Seriál 29. ročníku

Celý seriál je také možné nalézt v ročence.

Text seriálu

Úlohy

(6 bodů)1. Série 29. Ročníku - S. seriálová

 

  • Na rozehřátí a seznámení se s čísly zjistěte, do jaké výšky byste mohli zdvihnout průměrného člověka (70 kg), využijete-li celou energii běžné tyčinky Mars (okolo 250 Cal pro 50 g tyčinku). Také vypočtěte, jaká energie je $k_{B}T$ při pokojové teplotě a vyjádřete ji také v elektronvoltech (pokud neznáte takovou jednotku energie, vězte, že je to energie, kterou získá elektron při urychlení na rozdílu potenciálů 1 V, a číselně 1 eV = 1,602 \cdot 10^{-19} J).
  • Se stavovou rovnicí se dá hodně cvičit. Když namísto počtu částic použijete molární množství $n$, dostanete

$$pV = n N_\;\mathrm{A} k_\mathrm{B} T\,,$$

kde se součin $N_{A}k_{B}$ značí $R$ a nazývá se univerzální plynová konstanta. Určete její hodnotu. Také dále upravte stavovou rovnici do tvaru, ve kterém se vyskytuje hmotnost plynu, a potom do tvaru obsahujícího hustotu plynu.

  • Určete objem molu plynu při pokojové teplotě. Toto číslo je užitečné znát zpaměti.
  • Nakonec trochu úvahová úloha. Povšimněte si, že v diskusi o práci ideálního plynu jsme automaticky použili tlak plynu. Zkuste sebe a mě přesvědčit, že je to ten správný tlak – já bych totiž namítal, že jsme mohli použít okolní tlak nebo dokonce rozdíl tlaků vně a uvnitř. $Hodnocení$ této části bude mírné, nebojte se zamyslet a napsat cokoli, na co přijdete.</a>

(6 bodů)2. Série 29. Ročníku - S. seriálová

 

  • Které ze skupiny procesů (izobarický, izochorický, izotermický a adiabatický) můžou být vratné?
  • Vezměte vztah

$T=\frac{pV}{nR}\$,,

kde $n=1mol$, $p=100kPa$ a $V=22l$. O kolik se změní $T$, když $p$ i $V$ zvětšíme o 10$%$, 1$%$ a 0$,1%?$ Spočítejte to dvěma způsoby: přesně a pomocí vztahu $$\;\mathrm{d} T=T_{,p} \mathrm{d} p T_{,V} \mathrm{d} V .$$

Jak se tyto výsledky liší?

  • d gymnastika:
  • Ukažte, že

$$\;\mathrm{d} (C f(x)) = C \mathrm{d} f(x)\,,$$

kde $C$ je konstanta.

  • Vypočítejte

$$\;\mathrm{d} (x^2) \ \quad \mathrm{a} \quad \mathrm{d} (x^3).$$

  • Ukažte, že

$$\;\mathrm{d}\left( \frac 1x \right)= -\frac {\mathrm{d} x}{x^2}$$

z definice, tedy $$\;\mathrm{d} \left(\frac 1x \right)= \frac {1}{x \mathrm{d} x} - \frac 1x$$

Může se vám hodit: $(x \;\mathrm{d} x)(x-\mathrm{d}$ x) = x^2 - (\mathrm{d} x)^2 = x^2$\$,.

  • *Bonus: $Platí \sin \;\mathrm{d} \vartheta = \mathrm{d} \vartheta \quad$ a \quad \cos \mathrm{d} \vartheta = 1.$$ Také máte součtový vzorec $$\sin (\alpha \beta ) = \sin \alpha \cos \beta \cos \alpha \sin \beta,$$ dokažte $$\;\mathrm{d}\left( \sin \vartheta \right)=\, \mathrm{d} \vartheta \cos \vartheta .$$ * Bonus:** Podobně ukažte

$$\;\mathrm{d} \left(\ln x \right)= \frac{\mathrm{d}x}{x}$$

s pomocí $$\ln (1 \;\mathrm{d} x) = \mathrm{d} x$$

  • Vysvětlete fyzikálně, proč je izobarická tepelná kapacita větší než izochorická.

(6 bodů)3. Série 29. Ročníku - S. entropická

 

  • Všechny stavy ideálního plynu umíme nakreslit jako digramy: $pV$ diagram, $pT$ diagram a tak dále. Na svislou osu se vynáší první veličina, na vodorovnou osu se vynáší druhá veličina. Každý bod tedy určuje dva parametry. Načrtněte do $pV$ diagramu 4 děje s ideálním plynem, které znáte. Udělejte to stejné pro $Tp$ diagram. Jak by vypadal $UT$ diagram? Vysvětlete, jak se nevhodnost těchto dvou proměnných jeví na tomto obrázku.
  • Jaké jednotky má entropie? Jaké jiné veličiny s těmito jednotkami znáte?
  • V seriálu jsme rozebrali případ nárůstu entropie, když plyn přijímal teplo. Proveďte podobnou úvahu pro plyn odevzdávající teplo.
  • Víte, že při adiabatickém ději se entropie nemění. Proto entropie jako funkce objemu a tlaku $S(p,V)$ může obsahovat jen takovou kombinaci objemu a tlaku, která se také při adiabatickém procesu nemění. Jaký je to výraz? Nakreslete na $pV$ diagram (svislá osa je $p$, vodorovná $V)$ křivky, na kterých je entropie konstantní. Souhlasí výsledek této úvahy se vzorcem, který jsme pro entropii odvodili?
  • Vyjádřete entropii ideálního plynu jako funkci $S(p,V)$, $S(T,V)$ a $S(U,V)$.

(6 bodů)4. Série 29. Ročníku - S. seriálová

 

  • Z nerovnosti

$$\Delta S_{tot} \ge 0 }$$

ze seriálu vyjádřete $W$ a odvoďte tak nerovnost pro práci

$$W\le Q\left( 1 - \frac {T_C}{T_H} \right).$$

  • Vypočítejte účinnost Carnotova cyklu bez použití entropie.

Pomůcka: Napište si 4 rovnice spojující 4 vrcholy Carnotova cyklu

$$p_1 V_1 = p_2 V_2 $$

$$p_2 V_2^{\kappa} = p_3V_3^{\kappa}$$

$$p_3V_3 = p_4V_4$ p_4V_4^{\kappa} = p_1V_1^{\kappa}$

a vynásobte je všechny čtyři spolu. Po úpravě dostanete

$$\frac {V_2}{V_1} = \frac {V_3}{V_4}.$$

Následně stačí použít vzorec na práci při izotermickém procesu: když přechází proces z objemu $V_{A}$ do $V_{B}$, práce vykonaná na plyn je

$nRT\,\;\mathrm{ln}\left(\frac{V_A}{V_B}\right)$.

Teď už si stačí jen uvědomit, že práce při izotermickém ději je rovná teplu (se správným znaménkem) a vypočítat získanou práci (vzpomeňte si, že adiabatické procesy nepřispívají) a odebrané teplo.

$ Na řešení stačí doplnit detaily tohoto postupu.$

  • Minule jste pracovali s $pV$ a $Tp$ diagramem. Udělejte stejné cvičení s $TS$ diagramem, tedy nakreslete tam izotermický, izobarický, izochorický a adiabatický proces. Nakreslite do diagramu také cestu plynu v Carnotově cyklu a označte správne směr a vrcholy, aby souhlasily s obrázkem v seriálu.
  • V seriálu jsme sa zmínili, že někdy je třeba dávat pozor na přijaté a odebrané teplo. Někdy se totiž to, jestli teplo přijímame nebo odevzdáváme, mění v průběhu procesu. Jeden z příkladů je proces

$p=p_0\;\mathrm{e}^{-\frac{V}{V_0}}$,

kde $p_{0}$ a $V_{0}$ jsou konstanty. Určete, pro jaké hodnoty $V$ (při rozpínání) proudí teplo do plynu a kdy z plynu.

(6 bodů)5. Série 29. Ročníku - S. přirozeně proměnná

 

  • Použijte vztah pro entropii ideálního plynu $S(U,V,N)$ z řešení třetí seriálové úlohy

$$S(U, V, N) = \frac{s}{2}n R \ln \left( \frac{U V^{{\kappa} -1}}{\frac{s}{2}R n^{\kappa} } \right) nR s_0$$

a vztah pro změnu entropie

$$\;\mathrm{d} S = \frac{1}{T}\mathrm{d} U \frac{p}{T} \mathrm{d} V - \frac{\mu}{T} \mathrm{d} N$$

a vypočítejte chemický potenciál jako funkci $U$, $VaN$. Upravte dále na funkci $T$, $paN$.

Pomůcka: Přečtěte si o derivacích a malých změnách v druhém díle seriálu. Nyní by už mělo být zřejmější, že koeficienty jako 1 ⁄ $T$ před d$U$ spočítáte jako parciální derivaci $S(U,V,N)$ podle $U$. Nezapomeňte na užitečný vztah ln$(a⁄b)=\lna-\lnb$ a že $n=N⁄N_{A}$.

Bonus: Vyjádřete tímto způsobem i teplotu a tlak jako funkce $U$, $VaN$. Eliminujte závislost tlaku na $U$, abyste dostali stavovou rovnici.

  • Je chemický potenciál ideálního plynu kladný, nebo záporný ($s_{0}$ považujte za zanedbatelné)?
  • Co se bude dít s plynem v pístu, pokud je plyn napojený na rezervoár s teplotou $T_{r}?$ Píst se může volně pohybovat a z druhé strany na něj nic nepůsobí. Popište, co se bude dít, pokud dovolíme jen kvazistatické procesy. Kolik práce takto dokážeme extrahovat? Platí, že se takto minimalizuje volná energie?

Pomůcka: Na výpočet práce se vám může hodit vztah

$$\int _{a}^{b} \frac{1}{x} \;\mathrm{d}x = \ln \frac{b}{a}.$$

  • Entalpii jsme definovali jako $H=U+pV$, Gibbsovu energii jako $G=U-TS+pV$. Jaké jsou přirozené proměnné těchto potenciálů? Jaké termodynamické veličiny dostaneme derivacemi těchto potenciálů podle svých přirozených proměnných?
  • Vypočítejte změnu grandkanonického potenciálu d$Ω$ z jeho definičního vztahu $Ω=F-μN$.

Janči se snažil představit si chemický potenciál.

(6 bodů)6. Série 29. Ročníku - S. závěrečná

 

  • Najděte v tabulkách nebo na internetu, jak se změní entalpie a Gibbsova energie při reakci

$$2\,\;\mathrm{H}_2 \mathrm{O}_2\longrightarrow2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O},$$

kde jde o přeměnu plynů na plyn a odehrává se při standardních podmínkách. Vypočítejte také, jak se změní entropie při takovéto reakci. Výsledky udávejte vztažené na jeden mol.

  • Pro fotonový plyn platí, že tok energie skrze plochu je dán vztahem

$j=\frac{3}{4}\frac{k_\;\mathrm{B}^4\pi^2}{45\hbar^3c^3}cT^4$.

Dosaďte hodnoty konstant a porovnejte výsledek se Stefanovým-Boltzmannovým zákonem.

  • Vypočítejte vnitřní energii a Gibbsovu energii fotonového plynu. Dále pomocí vnitřní energie vypočítejte závislost teploty fotonového plynu na objemu při adiabatickém rozpínaní, tedy při procesu s $δQ=0$.

Nápověda: Zákon pro adiabatický děj s ideálním plynem jsme odvodili v druhém dílu seriálu.

  • Vezměme si fotonový plyn. Ukažte pro $δQ⁄T$, že pokud ho vyjádříme jako

$$\delta Q / T = f_{,T} \;\mathrm{d} T f_{,V} \mathrm{d} V\,,$$

tak funkce $f_{,T}$ a $f_{,V}$ splňují nutnou podmínku na existenci entropie, tedy že

$$\frac{\partial f_{,T}(T, V)}{\partial V} = \frac{\partial f_{,V}(T, V)}{\partial T} $$

Janči se pokusil vymyslet jednodušší úlohu než posledně.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz