Zadání 2. série 27. ročníku

Tyčinka Twix obsahuje $32$ % polevy. Jde o váleček průměru $10\;\mathrm{mm}$. Neuvažujte polevu podstavy. Jak je poleva tlustá?

Bonus: Uvažujte lepší model tyčinky.

Máme dřevěnou kuličku ve výšce $h=1\;\mathrm{m}$ nad Zemí o poloměru $R_{Z}=6\,378\;\mathrm{km}$ a hmotnosti $M_{Z}=5,\!97\cdot 10^{24}\;\mathrm{kg}$. Kulička má poloměr $r=1\;\mathrm{cm}$ a je ze dřeva o hustotě $ρ=550\;\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{−3}$. Předpokládejte, že Země má náboj $Q=5\;\mathrm{C}$. Jaký náboj $q$ by musela mít kulička, aby se mohla vznášet nad Zemí? Jak tento výsledek závisí na výšce $h?$

Máme nádobu o konstantním průřezu, která obsahuje ideální plyn a píst ve výšce $h$. Píst nejprve rychle (tzn. prakticky adiabaticky) stlačíme do výšky $h\!⁄\!2$, podržíme ho, než nastane tepelná rovnováha s okolím, a pak ho pustíme. Do jaké výšky píst vystoupá ihned? Do jaké výšky vystoupá za dlouhou dobu? Nakreslete $pV$ diagram.

Je známo, že Měsíc v úplňku má zdánlivou hvězdnou velikost přibližně $-12\;\mathrm{mag}$ a Slunce na denní obloze zase $-27\;\mathrm{mag}$. Pokuste se odhadnout, jakou hvězdnou velikost má Měsíc těsně před zatměním Slunce, pokud víte, že albedo Země činí $0,\!36$ a albedo Měsíce $0,\!12$. Předpokládejte, že světlo se po odrazu rozptyluje stejným způsobem na povrchu Země i Měsíce.

Kužel obrácený podstavou vzhůru může držet ve vzduchu na stříkajícím proudu vody, který vychází ze země s konstantním hmotnostním průtokem a počáteční rychlostí $v_{0}$. V jaké výšce nad zemí se bude kužel v rovnováze vznášet?

Bonus: Vyšetřete stabilitu kužele v této poloze.

Odhadněte, kolik jaderného paliva se spotřebuje v jaderné elektrárně na $1\;\jd{MWh}$ elektrické energie, kterou spotřebují lidé až v domácnosti. Srovnejte to se spotřebou paliva v tepelné elektrárně. Nezapomeňte uvažovat všechny možné ztráty.

Bonus: Uvažte i energii, která se spotřebuje při těžbě a přepravě potřebných surovin.

Máme nakloněnou rovinu, na které postrčíme míček, aby se začal kutálet bez prokluzování směrem nahoru po nakloněné rovině. Změřte závislost rychlosti míčku na čase a určete závislost ztráty energie na čase. Nakloněná rovina nechť svírá úhel s vodorovnou rovinou úhel $α=10°$. Nezapomeňte popsat parametry vašeho míčku.

• Jaký je fyzikální rozměr akce? (Jaké má tato veličina jednotky?) Má stejnou jednotku jako některá z fundamentálních konstant z první otázky k minulému dílu seriálu? Která?

*Od Nielse Bohra – Uvažujte pohyb hmotného bodu po kružnici s dostředivou silou

$$F_\mathrm{d} = m a_\mathrm{d} = \frac{\alpha}{r^2}\,,$$ kde $r$ je poloměr kružnice a $α$ nějaká konstanta. Pak

• Spočítejte redukovanou akci $\mathcal{S}_{0}$ pro jeden oběh po kružnici jako funkci jejího poloměru $r$.
• Určete hodnoty $r_{n}$, pro které je hodnota $\mathcal{S}_{0}$ přirozeným násobkem konstanty z podúlohy a).
• Celková energie hmotného bodu je $E=T+V$. Pro tuto sílu je $V=−α⁄r$. Vyjádřete energie $E_{n}$ částic v závislosti na poloměrech $r_{n}$ za pomoci uvedených konstant.

//Tip:// Jistě jste ve fyzice probírali pohyb po kružnici a odpovídající vztahy mezi pohybovými veličinami. Použijte je a pak se integrace akce po obvodu kružnice s konstantním $r$ podstatně zjednoduší (veličiny konstantní při integraci můžete před integrál vytknout). Nezapomeňte také, že samotný dráhový integrál „ničeho“ je prostě délka zintegrované dráhy.

• Poslední podúloha může znít komplikovaně, ale je pouhým cvičením na derivaci a integraci jednoduchých funkcí. Vystačíte si se základními tabulkovými derivacemi a integrály. Ověřte, že plná akce $S$ pro volnou částici pohybující se z bodu [ 0$;0]$ do bodu [ 2$;1]je$ pro trajektorii odpovídající přímočarému pohybu (první případ) minimální, tedy je větší v ostatních dvou případech

$$\mathbf{y}(t)=\left(2t,t\right), \, \mathbf{y}(t)=\left(1-\cos{(\pi t)} \frac{1}{\pi}\sin{2\pi t}, t\right), \, \mathbf{y}(t)=\left( 2t, \frac{\;\mathrm{e}^t-1 t^2(t-1)}{\mathrm{e}-1}\right) \,,$$

kde e je Eulerovo číslo.

//Tip:// Nejprve spočtěte derivaci $\textbf{y}(t)$, dosaďte do výrazu pro akci a zintegrujte.