Zadání 2. série 33. ročníku

Říká se, že lidé ve výtahu bez větších problémů snesou zrychlení $a = 2{,}50\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$. Také bychom chtěli dorazit do plánovaného patra co nejdříve. Pokud by se výtah čtvrtinu doby jízdy rozjížděl s tímto zrychlením, polovinu doby jel konstantní rychlostí a zbývající čtvrtinu doby zpomaloval, jak vysoko by dokázal vyjet za celkovou dobu jízdy $t = 1{,}00\,\mathrm{min}$?

Uvažujme pevně zavěšenou kladku, na níž je umístěno lano zanedbatelné hmotnosti. Na jednom konci lana je upevněno závaží o hmotnosti $m_1$ a na druhém konci se ve stejné úrovni nachází naviják o hmotnosti $m_2$. V prvním případě je naviják ukotven na zemi a při navíjení lana se zvedá pouze závaží. V druhém případě je závaží pevně spojeno s navijákem tak, že při navíjení se zvedají společně závaží i naviják. Určete, ve kterém případě bude zapotřebí menší síly pro zdvihnutí závaží (a tudíž slabšího navijáku).

Destička tloušťky $t=1{,}0\,\mathrm{mm}$ se šířkou $d =2{,}0\,\mathrm{cm}$ se skládá ze dvou částí. První část o hustotě $\rho_1 =0{,}20\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ má délku $l_1 = 10\,\mathrm{cm}$, druhá část o hustotě $\rho_2 =2{,}2\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ má délku $l_2 = 5{,}0\,\mathrm{cm}$. Desku položíme na hladinu vody s hustotou $\rho_{\mathrm{v}} = 1{,}00\cdot 10^{3}\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ a počkáme, až se ustálí v rovnovážné poloze. Jaký úhel bude svírat rovina desky s hladinou vody? Jaká část destičky zůstane trčet nad hladinou?

Máme tenký dokonale tuhý homogenní disk o poloměru $R$ a hmotnosti $m$, ke kterému je připojena gumička. Jedním koncem je upevněná ve vzdálenosti $2R$ od okraje disku a druhým koncem na jeho okraji. Gumička funguje jako dokonalá tenká pružina o tuhosti $k$, klidové délce $2R$ a zanedbatelné hmotnosti. Disk je upevněný ve svém středu tak, že se může v jedné rovině volně otáčet kolem tohoto bodu, ale nemůže se posouvat či měnit rotační rovinu. Určete závislost velikosti momentu síly, kterou bude gumička urychlovat či zpomalovat rotaci disku v závislosti na úhlové výchylce $\phi$, a sestavte pohybovou rovnici disku.

Bonus Určete periodu malých kmitů soustavy.

Odhadněte, o kolik by stoupl obsah $\ce{CO2}$ v atmosféře, pokud by shořela veškerá vegetace na zemském povrchu.

Změřte svůj objem několika různými způsoby.

1. Určete, kolik procent první stránky vzorového řešení úlohy 26-IV-5 zabírá černá barva. Řešení této úlohy najdete na \url{https://fykos.cz/_media/rocnik26/ulohy/pdf/uloha26_4_5.pdf}.
2. Představte si, že máte tužku, jejíž tuha má poloměr $r=0{,}8\,\mathrm{mm}$. Tuha je vyrobena z grafitu v šesterečné soustavě, kde vzdálenost atomů uhlíku v jedné vrstvě je rovna $a = 2{,}46\cdot 10^{-10}\,\mathrm{m}$ a jednotlivé vrstvy jsou od sebe vzdáleny $c = 6{,}71\cdot 10^{-10}\,\mathrm{m}$. Jakou délku tuhy spotřebujete na pomalování celé čtvrtky A4, pokud se papír při barvení pokryje průměrně $100$ vrstvami tuhy?

1. Na obrázku \ref{R33S2U8_zadani} je zobrazena stabilní tyčová soustava, která se nachází v tíhovém poli se zrychlením $g$. Nejtlustší linka znázorňuje dokonale tuhé tyče zanedbatelné hmotnosti. Na konci těchto tyčí je na nehmotném provázku upevněno závaží o hmotnosti $m$ (na obrázku zobrazeno středně tlustou linkou). Tenké čáry symbolizují délky tyčí. Platí, že $\alpha + \beta = 45^\circ$. Tyč mezi úhly $\alpha$ a $\beta$ půlí horní tyč. Tyče mohou působit silou pouze ve svém směru (žádná složka není kolmá na tyč). Tyče jsou v místech dotyku s levou stěnou pevně upevněny. Určete, které tyče jsou namáhány v tlaku a které v tahu a spočítejte velikosti sil, které na ně působí.
2. Uvažujme spirálu, která začíná v počátku soustavy souřadné a odvíjí se rovnoměrně. Vzdálenost mezi jednotlivými závity $a$ je konstantní. Popište pohyb po této spirále ve vhodných souřadnicích.
3. Mějme šroubovici, která se odvíjí rovnoměrně. Šroubovice má konstantní poloměr $R$ a konstantní vzdálenost mezi závity $h$. Popište pohyb po šroubovici ve vhodných souřadnicích a určete, jaká je délka jednoho závitu této šroubovice.

Bonus Vymyslete nebo najděte (a citujte) souřadnice, které nejsou v knihovničce FO a byly by vhodné pro popis nějakého fyzikálního problému (uveďte jakého). Souřadnice popište převodem z kartézských souřadnic na vámi vybrané a zpět. Dále ukažte, jak lze ve vašich souřadnicích obecně určit vzdálenost dvou bodů.