Vyhledávání úloh podle oboru

Při posilování se často potkáme se stroji, které obsahují kladky. Uvažujme stroj na následujícím obrázku. Jakou silou musíme na lano působit, jestliže velikost rychlosti konce lana v bodě A je $v = 0{,}4 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ a směřuje dolů? Každá kladka má poloměr $r = 15 \mathrm{cm}$ a hmotnost $m = 15 \mathrm{kg}$. Přes volnou kladku visí závaží o hmotnosti $M = 25 \mathrm{kg}$.

Jarda stojí na konci nástupiště a čeká na příjezd svého vlaku. Když kolem něj projíždí první vagón vlaku, zjistí, že právě v tomto voze má svoji místenku. V tomto okamžiku je rychlost vlaku $8{,}5 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ a vlak začne rovnoměrně zpomalovat, až zastaví za čas $28 \mathrm{s}$. Jarda se ihned rozešel ke dveřím svého vagónu, protože se ale musí prodírat davy cestujících, je jeho rychlost jen $1 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. Jak nejméně dlouho musí vlak ve stanici stát, aby Jarda stihnul nastoupit do svého vagónu?

Změřte koeficient statického tření mezi dvěma listy kancelářského papíru.

Jarda našel po FYKOSím soustředění ve svém batohu jablko, které už nebylo v dobrém stavu. Hodil ho do nízkého koše na kuchyňský odpad vzdáleného $1{,}0 \mathrm{m}$ a samozřejmě se trefil. Jablko házel vodorovně z výšky $0{,}5 \mathrm{m}$, dopadlo na rozmezí stěny a dna koše, kde se rozpláclo. Koš o hmotnosti $910 \mathrm{g}$ se po dopadu jablka posunul o vzdálenost $5 \mathrm{cm}$. Jaký je koeficient tření mezi podlahou a košem? Jablko má hmotnost $230 \mathrm{g}$.

Na pohybující se vodorovný dopravní pás každou sekundu svisle dopadá materiál o hmotnosti $\mu $, který na jeho konci padá pryč. Na pás působí odporová síla $F\_{odp}=kv$, která je přímo úměrná rychlosti pásu $v$ přes konstantu $k$. Jak velkou rychlostí se bude pás pohybovat, pokud

• na něj působí konstantní pohonná síla $F$?
• je poháněn motorem s konstantním výkonem $P$?

Karel jezdí výtahem v budově, která má přízemí a nad ním dalších $12$ pater, přičemž výška jednoho patra je $h=3{,}0 \mathrm{m}$. Uvažujte, že výtah během své jízdy polovinu doby zrychluje a druhou polovinu doby zpomaluje konstantním zrychlením $a=1{,}0 \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. S $50 \mathrm{\%}$ pravděpodobností výtah stojí v přízemí a zbytek pravděpodobnosti je rovnoměrně rozdělený mezi ostatní patra. Jaká je očekávaná doba čekání na výtah v jednotlivých patrech budovy? Zanedbejte čas otevírání dveří.

Bonus: Mějme $2$ výtahy opět v dvanáctipatrové budově. Jeden výtah bude odvolávaný do přízemí. Do jakého patra bychom měli posílat druhý, abychom minimalizovali průměrnou dobu čekání? Předpokládejte analogicky, že polovina jízd bude začínat v přízemí a druhá polovina s rovnoměrnou pravděpodobností v libovolném z dalších pater.

Jednou kladně ionizovaný atom xenonu vyletěl rychlostí $v=7 \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ ze středu velké válcové cívky a začal se pohybovat homogenním magnetickým polem v rovině kolmé na magnetické siločáry. V tu chvíli cívku odpojíme od zdroje, takže její indukce začne exponenciálně klesat podle vztahu $\f {B}{t}=B_0\eu ^{-\Omega t}$, kde $B_0=1,1 \cdot 10^{-4} \mathrm{T}$ a $\Omega =600 \mathrm{s^{-1}}$. S jakou odchylkou od původního směru se atom bude pohybovat po ustálení? Nápověda:: V úloze se nebojte použít vhodnou aproximaci, nebo ji zkuste řešit numericky.

Všichni to známe – uzavírky na silnicích a nekonečné stání na semaforech. Zelená svítí po dobu $60 \mathrm{s}$, ale než se stačí všichni rozjet, už je zase červená. Uvažujme $0{,}5 \mathrm{s}$ reakční dobu řidiče, než se rozjede poté, co se dalo do pohybu auto před ním. O kolik procent by se zvýšil počet aut, která projedou uzavírkou, kdyby se všichni ve frontě rozjeli současně? První auto stojí na úrovni semaforu, vzdálenost předních nárazníků všech aut odhadněme na $5 \mathrm{m}$ a všechna se rozjíždí rovnoměrně zrychleně po dobu $5 \mathrm{s}$ na rychlost $30 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$, kterou pak pokračují dále do uzavírky.

Dva mimozemšťané bydlí každý na své kosmické stanici. Stanice se nacházejí ve volném prostoru a vzdálenost mezi nimi je $L$. Když chce jeden mimozemšťan navštívit druhého, musí nasednout do své nerelativistické rakety a doletět k sousedovi. Jaký nejkratší čas může mimozemšťan strávit na cestě tam i zpět? Hmotnost rakety s palivem je $m$, bez paliva $m_0$. Výtoková rychlost spalin je $u$, tok paliva je libovolný. Jeho soused mu žádné palivo načerpat nedovolí (sám má málo).

Danka připojila zahradní hadici s vnitřním průměrem $1,5 \mathrm{cm}$ na vodovodní kohoutek na koleji a druhý konec položila na okraj okna na 8. poschodí ve výšce $23 \mathrm{m}$ nad zemí. Jaký objemový průtok vody by musel kohoutek mít, aby se Dance podařilo postříkat proudem vody lidi stojící pod kolejí ve vodorovné vzdálenosti $9 \mathrm{m}$ od budovy, kteří ruší noční klid? Může se to Dance podařit, pokud voda stříká vodorovně a nefouká vítr?

Bonus: Kde nejdále mohou stát tito lidé, aby na ně Danka hadicí dostříkla, pokud je objemový průtok kohoutku $0{,}4 \mathrm{l\cdot s^{-1}}$? Danka teď může konec hadice natočit tak, aby voda stříkala pod libovolným úhlem vůči vodorovné rovině.