Vyhledávání úloh podle oboru

Elza ráda cestuje vlakem. Při tom si všimla, že ihned po zastavení vlak mírně cukne dozadu. Elza nemá tušení, proč tomu tak je, pomozte jí to tedy objasnit. Uvažujte vlak s lokomotivou (hmotnost $m_r = \mathrm{82 t}$) a čtrnácti vagóny (hmotnost každého z nich je $m_v = \mathrm{48 t}$). Lokomotiva má brzdící váhu $p_r = \mathrm{113 t}$ a každý z vagónů má $p_v = \mathrm{99 t}$.$^1$ Dále uvažujme, že po zabrzdění se brzdící impulz šíří s konstantní rychlostí od lokomotivy na konec vlaku, přičemž poslední vagón začne brzdit za čas $\Delta t = \mathrm{12 s}$ po mašině.

Pro úplnost uvažujme, že spřáhla vozů jsou z části volná a umožňují pohyb. Sílu, kterou působí, můžeme v závislosti na výchylce $x$ popsat jako $x < 0 \Rightarrow F = -x k  ,$

$x = 0 \Rightarrow F = 0  ,$

$x > 0 \Rightarrow F = A \mathrm{sgn} \(x - x_v\)  ,$

kde kladný směr je tehdy, pokud se vozy od sebe vzdalují. Dále $k$ je tuhost nárazníku, $x_v$ je nezáporná konstanta a $A$ je tuhost spřáhla, přičemž $A \gg k$.

1. Analyticky vyšetřete průběh brzdění vlaku.
2. Najděte vlastní frekvenci kmitů pro $n$-tý vagón.
3. Najděte parametry $k$, $A$ a $x_v$ tak, aby kmitání vozů bylo vzhledem k brzdění kriticky tlumené.
4. Splňuje tento model to, co Elza pozorovala? Udělejte Elze radost a najděte lepší model chování vlaku.
5. Numericky řešte tento nový model.

Bonus: Řešte případ, ve kterém bude jeden z vozů vypojený, tedy nebude brzdit.

1.) Brzdící váha označuje poměrnou schopnost vozidla brzdit. Je to absolutní jednotka a můžeme jí lineárně přeškálovat na brzdící sílu.

Dvě závaží zanedbatelných rozměrů o hmotnosti $m=100\; \mathrm{g}$ spojíme pružným nehmotným provázkem o klidové délce $l_{0}=1\;\mathrm{m}$ s tuhostí $k=50\;\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}^{-2}$. Jedno závaží držíme na místě a druhé kolem něj necháme rotovat s frekvencí $f=2\;\mathrm{Hz}$. První závaží se přitom může volně otáčet kolem své osy. V jednu chvíli držené závaží uvolníme. Na jakou minimální vzdálenost se k sobě závaží přiblíží? Neuvažujte vliv gravitačního pole a předpokládejte platnost Hookeova zákona.

Mějme nehmotnou pružinu o tuhosti $k$. Na jednom jejím konci je připevněno závaží o hmotnosti $m$, na jejím druhém konci je připevněno druhé závaží o hmotnosti $M$. Tuto sestavu položíme na vodorovnou desku tak, že závaží o hmotnosti $M$ bude ležet na desce a závaží o hmotnosti $m$ bude trčet na pružině přímo nad prvním závažím. Soustava je v rovnovážném stavu (tj. první závaží nekmitá) a délka pružiny v tomto stavu je $l$. Určete, jak moc musíme pružinu stlačit, aby po jejím uvolnění závaží o hmotnosti $M$ nadskočilo. Uvažujte pouze vertikální pohyb.

Změřte místní tíhové zrychlení alespoň dvěma odlišnými metodami. Tyto metody následně zevrubně porovnejte.

• Sepište si rovnice pro vrh v homogenním gravitačním poli (nemusíte je znovu řešit, ale musíte je umět správně použít). Navrhněte přístroj, který bude vrhat předmět dle vašeho uvážení a určete pod jakým úhlem a jakou rychlostí tak činí. Můžete například vrhat pomocí pružiny, změřit její tuhost, hmotnost předmětu a vypočítat kinetickou energii a tudíž i rychlost předmětu. V jakých rozmezích jste si s rychlostí a úhlem jistí? Dosaďte tyto rozsahy do rovnic a ukažte v jakých rozmezích v důsledku toho můžete očekávat vzdálenost dopadu od vašeho předmětu. Vrhněte svůj předmět daný přístrojem alespoň pětkrát a změřte vzdálenost dopadu – v jakých rozmezích jste si jisti danou vzdáleností? Ukažte, zda se vešly vaše výsledky do toho, co jste předpověděli. (Za odkaz na video s vrhem bonusový bod!)
• Uvažte kyvadlo s výchylkou $x$, které se efektivně kývá harmonicky, ale frekvence jeho kyvů závisí na maximální výchylce $x_{0}$

$$x(t) = x_0 \cos\left[\omega(x_0) t\right]\,, \quad \omega(x_0) = 2\pi \left(1 - \frac{x_0^2}{l_0^2}\right)\,,$$

kde $l_{0}je$ nějaká délková škála. Myslíme si, že pouštíme kyvadlo z $x_{0}=l_{0}⁄2$, ale ve skutečnosti jej vypouštíme z $x_{0}=l_{0}(1+ε)⁄2$. O kolik se liší argument kosinu od 2π po jedné námi předpokládané periodě? Po kolika periodách bude kyvadlo vychýlené na druhou stranu, než bychom předpokládali? Tip Argument kosinu se bude v tu chvíli od předpokládaného lišit o víc než π ⁄ 2.

• Vezměte do ruky propisku a postavte jí na stůl na špičku. Proč spadne? A co rozhoduje o tom, že spadne spíš doprava, než doleva? Proč nedokážete předpovědět výsledek hodu kostkou, i když zákony fyziky by jej měly plně předurčit? Když hrajete kulečník, je neschopnost dokončit hru pouze v jednom šťouchu pouze v tom, že to nedokážete propočítat? Sepište svoje odpovědi a zkuste vyjmenovat fyzikální jevy ze života, které jsou v principu předpověditelné, ale ani dobrá znalost situace vám v předpovědi moc nepomůže.

Na trajektu máme nezabrzděné auto, které stojí rovnoběžně s jeho osou. Trajekt je se houpe harmonicky na vlnách, tj. $φ(t)=Φ\sin(ωt)$. Maximální úhlová výchylka trajektu je Φ. Jak daleko od kraje můžeme zaparkovat auto, aby nám nemohlo spadnout do moře? Uvažujte, že maximální výchylka se pomalu zvětšuje z nuly na hodnotu Φ.

Lidský vlas má u některých lidí tendenci zaujmout zakroucený tvar. Uvažujme vlas, který má v klidovém stavu dané parametry podobně jako stočená pružinka (poloměr, sklon, materiálové konstanty). Spočítejte, jak se vlas prodlouží, když ho nejprve položíme vodorovně na stůl a potom ho pověsíme svisle dolů. Uvažujte hodně stočený vlas, tj. s malým sklonem.

• napnutá struna

Frekvence kmitů napjaté struny závisí na její délce $l$, síle $F$, kterou je struna napjatá, a na délkové hustotě $ρ_{l}$. Určete z těchto údajů vzoreček pro frekvenci struny pomocí rozměrové analýzy.

• dolů

Mějme činku, jejíž závaží mají tvar disků, které jsou blízko u sebe. Tyčku omotáme jednou provázkem a činku spustíme, jak rychle padá, pokud se nesmýká? Disky mají hmotnost $m$ a poloměr $R$, tyčka je nehmotná s poloměrem $r$.

Uvažujme misku o poloměru $r$, do které položíme dvě spojená brčka, která mají tvar písmene V. Brčko se smí dotýkat pouze okrajů misky. Určete nejprve podmínku stability a potom vypočítejte periodu kmitů brčka v souměrné poloze.

Ve starém gauči našel Lukáš pružinu o tuhosti $k$, poloměru závitu $r$, délky $l$ a počtem závitů $n$. Protože se nudil, připojil ji ke stabilnímu zdroji elektrického proudu $I$. Jak se změnila její tuhost?