Seriál 21. ročníku
Celý seriál je také možné nalézt v ročence.
Úlohy
1. Série 21. Ročníku - S. gravitace
Krom programu TriHvezdy.xls. Může se vám hodit přečíst již zmíněný dokument Úvod do programování. Díky němu budete určitě schopni stáhnout a přeložit program Planeta.pas, TriHvezdy.pas. Cvičením a přípravou na úlohy je tyto programy pochopit a lehce si s nimi pohrát, zkusit si do nich „zašťourat“ či je lehce poupravit.
- Úkolem prvním je obohatit alespoň dva programy o něco svého nebo je upravit podle svého. Například nejrůzněji pozměňte počáteční podmínky a hmotnosti. Nebo k systému přidejte další planetu či další hvězdu. Také můžete vyzkoušet pozměnit gravitační zákon a počítat se silou $F=A⁄R+B⁄R$, kde $A$ a $B$ jsou pevně zvolené konstanty apod.
- Uvažujte dvě stejně těžké hvězdy, které kolem sebe obíhají po kružnici. Po ose této kružnice se k nim začne náhle přibližovat hvězda třetí, která má na začátku stejnou rychlost, jakou se pohybují hvězdy obíhající, a rovněž sdílí i jejich hmotnost. Počítačově nasimulujte, co se bude dít.
Jako řešení obou úloh nám prosím zašlete obrázky s bohatým komentářem. Uveďte alespoň stručné vysvětlení, co to na těch obrázcích je. Dále, jakým způsobem jste při výpočtu postupovali a pomocí kterého výpočetního systému jste jej provedli.
Zadal autor seriálu Lukáš Stříteský a Marek Pechal.
2. Série 21. Ročníku - S. porcování divokých rovin
Skladování uranu
Palčivá otázka jaderné energetiky je skladování vyhořelého radioaktivního paliva. Většinou se skladuje ve válcových článcích ponořených ve vodní lázni, která drží jejich povrch na konstantní teplotě asi $20\,\jd{ °C}$. Na vás je nyní zjistit, jaké bude rozložení teploty v článcích tvaru kvádru se čtvercovou podstavou o hraně délky $20\,\jd{ cm}$. Článek bude poměrně vysoký a proto nás zajímá rozložení tepla v příčném řezu. Uran bude zaujímat koncentrický kvádr se čtvercovou podstavou o hraně $5\,\jd{ cm}$. Ze zkušenosti s válcovými kapslemi víme, že bude mít konstantní teplotu okolo $200\,\jd{ °C}$.
Zahřívající se drát
Máme velmi dlouhý drát kruhového průřezu o poloměru $r$ z materiálu o tepelné vodivosti $λ$ a měrné elektrické vodivosti $σ$. Přiložíme na něj konstantní elektrické napětí. Nechť je intenzita elektrického pole (tj. napěťový spád) uvnitř drátu konstantní, rovnoběžná s jeho osou a její velikost budiž $E$. Pak drátem bude procházet proud o plošné hustotě $j=σE$ a bude se vytvářet Jouleovské teplo s objemovým výkonem $p=σE$.
Protože materiál drátu má nenulovou tepelnou vodivost, vytvoří se v něm jisté rovnovážné rozložení teploty, které – jak víme – splňuje Poissonovu rovnici $λΔT=-p$. Předpokládáme, že okraj drátu udržujeme na dané teplotě $T_{0}$. Tím máme dánu okrajovou podmínku potřebnou k vyřešení rovnice. Vzhledem k symetrii problému se můžeme omezit na její řešení pouze ve dvou rozměrech – na průřezu vodiče (teplota jistě nebude záviset na posunutí podél osy vodiče). Nyní by již bylo jednoduché problém vyřešit popsanými metodami.
My si však situaci maličko zkomplikujeme a budeme předpokládat (zcela oprávněně), že měrná elektrická vodivost $σ$ závisí na teplotě. Budeme tedy mít rovnici typu $ΔT=f(T)$.
Pokuste se tuto rovnici numericky vyřešit pro nějakou danou závislost vodivosti na teplotě (můžete si ji najít v literatuře, na internetu, nebo si klidně nějakou vymyslet) a najít tak rozložení teploty na průřezu drátu. Můžete se pokusit měnit intenzitu elektrického pole $E$ a nakreslit voltampérovou charakteristiku drátu, vyzkoušet více druhů závislostí $σ(T)$ (třeba pro polovodič, jehož vodivost s rostoucí teplotou na rozdíl od obyčejného kovu roste) atd.
Vaší iniciativě samozřejmě meze neklademe a těšíme na pěkné nápady.
Kapacita krychle
Vypočítejte kapacitu dokonale vodivé krychle o straně délky $2a$. Pokud se budete nudit, můžete zkusit kvádr (a třeba závislost kapacity na délkách jednotlivých stran), případně jiné geometrické objekty.
Nápověda: Kapacita je poměr náboje na krychli rozmístěného ku potenciálu povrchu krychle (za předpokladu, že potenciál v nekonečnu je nulový). Problém tedy lze řešit tak, že si zvolíme libovolně potenciál krychle, vyřešíme Laplaceovu rovnici $Δφ=0$ vně krychle a vypočítáme celkový náboj na krychli užitím Gaussova zákona (tj. určením intenzity elektrického pole derivováním potenciálu a výpočtem jeho toku vhodně zvolenou plochou obklopující krychli).
Úplným řešením je vymyšlení vhodného fyzikálního modelu, návrh jeho numerického řešení a realizace této úlohy na počítači. Bodově ohodnotíme, pokud úlohu fyzikálně rozvážíte a okomentujete. Nějaký bod by se našel i za návrh algoritmu, který byste rádi počítači předložili.
Zadali autoři seriálu Lukáš Stříteský a Marek Pechal.
3. Série 21. Ročníku - S. bloudění námořníka, pí-obvod a epidemie v Praze
Integrál
Integrujte metodou Monte Carlo funkci $e^{-x^2}$ na intervalu $[ -100,100]$. Zkuste také numericky určit hodnotu tohoto integrálu od $-∞$ do $+∞$.
Návod: Funkce je symetrická vůči počátku, čili ji stačí integrovat na intervalu $[ 0, +∞ )$. Proveďte substituci $x=1⁄t-1$, čímž změníte meze integrálu od $0$ do $1$.
Bloudění námořníka
Opilý námořník vstoupil na molo dlouhé 50 kroků a široké 20 kroků. Jde směrem k pevnině. Při každém kroku dopředu však zavrávorá zároveň o krok nalevo nebo napravo. Zjistěte, s jakou pravděpodobností námořník dojde až na břeh a s jakou pravděpodobností spadne do moře a utopí se.
Námořník měl štěstí a neutopil se. Druhou noc se však opět vydává opilý z lodi na pevninu. Tentokrát však vane stálý vítr o rychlosti $3 \,\jd{m. s^{-1}}$, který způsobí to, že na jednu stranu udělá krok s pravděpodobností 0,8 a na druhou stranu s pravděpodobností 0,2. Zjistěte, s jakou pravděpodobností námořník dojde až na břeh a s jakou pravděpodobností spadne do moře a utopí se.
Třetí noc se námořník opět vydává opilý na pevninu. Tentokrát však vane proměnlivý vítr. Vane podle normálního rozdělení se střední hodnotou $0\,\jd{ m.s^{-1}}$ a disperzí $2\,\jd{ m. s^{-1}}$. Zjistěte, s jakou pravděpodobností tentokrát námořník dojde až na břeh a s jakou pravděpodobností spadne do moře a utopí se. Můžete uvažovat, že námořník jde pomalu a setrvačnost větru lze zanedbat. Komu by to vadilo, nechť vymyslí, jak by vítr v po sobě jdoucích krocích koreloval.
Pí-obvod
Máme k dispozici 50 rezistorů o odporech $50\,\jd{ Ω}$ a chceme z nich sestavit obvod, jehož celkový odpor v ohmech bude co nejblíže číslu $π$. Pokuste se metodou simulovaného žíhání najít obvod, který by tomuto požadavku vyhovoval co nejlépe.
Pro určování celkového odporu obvodu si můžete přizpůsobit program, který najdete na našich webových stránkách.
Pokud se na tento úkol necítíte, můžete zkusit zahrnout do problému obchodního cestujícího zakřivení zemského povrchu a pokusit se jej vyřešit pro nějakou konkrétní množinu měst na Zemi (například všechna hlavní města v Evropě, USA atd.).
Epidemie v Praze
Zkoumejte vývoj epidemie v Praze, uvažujte 1 milión obyvatel. Intenzita nákazy $β$ je $0,4⁄1000000$ za den, uzdravení $γ$ je ( čtyřidny )^{$-1$}. Na počátku je nakaženo 100 lidí. Porovnejte průběh epidemie při očkování předem dvaceti procent lidí s průběhem epidemie při očkování až během epidemie s rychlostí půl procenta denně. A také s průběhem bez očkování. Konec epidemie vyhlásíme, bude-li méně jak 20 lidí nemocných.
Je spousta údajů, které můžete z počítačové simulace získat. Krom středovaného průběhu epidemie uveďte pro zajímavost též graf, kde ukážete prvních pět náhodných simulací. Dále můžete sledovat fluktuace. Můžete též výsledky porovnat s deterministickým modelem, když neuvažujete náhodnost nakažení. Těžištěm hodnocení bude, kolik různých zajímavých dat dokážete hezky zpracovat.
Zadali autoři seriálu Marek Pechal a Lukáš Stříteský.
4. Série 21. Ročníku - S. kvantový harmonický oscilátor
Modelujte časový vývoj vlnové funkce částice, kterou umístíme do potenciálu $V(x)=\frac{1}{2}kx$ a která je v čase $τ=0$ popsána vlnovou funkcí
$ψ_{R}(X,0)=\exp(-((X-X_{0}))⁄4)$,
ψ$_{I}(X,0)=0$.
Jedná se tedy o vlnový balík se středem mimo počátek. Prozradíme vám, že jde o tzv. koherentní stav harmonického oscilátoru a vlnový balík by měl harmonicky kmitat kolem počátku s úhlovou frekvencí $\sqrt{k⁄m}$ stejně jako klasická částice.
Pokud se vám toto podaří namodelovat, můžete vyzkoušet, jak se budou chovat vlnové balíky o jiné šířce (tedy se jmenovatelem v exponenciále odlišným od čtyř), případně jak bude situace vypadat při jiném průběhu potenciálu.
Zadal autor seriálu Marek Pechal.
5. Série 21. Ročníku - S. posloupnosti, horká dutina a bílý trpaslík
- Odvoďte Taylorův rozvoj exponenciály a pro $x=1$ graficky znázorněte posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=1}^{∞}1⁄k!$ spolu s posloupností ${ ( 1 - 1 ⁄ n)^{n}}_{n=1,2,\ldots}$.
Stejným způsobem porovnejte posloupnost ${ ( 1 - 1 ⁄ n)^{n}}_{n=1,2,\ldots}$ a posloupnost částečných součtů řady $\sum_{k=1}^{∞}x^{k}⁄k!$, čili posloupnost ${\sum_{k=1}^{n}x^{k}⁄k!}_{n=1,2,\ldots}$, tentokráte však pro $x=-1$.
- Druhý úkol bude určit závislost koncentrace elektronů a pozitronů na teplotě při celkovém náboji $Q=0$ v prázdné uzavřené horké dutině.
(Bude-li se vám chtít, i při jiných vámi zvolených hodnotách $Q.)$ Dále určete závislost poměru vnitřní energie $U_{e}$ elektronů a pozitronů ku celkové vnitřní energii systému $U$ (tj. součtu energie elektromagnetického záření a částic) na teplotě a určit hodnoty teploty odpovídající některým význačným hodnotám tohoto poměru (např. 3 ⁄ 4, 1 ⁄ 2, 1 ⁄ 4, …; může tento poměr nabývat všech těchto hodnot?).
Pokuste se své výsledky pěkně graficky zpracovat ve formě grafů (můžete zkusit i trojrozměrné).
Při vašem snažení vám může hodně pomoci, pokud si zavedete vhodné bezrozměrné jednotky (např. $βE_{0}$ místo $β$ apod.).
- Řešte soustavu diferenciálních rovnic pro $M(r)$ a $ρ(r)$ v modelu bílého trpaslíka pro několik vhodně zvolených hodnot $ρ(0)$
a pro každou z nich sledujte hodnotu, ke které se blíží $M(r)$ při $r→∞$. Ta je zřejmě rovna hmotnosti celé hvězdy. Pokuste se prozkoumat závislost této celkové hmotnosti na $ρ(0)$ a odhadnout její horní mez. Srovnejte váš výsledek s horní mezí hmotnosti bílého trpaslíka, kterou najdete v literatuře nebo na internetu. Uvažujte, že je hvězda tvořena héliem.
Zadali autoři seriálu Marek Pechal a Lukáš Stříteský.
6. Série 21. Ročníku - S. na přání
Pokuste se o řešení libovolného problému z šesté kapitoly seriálu.
Zadal autor seriálu Marek Pechal.