fykos výfuk

Vypracování experimentální úlohy

Jak vypracovat experimentálku za plný počet bodů?

  1. Dobře si přečtěte zadání úlohy, ujasněte si potřebnou teorii, zamyslete se nad co nejpřesnější metodou a dostupnými pomůckami.
  2. Naplánujte si obstarání všech pomůcek, měření a zpracování nejlépe hned anebo co nejdříve (ať máte čas na řešení nečekaných problémů, případně možnost využít příhodné podmínky), hlavně ne na poslední chvíli!
  3. Máte-li všechny pomůcky připraveny a čas k měření, promyslete si postup měření i následného zpracování (zejména zda a kde použijete statistiku, grafické zpracování či přímé určení výpočtem).
  4. Při měření si kromě vlastních experimentálních hodnot a chyb měření (!) poznamenejte i důležité podmínky a okolnosti měření, které mohou výsledek ovlivnit. Může být užitečné měření a pomůcky zdokumentovat (digitální fotografie/video, záznamy z měření) s možností nám takové přílohy zaslat.
  5. Vypracujte řešení: to vlastně představuje jakýsi protokol či vědecký článek, jenž obsahuje standardní logické části:
    1. potřebná teorie (zavedení veškerého značení veličin, použité vztahy, důležité předpoklady, aproximace apod.);
    2. popis pomůcek a postupu měření (na jejich základě musí být kdokoliv další schopen vaše pomůcky a měření reprodukovat!);
    3. podmínky měření a naměřené hodnoty s chybami měření (tabulky, nejlépe grafy), vše musí mít jasnou legendu, popisky apod.;
    4. zpracování dat a vyhodnocení chyb (grafické, statistické, přímé výpočty, ... – lze zapracovat do tabulek a grafů v přechozím bodě);
    5. diskuse přesnosti a spolehlivosti měření, zdrojů chyb, interpretace výsledků (grafů); podle možností srovnání s tabelovanými hodnotami, s literaturou;
    6. závěr (stručné shrnutí zjištěných výsledků i s chybami, pozorování, zkrátka stručná věcná odpověď na zadání úlohy).
  6. Zkontrolujte, že ve vašem řešení jsou zodpovězeny otázky níže.

Vězte, že opravovatel začne letmým přehlédnutím protokolu, zda obsahuje zmíněné části, a čtením závěru. Podle něj nakonec provádí spravedlivé bodování úloh všech řešitelů. Nejlépe ocení stručné řešení, jež mu zodpoví otázky:

  • Co jste zjistili, naměřili a s jakou přesností? (V závěru, příp. v diskusi.)
  • Jak jste této přesnosti dosáhli, tzn. jak přesně jste měřili a jak jste vyhodnotili chybu výsledku? (Výsledky, zpracování, diskuse; zvláště užití statistického a grafického zpracování.)
  • Jaké a jak přesné pomůcky jste k tomu použili? (Popis pomůcek, diskuse, hlavní zdroje chyb.)
  • Zda jste měřili správně a nepodcenili/nepřecenili přesnost měření? (Teorie, podmínky a okolnosti měření, postup měření i zpracování.)
  • Zda jste si jisti svými výsledky a zda o jejich spolehlivosti a správnosti dokážete přesvědčit i ostatní? (Všechny části protokolu.)

Můžete se nechat inspirovat argumentací ve starších autorských řešeních. Začínajícím experimentátorům doporučujeme postup měření i zpracování popsat detailněji – až si sami ujasníte základní věci a nás přesvědčíte, že je máte zvládnuté (např. výpočet průměru, směrodatné odchylky, chyby výsledku), můžete jejich komentování vynechávat a pouze uvádět výsledky s chybami a jasnou legendou. Věřte, že téměř vše po vás přepočítáváme a kontrolujeme.

Jak dostat za experimentálku bonusový bod?

  • Předpokladem k získání bonusového bodu je vypracování experimentální úlohy a protokolu za plný počet bodů (viz výše), jinak vám pouze přilepšíme.
  • Bonusovým bodem můžeme ocenit např. originální, důmyslnou metodu měření či použití takové pomůcky.
  • Zatímco statistické zpracování je standardem ve školních laboratorních pracích, rádi ohodnotíme pokročilé grafické zpracování jako např. fitování dat samozřejmě s chybou fitu. Pak očekáváme:
    1. uvedení a zdůvodnění modelové funkce (tj. závislost, kterou fitujete data, a teorii, o níž se opíráte – vše si dobře rozmyslete);
    2. zpracování naměřených hodnot, chyb měření a teoretické závislosti (fitu) do společného grafu s legendou/popisky;
    3. využití některého vědeckého programu (příp. explicitních vztahů) k předchozímu bodu, např. GNUPLOT, SigmaPlot, Origin, ChiPlot; MS Excel však nemůžeme doporučit;
    4. uvedení použitého softwaru/vztahů, výsledných (optimálních) parametrů fitu s chybami fitu a se správným rozměrem (!);
    5. diskusi a interpretaci konkrétních výsledků, zhodnocení přesnosti.
  • Rovněž Vám rádi přilepšíme za důkladný a správný rozbor chyb měření, za jejich klasifikaci a zdroje.
  • Oceníme obzvláště přehledně zpracovaný protokol bez dalších neuvedených formálních chyb a užívání vhodných prostředků (grafy, tabulky, ...).

Základy grafického zpracování dat

V úvodu chvíli meditujme nad smyslem grafického zpracování dat. Především zdůrazněme a vyzdvihněme přehlednost a jakousi přitažlivost grafů (na rozdíl od tabulek a jiných prostředků), možnost rychle vypozorovat fyzikální závislost, odhalit a odhadnout náhodnou a hrubou chybu měření, nečekanou tendenci v naměřených hodnotách. Grafické zpracování nám pomůže rychle zhodnotit správnost a spolehlivost měření, volbu metody, teoretických předpokladů apod.

Základem grafického zpracování je uvedení zjištěných hodnot společně s teoretickou závislostí ve společném grafu, tzn. bezprostřední možnost srovnání teorie a praxe a zhodnocení odchylek. Většinou však teorie obsahuje parametry typické pro dané podmínky a materiály a grafickým zpracováním pak rozumíme zároveň nalezení takových optimálních hodnot všech parametrů, aby výsledná teoretická závislost nejlépe vystihovala naměřené hodnoty (což předpokládáme). Základem toho je princip maximální věrohodnosti, resp. metoda nejmenších čtverců, která je realizována v časem prověřených a osvědčených algoritmech v mnohých vědeckých programech. V našem fyzikálním použití jde většinou o fitování naměřených dat modelovou funkcí (nezaměňujte s regresí, což je metoda ve statistickém výzkumu, ačkoliv matematicky si oba postupy odpovídají).

V experimentální fyzice bychom měli co nejčastěji používat fitování ke zjišťování parametrů pi s fyzikálním významem (s tzv. chybou fitu Δpi). K tomu potřebujeme co nejpřesněji změřit více bodů určité fyzikální závislosti fexp(pi;x,y,z,t) a vyjádřit tuto závislost matematicky vhodnou modelovou funkcí f(...). Např. měříme závislost dráhy s(t) uražené za čas t a změřené body fitujeme kvadratickou funkcí se třemi parametry

s(t) = s2 t2 + s1 t + s0

(absolutní člen s0 má význam počáteční polohy v čase 0 s, koeficient lineárního členu s1 představuje počáteční rychlost a koeficient kvadratického členu s2 má fyzikální význam poloviny zrychlení). Fitováním určíme optimální, a tedy nejpravděpodobnější hodnoty těchto parametrů, které nás zřejmě zajímají. Pokud fit koresponduje dobře s daty, máme štěstí a dobře jsme zvolili modelovou funkci (např. kvadratickou závislost, pokud se jedná o rovnoměrně zrychlený pohyb). Jinak musíme zvolit jinou modelovou závislost a předpoklady (např. zrychlení se mění a zkusíme kubickou funkci). Nemusíme vždy fitovat přes všechny parametry, ale jen některé, které potřebujeme zjistit (např. pro pohyb v gravitačním poli - zrychlení známe a zajímá nás jen počáteční poloha a rychlost). Co vše grafické zpracování představuje a obsahuje, uvádíme dále společně s návodem, jak toho docílit např. ve volně šiřitelném vědeckém programu GNUPLOT.

Grafické zpracování dat pomocí programu GNUPLOT

Více informací o práci s Gnuplotem můžete získat v tomto stručném návodu.

Před zpracováním již víme a máme:

  1. Definovaný problém a teoretické předpoklady, např. Pepíček střílí prakem do výšky na zemském povrchu. Teorie: Newtonova mechanika, rovnoměrně zrychlený pohyb popsaný kvadratickou závislostí výše (s2 = g/2 = 4,90 m·s−2); teorie pružnosti. Předpoklady: Ideální pružina bez disipace energie. (tj. platí ZZE 1/2mA2 = 1/2kR2.) Zanedbáváme odpor vzduchu, rotaci Země. Úkol: Stanovit rychlost projektilu A ihned po vystřelení a spočítat tuhost gumy praku k.
  2. Dostatečný počet experimentálních bodů v dostatečně velkém intervalu, např. deset výšek s(t) projektilu nad zemí v daném čase (změřených stejným způsobem).
  3. Máme rozmyšlen teoretický základ umožňující využít fitování modelovou funkcí. Tzn. deset hodnot s(t) chceme v souladu s teorií a předpoklady nejlépe vystihnout modelovou funkcí
    s(t) = −g/2·t2 + (k·R2/m)1/2·t + s0 = −4,90·t2 + A·t + s0,
    kde parametry As0 chceme určit fitováním i s chybou fitu! Počáteční polohu nepotřebujeme znát, ale musíme ji do modelové funkce zahrnout, aby fit dal správný výsledek A (podobně je někdy třeba zahrnout pozadí). Srovnáním stran rovnic je pak již jednoduché vyjádřit a vypočítat hledanou tuhost gumy k, známe-li hmotnost projektilu m a max. natažení gumy z rovnovážné polohy R, tzn. k = A2m/R2. Nezapomeňme, že výsledek fitu A musíme napsat se správnou jednotkou, např. měříme-li polohu v metrech a čas v sekundách, pak [A] = m/s a [k] = kg·s−2 = N/m.

Při použití programu GNUPLOT ke zpracování musíme naměřené hodnoty uložit v souboru se jménem např. mereni1.txt a s pevnou strukturou, např.

# č. měření, čas [s], výška [m], chyba měření [m]
# ... legendu a komentář za znakem # gnuplot ignoruje
# číselné hodnoty lze oddělit libovolným počtem mezer či tabulátorem,
# čárka jako desetinný oddělovač je nepřípustná
1 1 17 1
2 2 21 1
3 3 17 1
4 4 3 0.5

Po spuštění gnuplotu uplatníme alespoň následující příkazy:

  • cd 'C:/FYZIKA/FYKOS/SERIE3/EXP'
  • s(x)=-9.81/2*x**2 + A*x + s0
  • fit s(x) 'mereni1.txt' using 2:3 via A,s0
  • plot s(x), 'mereni1.txt' using 2:3
  • plot [0:5] [0:25] s(x), 'mereni1.txt' using 2:3:($3-$4):($3+$4) with yerrorbars
Prvním příkazem nastavíme pracovní adresář, kde se má hledat soubor s naměřenými hodnotami mereni1.txt. Druhým příkazem definujeme vhodnou modelovou závislost, kterou následným příkazem fitujeme naměřené hodnoty, přičemž nezávislá proměnná x se má načítat ze druhého sloupce a závislá proměnná s(x) ze třetího sloupce. Poslední příkazy zobrazí optimální teoretickou závislost a naměřené hodnoty do společného grafu, kde ihned můžeme zhodnotit správnost fitu, příp. stejný příkaz fit opakovat (někdy se tím parametry A a s0 dále zpřesní) atd.

Na obrazovce (terminálu gnuplotu) se nám právě vypsaly poslední hodnoty hledaných parametrů včetně chyby fitu. Pro nalezenou hodnotu A = (20,0±0,3) m/s v našem příkladu spočteme tuhost k, na níž se zde ptáme. Dále vidíme, že Pepíček držel prak asi (1,5±0,8) m nad zemí a potřebovali jsme více pokusů na zobrazení pěkného grafu (zde ovšem bez popisků).

Další užitečné informace, nastavení popisků grafů, znázornění chyb měření a export grafů najdete ve stručném návodu s dalšími příklady a příkazy. Práci v gnuplotu si vyzkoušejte v nejbližším volném čase! Upozorňujeme, že malá a velká písmena nejsou v gnuplotu záměnná!

Vyhodnocení a diskuse chyb měření

V této části již předpokládáme znalost statistického zpracování (výpočet aritmetického průměru a směrodatné odchylky). Mnohdy je však nezbytné s naměřenými hodnotami (tzn. hodnota ± chyba s jednotkou) a výsledky statistického zpracování dále počítat. Ve škole se příslušná látka zpravidla označuje počítání s neúplnými čísly. Jen v případě, že veličiny vystupují ve fyzikálním vztahu v násobení či dělení a jsou zatíženy malými relativními chybami, lze využít zákon o sčítání malých relativních chyb (viz ukázka z protokolu.rtf). Při sčítání/odčítání veličin lze uplatnit zákon o sčítání absolutních chyb. Nejobecněji lze chybu výsledku vyhodnotit lineárním či kvadratickým zákonem sčítání chyb, kde váhy veličin představují parciální derivace vztahu podle dané veličiny v bodě určeném středními hodnotami ostatních veličin.

V každém případě je vždy nutné uvádět naměřenou hodnotu (střední hodnotu, nejpravděpodobnější hodnotu, aritmetický průměr) s možnou chybou měření (polovina či celý násobek nejmenšího dílku stupnice, výběrová směrodatná odchylka), která může být v odůvodněných případech bezpečně a rozumně nadsazena. Totéž platí pro výsledek experimentu, který má dobrý smysl jen s chybou měření, která kvantitativně charakterizuje přesnost vašeho měření.

veličina = (stř. hodnota ± chyba) jednotka

Při zhodnocení přesnosti měření se zamýšlíme nad zdrojem chyb (který se případně můžeme pokusit eliminovat či snížit). Chyby běžně klasifikujeme na statistické a chyby fitu, na možné chyby měření dané přesností měřidla (třídou přesnosti přístroje, polovinou nejmenšího dílku stupnice) či bezpečně nadsazené zkušeným experimentátorským okem, systematické chyby s původem v chybném měřidle, ve způsobu měření či v nepřesné teorii; dále náhodné chyby (náhodná okolnost při měření způsobí neobvyklou odchylku naměřené hodnoty) a hrubé chyby (veliká odchylka způsobená neopatrností, nešikovností experimentátora apod.), které zpravidla ihned vyloučíme a zpracování znovu provedeme, a nakonec zpravidla chyba výsledku, která byla určena vhodnými metodami při výpočtu přenosu chyb z více veličin na základě fyzikálních vztahů, kde tedy rozhoduje matematicko-fyzikální citlivost hledané veličiny na změřeném parametru.

Podrobnější výklad, komentář, návody a příklady naleznete v doporučené literaře, např. B. Vybíral: Zpracování dat fyzikálních měření (studijní text k FO).

Automatizace zpracování měření pomocí gnuplotu

Představte si, že v rámci nějakého projektu musíte několikrát opakovat a zpracovávat určité měření, vždy s jedinečným hledaným výsledkem. (Např. Pepíček chce provádět měření několikrát do roka, aby zjistil, jak guma v jeho praku slábne.) Let projektilu, tzn. naměřenou závislost s(t) tedy uložíte každou zvlášť nejlépe v souboru stejného jména, ale v různých adresářích, kam do každého můžete snadno přikopírovat dávkový soubor obsahující příkaz

c:\gnuplot\bin\wgnuplot.exe c:\MUJ_PRAK\zpracuj.gp

zároveň se správnou cestou k modulu gnuplotu a k vašemu skriptu pojmenovanému zpracuj.gp. Ten bude obsahovat sérii vhodných příkazů jako výše, případně dalších přímých výpočtů, jejichž výsledkem je nalezení hledaných hodnot (parametrů). Jestliže byste v terminálu gnuplotu ručně zadávali stále stejnou posloupnost příkazů (mohou-li parametry a jména souborů zůstat stejná), můžete si zjednodušit práci a napsat danou posloupnost jen jednou do skriptu a ten pak postupně spouštět gnuplotem – výsledek bude stejný. Užitečné příkazy jsou shrnuty ve stručném návodu; k úspěšnému využívání skriptů je třeba programátorská zručnost, důvtip a zpočátku trpělivost při zkoušení. Odměnou je zajímavé efektivní využití počítače ke zjednodušení práce. Účastníci soustředění dostanou možnost vyzkoušet si automatizované zpracování v rámci experimentálního odpoledne. Pro čtenáře tohoto úvodu jsme připravili malý příklad (s jiným problémem) pro inspiraci – stáhněte si a rozbalte soubor, spusťte oba *.bat soubory, čímž se vytvoří další soubory v adresáři, a všechny soubory si prostudujte, zejména jejich strukturu a funkci v rámci celku. Příkazy ze skriptů si poté můžete vyzkoušet postupně zadat ručně do terminálu gnuplotu, který spustíte programem wgnuplot.exe (u samotného ovšem nefunguje příkaz help).

Máte-li enormní zájem využívat gnuplot a nepodařilo-li se vám po dlouhém snažení ani samostudiu vyřešit nějaký problém, konzultanti z FYKOSu se vám pokusí poradit – pak jim zašlete všechny soubory, skripty, dávkové soubory, data apod. a dostatečně upřesněte vysněný cíl. K tomuto účelu jsou organizátoři automaticky zcela k dispozici účastníkům na soustředění (v rámci experimentálního odpoledne).

V případě potřeby se také můžete obrátit na nás a konzultovat s námi. V tom případě je nejlepší se obrátit na Pavla Broma nebo Lukáše Ledvinu.

©FYKOS – webmaster@fykos.cz