Vyhledávání úloh podle oboru

V některých případech řešení úloh s odporem vzduchu či obecně tekutiny používáme pro odporovou sílu Newtonův vzorec $$F=\frac{1}{2}C\rho Sv^2 \,,$$ kde $C$ je součinitel odporu tělesa ve směru pohybu tělesa, $ρ$ je hustota tekutiny, $S$ je průřez a $v$ je rychlost pohybu tělesa. Ten obvykle docela dobře platí pro turbulentní prostředí. Zajímáme se o kouli, pro kterou $C=0,\! 50$. V laminárním proudění pak obvykle používáme Stokesův vztah $$F = 6 \pi \eta r v \, ,$$ kde $η$ je dynamická viskozita tekutiny a $r$ je poloměr koule. Pokud máme nějakou konkrétní kouli, je možné, aby se pro nějakou rychlost tyto odpory rovnaly? Jak bude tato rychlost záviset na poloměru koule?

Už jste se někdy zamysleli nad tím, proč mraky nespadnou na zem, když jsou z vody, která má přece výrazně větší hustotu než vzduch? Dešťové kapky dopadnou na zem v řádech minut, tak proč ne i mraky? Zkuste tuto skutečnost fyzikálně objasnit. Veškerá svá tvrzení podložte výpočtem.

Kolik nejméně se musí spojit stejně velkých mýdlových bublinek o poloměru $r$, aby vytvořily jednu, která má poloměr alespoň $3r$? Uvažujte, že vzduch v bublinách má stále stejnou teplotu.

Na vodorovné ploše jsou rovnoběžně položeny dva stejné kvádry o hmotnosti $m$ a délce $l$. Vzdálenost bližších stěn těchto kvádrů je $2x_{0}$. Mezi kvádry začneme lít vodu objemovým tokem $Q$. Na krajích těchto kvádrů jsou mantinely zabraňující odtékání vody z prostoru mezi kvádry. Statický koeficient tření mezi kvádrem a podložkou je $f_{0}$ a dynamický $f$. Tření mezi kvádry a mantinely neuvažujte. Jaká je podmínka na $f_{0}$, aby se kvádry vůbec nerozpohybovaly? V případě, kdy je $f_{0}$ dostatečně malé, vypočítejte závislost zrychlení kvádrů na jejich poloze a vzdálenost, ve které kvádry zastaví. Veškerý pohyb vody považujte za dostatečně pomalý, takže v ní nevznikají žádné vlny ani víry, nezahřívá se třením, ani sama nemá žádnou kinetickou energii. Protože je tedy i $Q$ malé, můžete uvažovat, že přilévání další vody po rozpohybování kvádrů nemá na jejich pohyb vliv.

Bonus: Najděte podmínku pro překlopení kvádru.

V akváriu ve tvaru koule s poloměrem $r=10\;\mathrm{cm}$ plně naplněném vodou plavou v opačných směrech dvě stejné rybičky. Rybička má průřez $S=5\;\mathrm{cm}$, Newtonův odporový koeficient $C=0,\! 2$ a plave rychlostí $v=5\;\mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}$ vůči vodě. Jak dlouho musí rybičky v akváriu plavat, aby ohřály vodu o $1$ stupeň Celsia? Tepelné ztráty a biologické procesy v rybičkách zanedbejte.

Změřte závislost hmotnosti hydrogelové kuličky na době ponoření do vody a na koncentraci soli rozpuštěné ve vodě.

Poznámka: Hydrogel vám má přijít společně se zadáním série. Pokud jste v tomto ročníku ještě žádnou úlohu neřešili, ale chcete hydrogel také dostat, ozvěte se nám.

Občas nastane stav, kdy je nominální hodnota mincí nižší, než jejich výrobní náklady. Mějme dvě mince vyrobené ze slitiny zlata a stříbra. První má průměr $d_{1}=1\;\mathrm{cm}$, druhá $d_{2}=2\;\mathrm{cm}$, obě mají tloušťku $h=2\;\mathrm{mm}$. Menší mince při ponoření do nádoby se rtutí klesne ke dnu, zatímco větší mince se začne vynořovat. Ponoříme-li do rtuti obě mince, menší na větší, budou se v kapalině vznášet. Určete, kolik hmotnostních procent stříbra obsahuje větší mince, jestliže menší je celá zlatá.

Bonus: Jak se změní výsledek úlohy, pokud menší mince může obsahovat i stříbro?

Zlatá koule má na vzduchu hmotnost $m_{1}=96,\! 25\; \textrm{g}$. Při ponoření do vody je vyvážena závažím o hmotnosti $m_{2}=90,\! 25\; \textrm{g}$. Rozhodněte, zda je předmět dutý. Pokud ano, určete objem dutiny. Hustota zlata je $ρ_{Au}=19,\! 25\; \textrm{g}\cdot \mathrm{cm}^{-3}$, hustota vody $ρ_{H_{2}O}=1,\! 000\; \textrm{g}\cdot \mathrm{cm}^{-3}$. Tíhové zrychlení je $g=9,\! 81\; \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$.

Všichni moc dobře víme, že je dobře zařízeno zásobování Zeměplochy vodou. A nikdo z nás nepotřebuje vědět jak. Co kdyby se ale stalo něco závažného a magie by přestala dobře fungovat? Za jak dlouho by se ocitla Zeměplocha bez vody? Pro jednoduchost můžete uvažovat pesimistickou situaci, kdy by nikdo vodu nijak nezadržoval. Dobře víte, že Zeměplocha má průměr $d=10000\;\mathrm{km}$, panuje na ní homogenní tíhové zrychlení $g≈10\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$ a je dokonale kruhová. Opravdový celkový objem a rozložení vody na Zeměploše ve skutečnosti nikdo stejně nezná, takže můžete uvažovat, že voda homogenně pokrývá Zeměplochu, která je rovná a voda má výšku $H=5\;\mathrm{m}$ (to je hodně pesimistické, protože by pak všechno muselo stát pod vodou, nebo na kůlech nad vodou). Cílem úlohy je nalézt uspokojivě přibližný model, který dává dobrý odhad hledaného času – nečekáme přesné řešení.

Bylo by možné plavat v bazénu, kdyby se voda v něm chovala jako dokonale nestlačitelná kapalina, jejíž viskozita se limitně blíží nule? Jak by se pohyb plavce odlišoval od plavání v běžné vodě? Co by se dělo s energií soustavy plavec a bazén v případě, že voda z bazénu může vytékat přes okraj? Na počátku je hladina vody zarovnaná s okrajem.