Vyhledávání úloh podle oboru

Efchári a Goiteía jsou dvě složky dvojplanety okolo nedávno vzniklé hvězdné soustavy. Obíhají okolo společného těžiště po kruhových trajektoriích ve vzdálenosti $a = 250 \cdot 10^{3} \mathrm{km}$. Efchári má poloměr $R_1 = 4~300 km$, hustotu $\rho _1 = 4~100 kg.m^{-3}$ a dobu siderické rotace $T_1 = 14 \mathrm{h}$. Goiteía je menší s poloměrem $R_2 = 3~800 km$, má však větší hustotu $\rho _2 = 4~500 kg.m^{-3}$ a kratší dobu rotace $T_2 = 11 \mathrm{h}$. Osy rotace planet i soustavy jsou rovnoběžné. Za několik set milionů let přejde soustava díky slapovým silám do tzv. vázané rotace. Určete výslednou změnu oběžné doby za předpokladu, že tělesa jsou homogenní a přibližně sférická.

Určete velikost třecí síly mezi pístem a stěnou injekční stříkačky, která vám přišla poštou.

Jak by fungovalo letectví na jiných planetách (s atmosférou)? Zajímejte se hlavně o proudová letadla. Které parametry by působily pozitivněji a které negativněji než na Zemi?

Budeme modelovat kmity v molekule oxidu uhličitého. Jedná se o lineární molekulu s jedním atomem uhlíku mezi dvěma atomy kyslíku, ležícími společně na jedné přímce. Uvažujme pouze kmity podél této přímky. Předpokládejme, že pro malé výchylky lze molekulu modelovat jako spojení uhlíkového atomu s každým z kyslíkových pomocí pružin o tuhosti $k$. Atom uhlíku má hmotnost $M$, hmotnost kyslíkového atomu je $m$.

Sestavte rovnice určující síly, které působí na atomy při malých výchylkách podél osy uvažované molekuly. Ta je symetrická vůči záměně některých atomů. Vyjádřete tuto symetrii pomocí matice působící na vámi definovaný vektor výchylek. Dále určete vlastní vektory a vlastní čísla této matice. Takováto symetrie však není kompletní – vysvětlete, které stupně volnosti nezahrnuje.

Dále sestrojte maticovou rovnici popisující kmity systému. Dosazením vlastních vektorů z matice symetrie, které rozšíříte o symetrií neomezené stupně volnosti, určete normální mody systému. Dále spočítejte jejich úhlovou rychlost/frekvenci a načrtněte směry oscilací. Jaké další mody (stále pouze ve směru osy molekuly) by systém mohl obsahovat? Určete frekvenci a směr pro každý mod, jejž se vám podaří nalézt.

Jirka s Káťou si chtějí vyzkoušet bungee-jumping. Na skok z výšky $h = 100 \mathrm{m}$ mají dokonale pružné lano o délce $l=40 \mathrm{m}$, které je kalibrované tak, že když s ním skočí Káťa o hmotnosti $m\_K=50 \mathrm{kg}$, zastaví se ve výšce $h\_K=16 \mathrm{m}$ nad zemí. Může toto lano bezpečně použít Jirka s hmotností $m\_J=80 \mathrm{kg}$? Odpor vzduchu a výšku Káti a Jirky zanedbejte.

Malý myšák Joe se rád katapultuje z konce vrtule ventilátoru tak, že se jednoduše ve vhodnou dobu pustí a odletí. Kdy se má pustit, aby doletěl co nejdál? Vrtule má délku $l$ a otáčí se s úhlovou rychlostí $\omega $, přičemž rovina otáčení je kolmá na vodorovnou rovinu. Dodejme, že střed otáčení je ve výšce $h$ nad zemí.

Dvě vesmírné lodě letí v jedné přímce proti sobě. Jejich počáteční vzdálenost je $d$. První se pohybuje rychlostí $v_1$, druhá $v_2$ (ve stejné vztažné soustavě). První dokáže vyvinout maximální zrychlení $a_1$, druhá $a_2$ (obě v libovolném směru). Posádky lodí si chtějí předat nějaké „zboží“, ale k tomu potřebují, aby se lodě potkaly ve stejný čas na stejném místě a přitom měly stejnou rychlost. Za jaký nejmenší čas je toho možné dosáhnout? Relativistické jevy neuvažujte.

Uvažujte částici s nábojem $q$ a hmotností $m$, která je přichycená k pružině o tuhosti $k$, jejíž druhý konec je ukotven v jednom bodě. Předpokládejte, že pohyb částice je omezen na pohyb v jedné rovině. Celý systém je v magnetickém poli o velikosti $B_0$, které je kolmé na rovinu pohybu částice. Pokusíme se popsat možné oscilace této částice. Začněte sestavením rovnic pohybu pro tuto částici – nezapomňte započítat vliv magnetického pole.

Poté předpokládejte oscilující pohyb pro obě kartézské souřadnice částice, a proveďte Fourierovskou substituci, tj. nahraďte derivace násobky $i \omega $, kde $\omega $ je frekvence oscilací. Vyřešte výslednou soustavu rovnic tak, abyste získali poměr amplitud oscilací a frekvenci oscilací. Takto získané řešení je poměrně složité, a abychom mu lépe porozuměli, je vhodné přiblížit si ho v jednoduším případě. Předpokládejte tedy dále, že magnetické pole je velmi silné, tj. $\frac {q^2 B_0^2}{m^2} \gg \frac {k}{m}$. Určete přibližnou hodnotu (hodnoty) $\omega $ v této aproximaci, hledejte vždy nejvyšší nenulový řád přiblížení. Dále načrtněte pohyb (pohyby) částice v reálném prostoru při této aproximaci.

Kačka a Katka sledují loď plující konstantní rychlostí do přístavu. Kačka stojí na skále nad přístavem, přičemž má oči ve výšce $h_1 = 20 \mathrm{m}$ nad hladinou. Katka se nachází dole pod skálou, její oči jsou v nadmořské výšce $h_2 = 1,7 \mathrm{m}$. Pokud Katka zahlédne na obzoru vrchol blížící se lodi se zpožděním $t = 25 \mathrm{min}$ oproti Kačce, za jak dlouho loď vysoká $h = 30 \mathrm{m}$ dopluje do přístavu? Zemi považujte za dokonalou kouli se známým poloměrem.

Karlovo auto, jedoucí rychlostí $v_0$, zastaví na vzdálenosti $s_0$ při použití konstantní brzdné síly $F_0$. Kolikrát delší bude brzdná dráha při stejné síle, ale dvojnásobné počáteční rychlosti? Kolikrát větší musí být brzdná síla, aby auto zastavilo na stejné dráze při dvojnásobné počáteční rychlosti?