Vypracování experimentální úlohy

Experimenty jsou nedílnou součástí fyziky. Ve vědě je experiment úzce spjatý s teoretickým bádáním, vyvrací nebo potvrzuje naše představy o světě, inspiruje a dává podněty k novému výzkumu a inspiruje. Z toho důvodu ve FYKOSu zadáváme v každé sérii i jednu experimentální úlohu (obyčejně za 12 bodů).

I přesto, že experimentální úlohy mají často obecná zadání, jejich řešení by měla splňovat určité náležitosti. V dalších odstavcích Ti povíme, jak by mělo správné řešení experimentální úlohy vypadat.

• Základy grafického zpracování dat
• Grafické zpracování dat pomocí programu GNUPLOT.
• Vyhodnocení a diskuse chyb měření.
• Automatizace zpracování měření pomocí gnuplotu.

Řešení experimentální úlohy by mělo mít zhruba tyto části:

• Úvod
• Úvahy a teoretické výpočty
• Popis uspořádání experimentu
• Představení výsledků měření
• Diskuze
• Závěr

Toto dělení není striktní, některé z částí je možné spojit dohromady (např. úvod může volně přejít v teoretické úvahy, diskuze může být zahrnuta do závěru, atd.).

• Úvod by měl ukotvit text v oblasti fyziky, jíž se pokus týká.
• Úvod obsahuje obecně známé poznatky, které jsou relevantní pro daný experiment a ze kterých se vychází.

• V této části by měly být rozvíjeny myšlenky a základní vztahy zmíněné v úvodu.
• Ze všeobecně známých poznatků se snaží řešitel odvodit důsledky pro svůj experiment. To znamená, že ze všeobecně známých poznatků máte odvodit důsledky pro svůj experiment. Typicky je to např. odvození rovnice, podle které se bude fyzikální systém při experimentu chovat.
• Občas však zadáváme experimenty, kde jsou teoretické výpočty příliš obtížné či dokonce nemožné. V tom případě doporučujeme sepsat úvahy, jak se asi bude systém chovat, a co od něj očekáváte.

• Toto je velmi důležitá část řešení a nesmí být ošizená! V této kapitole popisujete pomůcky použité v experimentu a metodu měření.
• Tam, kde je to relevantní, měly by být kvantitativně uvedeny parametry použitých pomůcek (např. je fajn uvést hmotnost závaží kyvadla a hmotnost lanka, i kdybychom pracovali v aproximaci matematického kyvadla - má to důsledky do diskuze, kde musíme posoudit, jestli aproximace matematického kyvadla byla korektní).
• Provedení experimentu musí být podrobně popsáno. Podle tohoto popisu musí být možné zopakovat měření. Pokud není jasné, s jakými pomůckami se pracovalo (+ parametry pomůcek, kde to má smysl) a jakou metodou se měřilo, nedávejte plný počet bodů.
• V této části je taktéž možné diskutovat nepřesnosti použitých měřicích přístrojů.

• Klíčovým výstupem měření bude ve valné části experimentů graf. Ve vědě i jinde v životě je grafická prezentace výsledků žádoucí. Graf sdělí informaci mnohem rychleji a lidštěji než tabulka s čísly.
• Většina fyzikálních experimentů přímo vybízí k tomu, aby výsledky byly prezentovány graficky (měříme závislost něčeho na něčem).
• Osy grafu musí být popsané i s jednotkami.
• Body v grafu nespojujte lomenou čarou. Taková lomená čára nemá žádný fyzikální význam, jednotlivá měření jsou zatížena chybami. Samozřejmě existují výjimky, například záznam z obrazovky osciloskopu nebo spektrální analýza, které berte na zřetel.
• Taktéž by v této části měly být z naměřených dat určeny nebo spočítány klíčové výsledky (např. směrnice fitující přímky) i s chybami.
• Podrobnější návod ke grafickému zpracování naměřených dat naleznete na stránce Základy grafického zpracování dat.

• V této části se máte zamyslet nad věrohodností výsledků, nad systematickými chybami ovlivňujícími přesnost měření. Pokud nespočítáte nejistotu měření v předchozí části, měl by to udělat tady. Musíte si uvědomovat, co limituje přesnost jeho měření.
• Dále byste měli porovnat výsledky experimentu se svými teoretickými úvahami a výpočty a jestli je to možné, tak i s hodnotami z tabulek či z vědeckých publikací.
• Můžete samozřejmě navrhnout další experimenty, které by rozvinuly vaši práci či poskytly přesnější výsledky

• Závěr by měl shrnout nejdůležitější zjištění z experimentu. Měly by zde být znovu explicitně uvedeny klíčové výsledky měření i s jejich nejistotami.
• Taktéž by mělo být řečeno, jestli výsledky experimentu odpovídají (kvalitativně nebo kvantitativně) předpovědím z části “Úvahy a teoretické výpočty”.
• Stačí pár vět, závěr by měl vypíchnout opravdu jen to nejdůležitější.

• Předpokladem k získání bonusového bodu je vypracování experimentální úlohy a protokolu za plný počet bodů (viz výše), jinak vám pouze přilepšíme. Bonusovým bodem můžeme ocenit např. originální, důmyslnou metodu měření či použití takové pomůcky.

Více informací o práci s Gnuplotem můžete získat v tomto stručném návodu.

Před zpracováním již víme a máme:

1. Definovaný problém a teoretické předpoklady, např. Pepíček střílí prakem do výšky na zemském povrchu. Teorie: Newtonova mechanika, rovnoměrně zrychlený pohyb popsaný kvadratickou závislostí výše ($s_2 = g/2 = 4,90\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$); teorie pružnosti. Předpoklady: Ideální pružina bez disipace energie. (tj. platí ZZE $1/2 mA^2 = 1/2 kR^2$.) Zanedbáváme odpor vzduchu, rotaci Země. Úkol: Stanovit rychlost projektilu $A$ ihned po vystřelení a spočítat tuhost gumy praku $k$.
2. Dostatečný počet experimentálních bodů v dostatečně velkém intervalu, např. deset výšek $s(t)$ projektilu nad zemí v daném čase (změřených stejným způsobem).
3. Máme rozmyšlen teoretický základ umožňující využít fitování modelovou funkcí. Tzn. deset hodnot $s(t)$ chceme v souladu s teorií a předpoklady nejlépe vystihnout modelovou funkcí

$$ s(t) = -\frac{g}{2} t^2 + \sqrt{\frac{kR^2}{m}} t + s_0 = -4,90 t^2 + At + s_0\,, $$

kde parametry $A$ a $s_0$ chceme určit fitováním i s chybou fitu! Počáteční polohu nepotřebujeme znát, ale musíme ji do modelové funkce zahrnout, aby fit dal správný výsledek $A$ (podobně je někdy třeba zahrnout pozadí). Srovnáním stran rovnic je pak již jednoduché vyjádřit a vypočítat hledanou tuhost gumy $k$, známe-li hmotnost projektilu $m$ a max. natažení gumy z rovnovážné polohy $R$, tzn. $k = A^2 m/R^2$. Nezapomeňme, že výsledek fitu $A$ musíme napsat se správnou jednotkou, např. měříme-li polohu v metrech a čas v sekundách, pak $[A] = \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ a $[k] = \mathrm{kg\cdot s^{-2}} = \mathrm{N\cdot m^{-1}}$.

Při použití programu GNUPLOT ke zpracování musíme naměřené hodnoty uložit v souboru se jménem např. mereni1.txt a s pevnou strukturou, např.

# č. měření, čas [s], výška [m], chyba měření [m]
# ... legendu a komentář za znakem # gnuplot ignoruje
# číselné hodnoty lze oddělit libovolným počtem mezer či tabulátorem,
# čárka jako desetinný oddělovač je nepřípustná
1	1	17	1
2	2	21	1
3	3	17	1
4	4	3	0.5

Po spuštění gnuplotu uplatníme alespoň následující příkazy:

• cd 'C:/FYZIKA/FYKOS/SERIE3/EXP'
• s(x)=-9.81/2*x**2 + A*x + s0
• fit s(x) 'mereni1.txt' using 2:3 via A,s0
• plot s(x), 'mereni1.txt' using 2:3
• plot [0:5] [0:25] s(x), 'mereni1.txt' using 2:3:($3-$4):($3+$4) with yerrorbars

Prvním příkazem nastavíme pracovní adresář, kde se má hledat soubor s naměřenými hodnotami mereni1.txt. Druhým příkazem definujeme vhodnou modelovou závislost, kterou následným příkazem fitujeme naměřené hodnoty, přičemž nezávislá proměnná $x$ se má načítat ze druhého sloupce a závislá proměnná $s(x)$ ze třetího sloupce. Poslední příkazy zobrazí optimální teoretickou závislost a naměřené hodnoty do společného grafu, kde ihned můžeme zhodnotit správnost fitu, příp. stejný příkaz fit opakovat (někdy se tím parametry A a s0 dále zpřesní) atd.

Na obrazovce (terminálu gnuplotu) se nám právě vypsaly poslední hodnoty hledaných parametrů včetně chyby fitu. Pro nalezenou hodnotu $A = (20,0\pm 0,3)\,\mathrm{m/s}$ v našem příkladu spočteme tuhost $k$, na níž se zde ptáme. Dále vidíme, že Pepíček držel prak asi $(1,5\pm 0,8)\,\mathrm{m}$ nad zemí a potřebovali jsme více pokusů na zobrazení pěkného grafu (zde ovšem bez popisků).

Další užitečné informace, nastavení popisků grafů, znázornění chyb měření a export grafů najdete ve stručném návodu s dalšími příklady a příkazy. Práci v gnuplotu si vyzkoušejte v nejbližším volném čase! Upozorňujeme, že malá a velká písmena nejsou v gnuplotu záměnná!

V této části již předpokládáme znalost statistického zpracování (výpočet aritmetického průměru a směrodatné odchylky). Mnohdy je však nezbytné s naměřenými hodnotami (tzn. $\mathrm{hodnota\pm chyba\;s\;jednotkou}$) a výsledky statistického zpracování dále počítat. Ve škole se příslušná látka zpravidla označuje počítání s neúplnými čísly. Jen v případě, že veličiny vystupují ve fyzikálním vztahu v násobení či dělení a jsou zatíženy malými relativními chybami, lze využít zákon o sčítání malých relativních chyb (viz ukázka z protokolu.rtf). Při sčítání/odčítání veličin lze uplatnit zákon o sčítání absolutních chyb. Nejobecněji lze chybu výsledku vyhodnotit lineárním či kvadratickým zákonem sčítání chyb, kde váhy veličin představují parciální derivace vztahu podle dané veličiny v bodě určeném středními hodnotami ostatních veličin.

V každém případě je vždy nutné uvádět naměřenou hodnotu (střední hodnotu, nejpravděpodobnější hodnotu, aritmetický průměr) s možnou chybou měření (polovina či celý násobek nejmenšího dílku stupnice, výběrová směrodatná odchylka), která může být v odůvodněných případech bezpečně a rozumně nadsazena. Totéž platí pro výsledek experimentu, který má dobrý smysl jen s chybou měření, která kvantitativně charakterizuje přesnost vašeho měření.

$$ veli\check{c}ina = \mathrm{(st\check{r}.\,hodnota\pm chyba)\,jednotka} $$

Při zhodnocení přesnosti měření se zamýšlíme nad zdrojem chyb (který se případně můžeme pokusit eliminovat či snížit). Chyby běžně klasifikujeme na statistické a chyby fitu, na možné chyby měření dané přesností měřidla (třídou přesnosti přístroje, polovinou nejmenšího dílku stupnice) či bezpečně nadsazené zkušeným experimentátorským okem, systematické chyby s původem v chybném měřidle, ve způsobu měření či v nepřesné teorii; dále náhodné chyby (náhodná okolnost při měření způsobí neobvyklou odchylku naměřené hodnoty) a hrubé chyby (veliká odchylka způsobená neopatrností, nešikovností experimentátora apod.), které zpravidla ihned vyloučíme a zpracování znovu provedeme, a nakonec zpravidla chyba výsledku, která byla určena vhodnými metodami při výpočtu přenosu chyb z více veličin na základě fyzikálních vztahů, kde tedy rozhoduje matematicko-fyzikální citlivost hledané veličiny na změřeném parametru.

Podrobnější výklad, komentář, návody a příklady naleznete v doporučené literatuře, např. B. Vybíral: Zpracování dat fyzikálních měření (studijní text k FO).

Představte si, že v rámci nějakého projektu musíte několikrát opakovat a zpracovávat určité měření, vždy s jedinečným hledaným výsledkem. (Např. Pepíček chce provádět měření několikrát do roka, aby zjistil, jak guma v jeho praku slábne.) Let projektilu, tzn. naměřenou závislost s(t) tedy uložíte každou zvlášť nejlépe v souboru stejného jména, ale v různých adresářích, kam do každého můžete snadno přikopírovat dávkový soubor obsahující příkaz

c:\gnuplot\bin\wgnuplot.exe c:\MUJ_PRAK\zpracuj.gp

zároveň se správnou cestou k modulu gnuplotu a k vašemu skriptu pojmenovanému zpracuj.gp. Ten bude obsahovat sérii vhodných příkazů jako výše, případně dalších přímých výpočtů, jejichž výsledkem je nalezení hledaných hodnot (parametrů). Jestliže byste v terminálu gnuplotu ručně zadávali stále stejnou posloupnost příkazů (mohou-li parametry a jména souborů zůstat stejná), můžete si zjednodušit práci a napsat danou posloupnost jen jednou do skriptu a ten pak postupně spouštět gnuplotem – výsledek bude stejný. Užitečné příkazy jsou shrnuty ve stručném návodu; k úspěšnému využívání skriptů je třeba programátorská zručnost, důvtip a zpočátku trpělivost při zkoušení. Odměnou je zajímavé efektivní využití počítače ke zjednodušení práce. Účastníci soustředění dostanou možnost vyzkoušet si automatizované zpracování v rámci experimentálního odpoledne. Pro čtenáře tohoto úvodu jsme připravili malý příklad (s jiným problémem) pro inspiraci – stáhněte si a rozbalte soubor, spusťte oba *.bat soubory, čímž se vytvoří další soubory v adresáři, a všechny soubory si prostudujte, zejména jejich strukturu a funkci v rámci celku. Příkazy ze skriptů si poté můžete vyzkoušet postupně zadat ručně do terminálu gnuplotu, který spustíte programem wgnuplot.exe (u samotného ovšem nefunguje příkaz help).

Máte-li enormní zájem využívat gnuplot a nepodařilo-li se vám po dlouhém snažení ani samostudiu vyřešit nějaký problém, konzultanti z FYKOSu se vám pokusí poradit – pak jim zašlete všechny soubory, skripty, dávkové soubory, data apod. a dostatečně upřesněte vysněný cíl. K tomuto účelu jsou organizátoři automaticky zcela k dispozici účastníkům na soustředění (v rámci experimentálního odpoledne).

V případě potřeby se také můžete obrátit na nás a konzultovat s námi. V tom případě je nejlepší se obrátit na Jirku.