Vyhledávání úloh podle oboru

Uvažujme obvod, ve kterém jsou sériově zapojeny cívka, kondenzátor, rezistor a zdroj napětí. Cívka má indukčnost $L$, kondenzátor má kapacitu $C$ a rezistor má odpor $R$. Zdroj vytváří střídavé napětí $U = U_0 \f {\cos }{\omega t}$. Všechny součástky považujte za ideální. S pomocí zákona zachování energie napište rovnici pro náboj, rychlost náboje (proud $I$) a zrychlení náboje (rychlost změny proudu $I$). Jedná se o rovnici tlumených kmitů. Porovnáte-li ji s rovnicí pro tlumené kmity závaží na pružině, co v tomto obvodu hraje roli hmotnosti, tuhosti pružiny a tření? Jaká je přirozená frekvence kmitů?

Dále pomocí veličin $L$, $R$ a $\omega $ vyjádřete kapacitu kondenzátoru, při které by byl fázový posun napětí na kondenzátoru roven $\frac {\pi }{4}$. Jaká bude amplituda napětí na kondenzátoru při tomto fázovém posunu?

Seriál začneme zkoumáním několika mechanických oscilátorů, u kterých nás bude zajímat především určení frekvence volných kmitů. Dále si zopakujeme, jak vypadá oscilátor ve fázovém prostoru.

1. Uvažujme dutý nehmotný kužel, do jehož špičky vložíme kámen o hmotnosti $M$. Kužel ponoříme špičkou napřed do vody o hustotě $\rho $, ve které bude plovat. Určete rovnovážnou hloubku ponoru kužele měřenou od špičky $h$, pokud je celková výška kužele $H$ a poloměr základny $R$. Dále nalezněte úhlovou frekvenci malých vertikálních kmitů kuželu.
2. Představme si závaží o hmotnosti $m$ přidělané na nehmotné pružině o tuhosti $k$ a klidové délce $L$. Pokud pružinu na druhém konci upevníme, dostaneme kyvadlo. Spočítejte přirozenou úhlovou frekvenci jeho oscilací, přičemž předpokládejte, že délka pružiny se během pohybu nemění. Následně určete malý rozdíl v úhlové frekvenci $\Delta \omega $, o který se úhlová rychlost tohoto kyvadla liší od případu, ve kterém je pružina nahrazena nedeformovatelnou tyčí se stejnou klidovou délkou. Přitom předpokládejte $k L \gg m g$.
3. V terénu, který se skládá z periodicky se opakujících parabol s výškou $H$ a šířkou $L$, se nachází kostka cukru s hmotností $m$. Popište její potenciální energii jako funkci souřadnice v horizontálním směru a následně načrtněte možné trajektorie jejího pohybu ve fázovém prostoru v závislosti na rychlosti $v_0$, kterou má při průchodu vrcholem paraboly. Na náčrtku označte všechny významné vzdálenosti. Pro výchylku použijte horizontální souřadnici, vhodně přizpůsobte jednotky hybnosti v horizontálním směru. Při výpočtech zanedbejte kinetickou energii pohybu kostky ve vertikálním směru a předpokládejte, že stále zůstává v kontaktu s terénem.

Jakou periodu malých kmitů bude mít voda ve skleněné trubici na obrázku? Uvažujte pokojovou teplotu a normální tlak a předpokládejte, že voda je dokonale nestlačitelná.

Vezměte si alespoň $40 \mathrm{cm}$ dlouhou homogenní tyčku. Ve dvou bodech symetricky vůči jejímu středu k ní přidělejte dva závěsy ze stejného materiálu (například niť nebo vlasec), které dále upevněte k nějakému pevnému stativu tak, aby měly stejnou délku a aby byly rovnoběžné. Změřte periodu torzních kmitů tyčky v závislosti na vzdálenosti závěsů $d$ pro různé délky závěsů $l$ a určete, o jakou závislost na těchto dvou parametrech se jedná. Torzní kmity vypadají tak, že se tyčka otáčí ve vodorovné rovině, přičemž její střed zůstává v klidu.

Máme tenký dokonale tuhý homogenní disk o poloměru $R$ a hmotnosti $m$, ke kterému je připojena gumička. Jedním koncem je upevněná ve vzdálenosti $2R$ od okraje disku a druhým koncem na jeho okraji. Gumička funguje jako dokonalá tenká pružina o tuhosti $k$, klidové délce $2R$ a zanedbatelné hmotnosti. Disk je upevněný ve svém středu tak, že se může v jedné rovině volně otáčet kolem tohoto bodu, ale nemůže se posouvat či měnit rotační rovinu. Určete závislost velikosti momentu síly, kterou bude gumička urychlovat či zpomalovat rotaci disku v závislosti na úhlové výchylce $\phi $, a sestavte pohybovou rovnici disku.

Bonus: Určete periodu malých kmitů soustavy.

Matěje začaly nudit klasické houpačky, které jsou na dětských hřištích a lze se na nich houpat pouze dopředu a dozadu. Proto vymyslel vlastní atrakci, na které se bude houpat nahoru a dolů. Mezi dva stejně vysoké body ve vzdálenosti $l$ natáhne gumu s klidovou délkou $l$. Následně se pomalu posadí přesně doprostřed gumy, přičemž se její střed vychýlí dolů o vzdálenost $h$. Nyní se velmi lehce odstrčí směrem nahoru a začne se houpat. Určete periodu malých kmitů.

Každý někdy z nudy zkusil brnkat na dlouhé pravítko vystrčené přes okraj lavice. Zvolte vhodný model závislosti frekvence na délce vysunutí za okraj lavice a experimentálně jej ověřte. Popište i další parametry pravítka.

Poznámka: Pravítko ke stolu přitlačte tak, aby kmitala jen jeho vysunutá část.

Změřte délkovou hustotu struny, která vám měla přijít poštou společně se zadáním. Strunu ale nesmíte vážit.

Nápověda: Zkuste strunu rozkmitat.

Elza ráda cestuje vlakem. Při tom si všimla, že ihned po zastavení vlak mírně cukne dozadu. Elza nemá tušení, proč tomu tak je, pomozte jí to tedy objasnit. Uvažujte vlak s lokomotivou (hmotnost $m_r = \mathrm{82 t}$) a čtrnácti vagóny (hmotnost každého z nich je $m_v = \mathrm{48 t}$). Lokomotiva má brzdící váhu $p_r = \mathrm{113 t}$ a každý z vagónů má $p_v = \mathrm{99 t}$.$^1$ Dále uvažujme, že po zabrzdění se brzdící impulz šíří s konstantní rychlostí od lokomotivy na konec vlaku, přičemž poslední vagón začne brzdit za čas $\Delta t = \mathrm{12 s}$ po mašině.

Pro úplnost uvažujme, že spřáhla vozů jsou z části volná a umožňují pohyb. Sílu, kterou působí, můžeme v závislosti na výchylce $x$ popsat jako $x < 0 \Rightarrow F = -x k  ,$

$x = 0 \Rightarrow F = 0  ,$

$x > 0 \Rightarrow F = A \mathrm{sgn} \(x - x_v\)  ,$

kde kladný směr je tehdy, pokud se vozy od sebe vzdalují. Dále $k$ je tuhost nárazníku, $x_v$ je nezáporná konstanta a $A$ je tuhost spřáhla, přičemž $A \gg k$.

1. Analyticky vyšetřete průběh brzdění vlaku.
2. Najděte vlastní frekvenci kmitů pro $n$-tý vagón.
3. Najděte parametry $k$, $A$ a $x_v$ tak, aby kmitání vozů bylo vzhledem k brzdění kriticky tlumené.
4. Splňuje tento model to, co Elza pozorovala? Udělejte Elze radost a najděte lepší model chování vlaku.
5. Numericky řešte tento nový model.

Bonus: Řešte případ, ve kterém bude jeden z vozů vypojený, tedy nebude brzdit.

1.) Brzdící váha označuje poměrnou schopnost vozidla brzdit. Je to absolutní jednotka a můžeme jí lineárně přeškálovat na brzdící sílu.

Dvě závaží zanedbatelných rozměrů o hmotnosti $m=100\; \mathrm{g}$ spojíme pružným nehmotným provázkem o klidové délce $l_{0}=1\;\mathrm{m}$ s tuhostí $k=50\;\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-2}$. Jedno závaží držíme na místě a druhé kolem něj necháme rotovat s frekvencí $f=2\;\mathrm{Hz}$. První závaží se přitom může volně otáčet kolem své osy. V jednu chvíli držené závaží uvolníme. Na jakou minimální vzdálenost se k sobě závaží přiblíží? Neuvažujte vliv gravitačního pole a předpokládejte platnost Hookeova zákona.