Zadání 1. série 36. ročníku

Jarda se rozhodl upéct koláč, ale zjistil, že se v jeho kuchyňské váze vybila baterka a nemá jak odvážit $300\,\mathrm{g}$ mouky. Napadlo ho však, že může použít kostku másla, na které je napsáno, že má hmotnost $m = 250\,\mathrm{g}$. Naštěstí našel ještě vhodnou pružinu a stopky. Na velmi lehkou mističku nasypal hromádku mouky, připevnil na pružinu, rozkmital a změřil periodu $T_1=2{,}8\,\mathrm{s}$. To stejné udělal s kostkou másla a naměřil $T_2 = 2{,}3\,\mathrm{s}$. Poraďte Jardovi, kolik mouky má přidat nebo odebrat.

Mějme ideální váhu, kterou zkalibrujeme státním etalonem o hmotnosti $m_{\mathrm{e}} = 1{,}000~000~165\,\mathrm{kg}$ a hustotě $\rho_{\mathrm{e}} = 21~535{,}40\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$. Kalibrací myslíme to, že po položení etalonu na váhu přiřadíme naměřené hodnotě právě hmotnost $m_{\mathrm{e}}$. Vážení neznámého předmětu pak provedeme za stejných podmínek, při kterých má objem $V_0 = 3{,}242~27\,\mathrm{dl}$. Jestliže jsme navážili váhu $G = 1{,}420~12\,\mathrm{N}$, jakou hmotnost jsme naměřili? Jaká je skutečná hmotnost předmětu? Experiment provádíme v místě s normálním tíhovým zrychlením $g = 9{,}806~65\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}$ a hustotou vzduchu $\rho_{\mathrm{v}}=1{,}292~23\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$. Uvažujte, že kalibrace je lineární a že nezatížená váha ukazuje nulu.

Do válcové sklenice o výšce $h = 7{,}0\,\mathrm{cm}$ a vnitřním poloměru $r = 2{,}5\,\mathrm{cm}$ nalijeme horkou meruňkovou marmeládu o teplotě $T_0 = 80\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, zavřeme ji víčkem a necháme chladnout, přičemž mezi marmeládou a víčkem je ve sklenici trochu vzduchu. Víčko se může lehce promáčknout dovnitř, když na něj působí alespoň síla $F = 4\,\mathrm{N}$. Při promáčknutí se ozve zvuk, který jsme slyšeli po čase $t_{\mathrm{p}} = 30\,\mathrm{min}$ od zavření skleničky. Jestliže marmeláda tuhne při teplotě $T_{\mathrm{t}} = 60\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, bude již při promáčknutí víčka ztuhlá?

Bonus Jak dlouho po začátku chladnutí marmeláda ztuhne? Předpokládejme, že teplota je v celé sklenici všude stejná a rychlost chladnutí závisí pouze na rozdílu teplot ve sklenici a okolní teploty $T_{\mathrm{ok}} = 25\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$.

Na úpatí hory tvaru dokonalého kužele s vrcholovým úhlem $\alpha = 90\,\mathrm{^\circ}$ stojí město. Přesně na opačné straně hory ve stejné nadmořské výšce je železniční stanice, proto se radní z města rozhodli pro stavbu silnice ke stanici. Můžou postavit buď tunel, nebo cestu vést po povrchu hory. Jaký může být maximální poměr ceny za kilometr tunelu ku ceně za kilometr silnice, aby byla stavba tunelu levnější? Silnici lze vést libovolnou trasou po povrchu hory.

Do U-trubice s celkovou délkou $l$ a průřezem o obsahu $S$ nalijeme $V$ vody (tak, aby byl celý ohyb pod vodou a současně platilo $Sl > V$) a necháme ustálit hladinu. Jeden konec U-trubice uzavřeme a vodní hladinu rozkmitáme. Jaká bude perioda malých kmitů vodního sloupce?

Odhadněte spotřebu elektrické energie na jednu jízdu vlaku IC Opavan. Souprava se sedmi vozy má lokomotivu řady 151 a je schopná dosáhnout rychlosti $v_{\mathrm{max}} = 160\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}$. Pro jednoduchost uvažujte, že všichni cestující jedou z Prahy do Opavy.

Změřte hustotu ledu.

Najděte si hodnotu Rydbergovy konstanty a určete, které spektrální čáry vodíku náleží do viditelného spektra. Tyto čáry jsou jediné, které mohl Rydberg k objevení svého vztahu použít, protože UV ani IR spektra ještě nebylo možné měřit. Jakou mají barvu a kterým přechodům v Bohrově modelu odpovídají? $(3\,\mathrm{b})$ Spočítejte si svoji de Broglieho vlnovou délku. Jaká je tato hodnota ve srovnání s velikostí atomu, případně atomového jádra? $(3\,\mathrm{b})$

Máme kyvetu s $10\,\mathrm{ml}$ roztoku fluoresceinu ve vodě, do které svítíme argonovým laserem o vlnové délce $488\,\mathrm{nm}$ a výkonu $10\,\mathrm{W}$. Zároveň molekula fluoresceinu fluorescenčně vyzařuje na vlnové délce $521\,\mathrm{nm}$ s kvantovým výtěžkem (podíl absorbovaných fotonů, které se vyzáří zpět) $95\,\mathrm{\%}$. Pokud je počáteční teplota kyvety $20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, za jak dlouho se její obsah začne vařit? Předpokládejte, že kyveta je dokonale tepelně izolovaná, že paprsek se v ní plně absorbuje a že množství fluoresceinu je zanedbatelné z hlediska tepelné kapacity. $(4\,\mathrm{b})$