FYKOS

Výběr série

  • Série 1

Zadání úloh 1. série

Termín odeslání poštou: 10. října 2016
Termín uploadu: 11.10.2016 23:59:59
Facebook icon

Úloha I . 1 … s rumem či bez? (3 body)

Do kuchyňského kastrolu, který prakticky nevede teplo, vložíme tři látky: vodu, ocel a rum. Voda má hmotnost mv = 0,5 kg, teplotu tv = 90 °F a měrnou tepelnou kapacitu cv = 1 kcal·kg−1·K−1. Ocelový váleček má hmotnost mo = 200 g, teplotu to = 60 °C a měrnou tepelnou kapacitu co = 0,260 kJ·kg−1·°F−1. Rum má hmotnost mr = 100 000 mg, teplotu tr = 270 K a měrnou tepelnou kapacitu cr = 3,5 J·g−1·°C−1. Jakou teplotu (ve stupních Celsia) bude mít soustava po ustálení tepelné rovnováhy?

Facebook icon

Úloha I . 2 … brzdná (3 body)

Petr rád jezdí po rovině na kole rychlostí v = 10 m·s − 1 a jeho chytré kolo hlásí, že Petrův výkon je P = 100 W. Po nehodě se zkřivily ráfkové brzdy, které teď na kolo působí třecí silou Ft = 20 N u obvodu. Po jakou dobu t′ musí teď Petr jet na kole rychlostí v, aby vykonal stejnou práci jako předtím za čas t?

Facebook icon

Úloha I . 3 … hopsa hejsa (5 bodů)

Mějme ideální hopík dokonalé odrazivosti a zanedbatelných rozměrů. Tento hopík hodíme z nekonečných schodů, kde jeden schod má výšku h a délku l. Odrazy probíhají beze tření. Popište závislost nejvyšší dosažené výšky (měřeno od prvního schodu) hopíku po n-tém odrazu na počátečních parametrech.

Facebook icon

Úloha I . 4 … něco je tu nakřivo (6 bodů)

Pozorovatel se nachází na lodi na otevřeném moři ve výšce h nad hladinou. Je vzdálen d od vodorovného zábradlí a to v takové poloze, že dívá-li se kolmo na zábradlí, splývá dolní okraj zábradlí s horizontem. Podívá-li se ale na zábradlí ve vzdálenosti l na stranu od kolmice, vidí, že se obzor nachází o s ± ss pod dolním koncem zábradlí. Určete poloměr Země.

Facebook icon

Úloha I . 5 … na procházce (7 bodů)

Katka si vyšla ráno před přednáškou na procházku, aby vyvenčila svého potkana. Vyšla s ním na rovný palouk, a když byl potkan ve vzdálenosti x1 = 50 m od ní, hodila mu míček rychlostí v0 = 25 m·s − 1 pod úhlem α0. V okamžiku výhozu potkan vyběhl směrem ke Katce rychlostí v1 = 5 m·s − 1. Nalezněte obecnou závislost úhlu φ na čase, kde φ(t) označuje úhel mezi vodorovnou rovinou a spojnicí potkana a míčku, a vykreslete tuto závislost do grafu. Na základě grafu určete, zda je možné, aby míček zakryl potkanovi Slunce, jenž se nachází ve výšce φ0 = 50 ° přímo před potkanem. Počítejte s tíhovým zrychlením g = 9.81 m·s − 2 a pro zjednodušení uvažujte, že házíme z nulové výšky.

Facebook icon

Úloha I . P … nebe padá na hlavu (8 bodů)

Už jste se někdy zamysleli nad tím, proč mraky nespadnou na zem, když jsou z vody, která má přece výrazně větší hustotu než vzduch? Dešťové kapky dopadnou na zem v řádech minut, tak proč ne i mraky? Zkuste tuto skutečnost fyzikálně objasnit. Veškerá svá tvrzení podložte výpočtem.

Facebook icon

Úloha I . E … Pechschnitte (12 bodů)

Padá krajíc namazanou stranou dolů? Zkoumejte experimentálně tento Murphyho zákon s důrazem na statistiku! Záleží na rozměrech krajíce, složení a typu vrstvy? K experimentálním výsledkům hledejte teoretická zdůvodnění. Pro vaše měření použijte toastový chléb.

Facebook icon

Úloha I . S … Náhodná (10 bodů)

  1. Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná veličina, rozdělení náhodné veličiny, realizace náhodné veličiny, střední hodnota, rozptyl, histogram).
  2. Vygenerujte grafy hustot pravděpodobnosti (případně pravděpodobností nabývání jednotlivých hodnot) všech v seriálu popsaných rozdělení náhodných veličin pro různé typy parametrů daného rozdělení a popište, jaký má změna parametru/ů vliv na tvar hustoty pravděpodobnosti (případně pravděpodobností nabývání jednotlivých hodnot).
  3. Vygenerujte z přiložených dat histogramy a pokuste se určit, ze kterého rozdělení tato data pocházejí.
  4. Definujme si náhodnou veličinu X jako výsledek hodu „férovou“ šestistěnnou kostkou (všechna čísla padají se stejnou pravděpodobností). Určete rozdělení náhodné veličiny X a dále spočítejte EX a varX.

Bonus   Uveďte příklad dvou náhodných veličin, které mají stejnou střední hodnotu i stejný rozptyl, ale mají různá rozdělení.

Pro práci s daty a vykreslování grafů použijte výpočetní prostředí R. Pro vyřešení těchto úkolů postačí drobně upravit přiložený skript, ve kterém je pomocí komentářů v kódu vysvětlena potřebná syntaxe jazyka R.

©FYKOS – webmaster@fykos.cz