energie částic plynu. Ověřte si, že jste schopni stejnou metodou zjistit, jak závisí na teplotě střední hodnota libovolné mocniny rychlosti.
  • Mějme systém nezávislých spinů, diskutovaný v textu,

o teplotě $T_{1}$, který se nachází v magnetickém poli o velikosti $B_{1}$. Následně systém adiabaticky zaizolujeme (tj. zavřeme jej do termosky, aby z něj nemohlo odcházet žádné teplo) a budeme pomalu zmenšovat magnetické pole až na hodnotu $B_{2}$. Kvalitativně vysvětlete, proč se bude snižovat teplota systému. Pokud možno vypočítejte, jaká bude výsledná teplota $T_{2}$.

Nápověda: Práce vykonaná na systému s magnetickým momentem $M$ při malé změně magnetického pole $B$ o d$B$ je dána vztahem d$W=-MdB$.

Autor seriálu, Matouš Ringel.

4. Série 19. Ročníku - S. díl čtvrtý

 

  • Jakou tepelnou kapacitu plynu složeného z tříatomových molekul s atomy uspořádanými do vrcholů trojúhelníku předpovídá klasická fyzika?

Na jakou hodnotu tato kapacita poklesne při snížení teploty na 100 K?

  • Zjistěte chování výrazů pro vnitřní energii krystalu a energetické spektrum záření černého tělesa pro malé teploty. Odvoďte dále tzv. Wienův posunovací zákon. Ten říká, že frekvence ω_{m}, pro níž má závislost intenzity záření černého tělesa na teplotě maximum, je přímo úměrná teplotě.
  • Vypracujte lepší teorii tepelné kapacity krystalu, aby uvažovala kolektivní kmity atomů. Případné integrály nemusíte počítat.
  • *Nápověda:** Uvědomte si, že se krystalem šíří zvukové vlny (jak příčné, tak podélné, a to různými rychlostmi). Počet módů nemůže být větší, než je počet stupňů volnosti 3$N$ krystalu

($Nje$ počet částic).

Zadal autor seriálu Matouš Ringel

5. Série 19. Ročníku - S. fermiony a bosony

 

  • Najděte hustotu stavů $g(E)$ pro volné elektrony a pomocí ní určete vztah mezi počtem elektronů a Fermiho energií při nulové teplotě. Zjistěte, jak musí záviset Fermiho energie na teplotě

(při nevelkých teplotách), aby byl počet elektronů konstantní. Nakonec odhadněte počet excitovaných elektronů při pokojové teplotě.

Nápověda: Nechte se inspirovat minulými díly seriálu a úlohami k nim.

  • Určete závislost μ na teplotě při malých teplotách a konstantním počtu částic v systému stejných bosonů. Najděte teplotní závislost počtu excitovaných bosonů při nízkých teplotách.

Zadal autor seriálu Matouš Ringel.

6. Série 19. Ročníku - S. poslední úloha

 

  • Kvalitativně popište, jak se chová tepelná kapacita Isingova modelu s nulovým vnějším magnetickým polem v okolí kritické teploty.
  • Podobným postupem, jako jsme vypočítali chování magnetizace $m$ v okolí kritického bodu, určete chování susceptibility $χ$

(lim_{$B→0}∂m⁄∂B)$ a závislost magnetizace na magnetickém poli při kritické teplotě.

  • Ukažte, že model mřížového plynu vede ke kondenzaci a určete kritickou teplotu.
  • Prozkoumejte model binární slitiny.

Zadal autor seriálu Matouš Ringel.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz