Vyhledávání úloh podle oboru

Mějme dva identické dipólové magnety, které upevníme tak, že se mohou bez tření otáčet ve stejné rovině. Jejich osy otáčení jsou tedy rovnoběžné a magnety leží v jedné rovině. Když magnety mírně vychýlíme z rovnovážné polohy, začnou kmitat. Najděte vlastní módy těchto kmitů a spočítejte jejich frekvence. Diskutujte, jak bude vypadat pohyb magnetů pro obecnou počáteční výchylku (tento případ už tedy nemusíte počítat). Magnety mají magnetický moment $m$, moment setrvačnosti kolem osy otáčení $J$ a vzájemná vzdálenost jejich středů je $r$.

Změřte periodu kmitů torzního kyvadla v závislosti na délce vlákna. Použijte alespoň dva druhy materiálu závěsu. Co nejpřesněji určete všechny podstatné parametry, na kterých perioda závisí.

Vazebná energie molekuly fluoru je přibližně $37 \mathrm{kcal/mol}$. Pokud uvážíme dosah vazebných interakcí přibližně $3 \mathrm{\AA }$ od optimální vzdálenosti, jakou (průměrnou) silou musíme působit, abychom molekulu roztrhli? Spočítejte „tuhost“ molekuly fluoru, pokud by uprostřed tohoto rozmezí působila síla o velikosti této průměrné síly. Jaká by byla vibrační frekvence této molekuly? Srovnejte s experimentální hodnotou $916{,}6 \mathrm{cm^{-1}}$. ($4 \mathrm{b}$)

Zkuste pomocí Psi4 spočítat disociační křivku $\mathrm {F_2}$ a proložit ji v okolí minima parabolou. Jaká vám z ní tentokrát vyjde energie vibračních přechodů? ($3 \mathrm{b}$)

Máte dvě lahve alkoholu, které vám přišly přinejmenším podezřelé. Vzali jste je tedy do laboratoře a získali z nich následující Ramanova spektra. Pomocí programu Psi4 spočítejte, na jakých frekvencích jsou vibrační přechody molekul metanolu i etanolu, a na základě toho odhadněte, ve které lahvi je methanol a ve které ethanol. Můžete využít přibližné geometrie ethanolu a methanolu, které jsou součástí zadání na webu. ($3 \mathrm{b}$)

Mějme kytaru naladěnou při pokojové teplotě. O kolik půltónů (při temperovaném ladění) se přeladí jednotlivé struny, pokud se přesuneme k táboráku, kde bude o $10 \mathrm{\C }$ chladněji? Bude kytara stále znít naladěně? Vzdálenost mezi body upevnění strun je $d = 65 \mathrm{cm}$. Struny mají hustotu $\rho = 8~900 \mathrm{kg.m^{-3}}$, Youngův modul pružnosti $E = 210 \mathrm{GPa}$ a teplotní roztažnost $\alpha = 17 \cdot 10^{-6} \mathrm{K^{-1}}$.

Jarda se rozhodl upéct koláč, ale zjistil, že se v jeho kuchyňské váze vybila baterka a nemá jak odvážit $300 \mathrm{g}$ mouky. Napadlo ho však, že může použít kostku másla, na které je napsáno, že má hmotnost $m = 250 \mathrm{g}$. Naštěstí našel ještě vhodnou pružinu a stopky. Na velmi lehkou mističku nasypal hromádku mouky, připevnil na pružinu, rozkmital a změřil periodu $T_1=2,8 \mathrm{s}$. To stejné udělal s kostkou másla a naměřil $T_2 = 2,3 \mathrm{s}$. Poraďte Jardovi, kolik mouky má přidat nebo odebrat.

Do U-trubice s celkovou délkou $l$ a průřezem o obsahu $S$ nalijeme $V$ vody (tak, aby byl celý ohyb pod vodou a současně platilo $Sl > V$) a necháme ustálit hladinu. Jeden konec U-trubice uzavřeme a vodní hladinu rozkmitáme. Jaká bude perioda malých kmitů vodního sloupce?

Dvě malé kuličky jsou upevněny na koncích provázků stejné délky ($l = 42,0 \mathrm{cm}$) a zanedbatelné hmotnosti. Opačné konce obou provázků jsou uchyceny v tomtéž bodě. Kuličky mají stejnou velikost, liší se však materiálem, z něhož jsou vyrobeny. Jedna je ocelová ($\rho _1 = 7~840 kg.m^{-3}$) a druhá duralová ($\rho _2 = 2~800 kg.m^{-3}$). Obě závaží pustíme z klidu s počáteční výchylkou $5\dg $, poté dojde k dokonale pružné srážce. Do jaké maximální výšky po ní jednotlivé kuličky vystoupí? Jak to dopadne po druhé srážce?

Mějme dvě hookeovské pružiny s modulem pružnosti $E = 2,01 \mathrm{GPa}$ a píst s viskozitou $\eta = 9,8 \mathrm{GPa\cdot s}$. Závislost napětí $\sigma $ na relativním prodloužení $\epsilon $ je popsána vztahem $\sigma \_s = E\epsilon \_s$ pro pružinu a $\sigma \_d = \eta \dot {\epsilon }\_d$ pro píst, přičemž tečka zde značí derivaci podle času. Jednu pružinu délky $l\_s$ a píst délky $l\_d$ zapojíme do série a poté k nim paralelně připojíme druhou pružinu o délce $l\_p$. Celý tento systém pak náhlým roztažením uvedeme do stavu s $\epsilon _0 = 0,2$ a toto prodloužení dále držíme konstantní. Určete, za jak dlouho od roztažení poklesne napětí v systému na polovinu původní hodnoty, jestliže platí $\frac {l\_s}{l\_p} = 0,5$.

Mějme homogenní pružinu s tuhostí $k$ a hmotností $m$, jejíž šířka je zanedbatelná vůči její délce. Pružinu uchytíme na jednom konci tak, aby kolem něj mohla rotovat, a následně ji roztočíme úhlovou rychlostí $\omega $. Kolikrát se tato pružina při rotaci prodlouží? Vliv tíhového pole neuvažujte.

Uvažujte napnutou strunu o délkové hustotě $\rho $, která je navíc rovnoměrně nabitá s délkovou nábojovou hustotou $\lambda $. Napětí ve struně je $T$. Struna se nachází v magnetickém poli o konstantní velikosti $B$, jež je ve směru struny v rovnovážné poloze. Vaším úkolem bude popsat několik aspektů kmitání této struny. Nejprve bude třeba sestrojit vlnovou rovnici. Zanedbejte indukční efekty (předpokládejte, že struna je perfektně izolující, a tedy nábojová hustota zůstává konstantní) a určete Lorentzovu sílu na jednotku délky pro malé oscilace struny v obou směrech kolmých na směr jejího napnutí. Tuto sílu použijte pro sestavení vlnové rovnice (ta dále obsahuje sílu plynoucí z napětí struny). Proveďte fourierovskou substituci a určete disperzní vztah v aproximaci malého pole $B$; konkrétně uvažujte členy do prvního řádu v $\beta = \frac {\lambda B}{k \sqrt {\rho T}} \ll 1$, kde $k$ je vlnové číslo. Určete dva polarizační vektory, tentokrát pouze do nultého řádu v $\beta $.

Nyní předpokládejte, že v určitém místě struny vytvoříme vlnu, která bude oscilovat pouze v jednom směru. V jaké vzdálenosti od původního bodu bude vlna stočená o devadesát stupňů?