Vyhledávání úloh podle oboru

Hmotný bod se v tíhovém poli Země pohybuje po vnitřku kuželové plochy s vrcholovým úhlem $2α$, jejíž osa symetrie má svislý směr (viz obr. 1). V čase $t=0$ se částice nachází ve výšce $z_{0}$ a má rychlost $v_{0}$. Tato rychlost má směr tečny ke kružnici na průniku kužele s vodorovnou rovinou $z=z_{0}$.

• Obíhá-li částice v konstantní výšce $z_{0}$, dokažte, že velikost rychlosti je určena pouze touto výškou a nezávisí na úhlu $α$.
• Při obecném pohybu určete body obratu $z_{1}$ a $z_{2}$, tj. maximální a minimální výšku, do které částice vystoupí.

Diskutujte trajektorii částice v soustavě spojené s částicí a soustavě spojené se Zemí. Tření neuvažujte.

V důsledku malého koeficientu tření pneumatik se automobil jedoucí po ledu nemůže pohybovat se zrychlením větším než $a=0,5\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$. Podle pravidel závodu se řidič musí dostat z bodu A do B ve vzdálenosti $x=375\;\mathrm{m}$, přičemž počáteční rychlost $v=10\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$ jest ve směru kolmém ke spojnici AB. Určete nejmenší čas, za který toho lze dosáhnout. Jak se změní výsledek, bude-li cílem bod C (viz obr. 1), vzdálenost B a C je $y=200\;\mathrm{m}$.

Na tyči zanedbatelné hmostnosti o celkové délce $4a$ jsou navlečeny ve vzdálenosti $a$ od osy otáčení dvě koule o hmotnosti $m$ (viz obr. 3). Na obou koncích tyče jsou umístěny dokonale pružné odrazné destičky. Tyč je roztočena na úhlovou rychlost $ω_{0}$, a poté jsou uvolněny obě koule. Za předpokladu, že se tyč nadále pohybuje volně a bez tření, určete:

• Po jaké trajektorii se budou pohybovat obě kuličky vzhledem k pozorovateli v inerciální soustavě.
• Jak se bude měnit úhlová rychlost soustavy $ω$ v závislosti na čase.
• Jak by se změnili výsledky předešlých úloh, kdybychom udržovali (např. pomocí motoru) úhlovou rychlost stále na hodnotě $ω_{0}?$

Čtvercová deska o straně délky $a$ (viz obr. 4) je upevněna na ose procházející jejím středem ve směru rovnoběžném s jednou ze stran. Ve vzdálenosti $c$ od této osy je na ní položeno malé tělísko hmotnosti $m$. Deska začne kmitat s nevelkou amplitudou kolem vodorovné polohy s frekvencí $ω$. Určete dobu (je mnohem větší než perioda kmitů), za kterou tělísko spadne z desky, je-li koeficient tření mezi deskou a tělískem $μ$.

Na vrcholu koule poloměru $R$ leží závažíčko, které se v čase nula začne pohybovat. V jaké výšce a kdy se oddělí od povrchu koule?

Mějme soustavu vyobrazenou na obrázku. Jakou silou $\textbf{F}$ musíme působit, aby se těleso II nepohybovalo vůči tělesu I. Máte zadané hmotnosti $m_{I}$, $m_{II}$ a $m_{III}$ všech tří těles a veškerá tření zanedbávejte.

Postavme na váhu uzavřenou sklenici s několika muškami. Kdy nám váha ukazuje více, když mušky ve sklenici

• létají
• usedly
• v obou případech váha ukazuje stejně

Proč?

Z jaké výšky se může pustit jezdec na skateboardu po dráze na obrázku, aby to nebylo zdraví škodlivé?

Kdyby celý prostor byl prázdný mimo dvou kapek vody, budou se tyto kapky přitahovat podle Newtonova gravitačního zákona. Nyní předpokládejme, že celý prostor je vyplněný vodou s výjimkou dvou bublin (obrázek). Jak se bubliny budou pohybovat?

Hloubku studny chceme určit s relativní chybou $2\; \%$ tak, že do ní pustíme kámen a měříme dobu, za kterou uslyšíme pád kamene na dno od jeho vypuštění. Při jaké hloubce studny už musíme uvažovat rychlost šíření zvuku?