FYKOS

Výběr série

Zadání úloh 6. série

Termín odeslání poštou: 15. května 2017
Termín uploadu: 16.5.2017 23:59:59

Brožurka se zadáním úloh: PDF

Facebook icon

Úloha VI . 1 … dost těžké kulomety (3 body)

Na auto připevníme dopředu dva kulomety, které vystřelují kulky o hmotnosti m = 25 g rychlostí v1 = 500 m·s − 1, každý s frekvencí 10 výstřelů za sekundu. Auto se rozjede po rovině rychlostí v2 = 80 km·h − 1 a poté začne střílet. Kolik nábojů vystřílíme, než auto zastaví? Během palby nepřidáváme plyn, odpor vzduchu a kol zanedbáváme. Tepelné ztráty uvnitř zbraní jsou taktéž zanedbatelné.

Řešení: PDF
Facebook icon

Úloha VI . 2 … upadlo (3 body)

Z jaké výšky nad povrchem neutronové hvězdy bychom museli "upustit" předmět, aby dopadl na její povrch v rychlosti 0,1 c (0,1 rychlosti světla). Naše neutronové hvězda má hmotnost 1,5násobek hmotnosti Slunce a průměr d = 10 km. Zanedbejte atmosféru neutronové hvězdy a její rotaci. Zanedbejte relativistické korekce. Srovnejte ale jakého výsledku byste dosáhli, pokud by pád probíhal v homogenním gravitačním poli (které má intenzitu stejnou jako na povrchu planety) s tím, kdy pád probíhá v radiálním gravitačním poli.

Bonus: Uvažujte korekci na speciální teorii relativity v případě pádu v homogenním poli.

Facebook icon

Úloha VI . 3 … relativistický Zenonův paradox (6 bodů)

Superman a Flash se rozhodli, že si dají závod. Závod se koná v hlubokém vesmíru, protože na Zemi není dostatečně dlouhá rovná pláž. Flash, protože je pomalejší, startuje s délkovým náskokem l před Supermanem. Flash v jednu chvíli vyběhne s konstantní rychlostí vF srovnatelnou s rychlostí světla. Ve chvíli, kdy si Superman všimne, že Flash vyběhl, vyběhne také, a to konstantní rychlostí vS > vF. Za jak dlouho Superman Flashe dožene (z pohledu Supermana)? A za jak dlouho Flashe dožene Superman (z pohledu Flashe)? A byl vůbec závod spravedlivě odstartován, resp. dokázali byste vymyslet spravedlivější způsob (přičemž náskok l má být ponechán)?

Řešení: PDF
Facebook icon

Úloha VI . 4 … zastřel si svého potkana (7 bodů)

Mirek by rád zastřelil potkana, kterého vídá na kolejích. Připravil si tedy jednoduchou vzduchovou pušku, kterou si můžeme modelovat jako trubku s konstantním průřezem S = 15 mm² a délkou l = 30 cm, která je na jedné straně uzavřená a na druhé otevřená. Do ní se chystá Mirek umístit náboj hmotnosti m = 2 g, který trubku akorát utěsní, a to ve vzdálenosti d = 3 cm od uzavřeného konce. Náboj zde zatím nechá upevněný v klidu a natlakuje uzavřenou část trubky na určitý tlak p0. Posléze náboj uvolní. Chce aby na konci ústí byla minimálně rychlost náboje v = 90 m·s − 1. Poraďte mu, na jaký tlak by musel vzduchovou pušku natlakovat, aby náboj vyšel s takovou rychlostí, pokud by plyn byl ideální, a diskutujte realističnost uspořádání. Předpokládejte, že náboj je uvolňován kvazistatickým adiabatickým dějem, kde κ = 7 ⁄ 5, protože se jedná o dvouatomový plyn. Uvažujte, že z vnějšku působí na náboj atmosférický tlak pa = 105 Pa. Zanedbejte energetické ztráty vyvolané třením, odporem vzduchu a stlačováním plynu před nábojem.

Řešení: PDF
Facebook icon

Úloha VI . 5 … přetáhni ho přes prsty (8 bodů)

Máme homogenní tyč konstantního průřezu délky l připevněnou na jednom konci k otočnému kloubu. Na počátku směřuje tyč přímo vzhůru a jsme v homogenním tíhovém poli se zrychlením o velikosti g. Tyč se vlivem mírného závanu větru začne otáčet a "padat" dolů, ale stále je držena otočným kloubem. S jakým zrychlením se bude pohybovat konec tyče v průběhu času?

Řešení: PDF
Facebook icon

Úloha VI . P … vypařující se asteroid (9 bodů)

Umístíme hodně velký kus ledu, dejme tomu o průměru 1 km, do blízkosti hvězdy podobné Slunci na kruhovou dráhu. Blízkost je tak velká, že rovnovážná teplota černého tělesa by v této vzdálenosti byla zhruba 30 ° C. Co se bude dít s takovým asteroidem a jeho drahou? Asteroid nemá vázanou rotaci.

Facebook icon

Úloha VI . E … skladba jako od Cimrmana (12 bodů)

Sežeňte si skleničku na víno, ideálně tenkou se zabroušeným okrajem. Nejprve změřte vnitřní průměr skleničky v závislosti na výšce ode dna. Pak ji rozeznívejte, ideálně navlhčeným prstem pohybem po jejím okraji – někdy to chce trochu trpělivosti. Změřte závislost frekvence tónů, které sklenička vydává v závislosti na výšce naplnění vody v ní (alespoň pro 5 hladin vody a dvě frekvence v každé výšce).

Nápověda: Pokud je sklenička tenkostěnná, můžete její vnitřní rozměry považovat za stejné jako vnější a díky tomu závislost jejího průměru na výšce určit z vhodné fotografie s měřítkem. Pro měření zvuku doporučujeme freeware program Audacity (Rozbor → Kreslit spektrum).

Facebook icon

Úloha VI . S … nelineární (10 bodů)

  1. Zkuste vlastními slovy popsat, k čemu a jak se používá nelineární regrese (postačí vlastními slovy popsat následující: model nelineární regrese, způsob odhadu regresních koeficientů, vyjádření nejistot odhadů regresních koeficientů a hodnot prokládané funkce, statistické testy hodnot regresních koeficientů, identifikovatelnost parametrů a způsob volby prokládané funkce). Není potřeba uvádět přesná matematická odvození, stačí požadované pojmy a vlastnosti stručně popsat.
  2. V přiloženém datovém souboru regrese1.csv naleznete dvojice hodnot  (xi, yi). Těmito daty chceme proložit teoretickou funkční závislost, kterou je v tomto případě sinusoida, tedy funkce tvaru


    Vykreslete graf naměřených hodnot a proložené funkce a stručně ho okomentujte (takovýto graf musí mít všechny náležitosti). Není potřeba dělat regresní diagnostiku.

    Nápověda: Dejte si pozor na identifikovatelnost parametrů v tomto modelu a vhodné omezující podmínky na parametr c.

  3. V přiloženém datovém souboru regrese2.csv naleznete dvojice hodnot  (xi, yi). Těmito daty chceme proložit teoretickou funkční závislost, kterou je v tomto případě exponenciála, tedy funkce tvaru


    Určete hodnoty odhadů všech regresních koeficientů včetně nejistot měření.

    Nápověda: Grafickou metodou ověřte předpoklad homoskedasticity a v případě potřeby pro určení nejistot měření regresních koeficientů použijte Whiteův (sendvičový) odhad kovarianční matice.

  4. V přiloženém datovém souboru regrese3.csv naleznete dvojice hodnot  (xi, yi). Těmito daty chceme proložit teoretickou funkční závislost, kterou je v tomto případě hyperbola, tedy funkce tvaru


    Vykreslete graf naměřených dat v podobě průměrů a chybových úseček a proložené funkce a stručně ho okomentujte (takovýto graf musí mít všechny náležitosti). Proveďte regresní diagnostiku.

Bonus:   V přiloženém datovém souboru regrese4.csv naleznete dvojice hodnot  (xi, yi). Těmito daty chceme proložit teoretickou závislost, která je ovšem příliš složitá na analytické vyjádření. Proložte těmito daty regresní spliny (s vhodně zvolenými uzly a vhodně zvoleným stupněm).

Pro práci s daty použijte výpočetní prostředí R. Pro vyřešení těchto úkolů postačí drobně upravit přiložený skript, ve kterém je pomocí komentářů v kódu vysvětlena potřebná syntaxe jazyka R.

skript v kódování UTF-8
skript v kódování CP-1250
regrese1.csv
regrese2.csv
regrese3.csv
regrese4.csv
ukazka1.csv
ukazka2.csv
ukazka3.csv

Řešení: PDF
©FYKOS – webmaster@fykos.cz