Zadání 4. série 35. ročníku

Mnoho jednotek na Zemi je historicky svázáno s vlastnostmi naší planety. Jaké by byly jednotky jako metr, uzel či atmosféra, kdybychom je zavedli stejným způsobem, jako byly původně zavedeny na Zemi, ale přitom bychom bydleli na Marsu? Uveďte jak poměry mezi „zemskými“ a „marťanskými“ jednotkami, tak i jejich vyjádření pomocí jednotek SI.

Matfyz kromě návrhu vlastního piva plánuje postavit i zábavní park. Postaví tam speciální fyzikální bobovou dráhu, na které boby začínají s nějakou nenulovou vertikální rychlostí $v_y$ a rozjíždí se svisle dolů. Dráha se postupně zakřivuje víc a víc do vodorovného směru, přičemž svislá složka rychlosti zůstává konstantní.

Jakou mají boby rychlost ve vodorovném směru v závislosti na výšce, o kterou klesly, a jakou mají celkovou rychlost v závislosti na čase? Boby po dráze jezdí bez tření.

Bonus Jaký je tvar bobové dráhy?

Dvě malé kuličky jsou upevněny na koncích provázků stejné délky ($l = 42{,}0\,\mathrm{cm}$) a zanedbatelné hmotnosti. Opačné konce obou provázků jsou uchyceny v tomtéž bodě. Kuličky mají stejnou velikost, liší se však materiálem, z něhož jsou vyrobeny. Jedna je ocelová ($\rho_1 = 7~840\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$) a druhá duralová ($\rho_2 = 2~800\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$). Obě závaží pustíme z klidu s počáteční výchylkou $5^\circ$, poté dojde k dokonale pružné srážce. Do jaké maximální výšky po ní jednotlivé kuličky vystoupí? Jak to dopadne po druhé srážce?

Ptáka Fykosáka už unavovalo létat silou vlastních křídel, a proto začal přemýšlet o stavbě vlastního vrtulníku. Vytvořil si jednoduchý model nosného rotoru a chtěl zjistit, s jakou úhlovou frekvencí $\omega$ se má skutečný rotor otáčet. Listy rotoru se zařezávají do vzduchu pod úhlem $45^\circ$. Molekuly vzduchu jsou jimi díky tomu odráženy přímo dolů, čímž vzniká tok hybnosti. Molekuly vzduchu považujte za původně nehybné a srážky s nosnou plochou za dokonale pružné.

Účinná část nosné plochy (tj. část skloněná pod úhlem $45^\circ$ vůči vodorovnému směru) se nachází ve vzdálenosti $r_1 = 50\,\mathrm{cm}$ až $r_2 = 6{,}00\,\mathrm{m}$ od osy rotace, průmět listu rotoru do svislého směru má výšku $h = 10{,}0\,\mathrm{cm}$. Fykosákův vrtulník bude mít čtyři takové listy.

Kolik otáček za sekundu musí rotor vykonat, aby se vrtulník o hmotnosti $m = 2~500\,\mathrm{kg}$ právě udržel na místě?

Zamyslete se nad tím, jak je možné zjednodušit pohyb člověka krajinou v zimních podmínkách. Vezměte do úvahy různé sklony terénu, typy sněhové pokrývky („prašan,“ mokrý sníh, přemrzlý sníh, led, \ldots) a pomůcky (sněžnice, lyže, mačky, brusle, \ldots). Popište, jak dané pomůcky z fyzikálního hlediska fungují, a na základě toho určete, které jsou v jakých podmínkách nejvhodnější.

Změřte alespoň tři fyzikální vlastnosti nejmenší platné mince měny státu, ve kterém žijete. Makroskopické rozměry považujeme za jednu veličinu. Hodnotíme nejen přesnost měření a podrobnost popisu, ale i originalitu při výběru veličin.

1. V jaké vzdálenosti od povrchu terče (předpokládejte, že je z uhlíku a pro laser o vlnové délce $351\,\mathrm{nm}$) se nachází kritický povrch a v jaké vzdálenosti dochází ke vzniku dvouplazmonového rozpadu, pokud je charakteristická délka plazmatu\footnote{Hustota plazmatu $n_e$ v závislosti na vzdálenosti od terče se typicky vyjadřuje jako funkce $n_e = f\!\left(\frac{x}{x_c}\right)$, kde $x$ je vzdálenost od terče a $x_c$ je tzv. charakteristická delka plazmatu, která představuje škálovací parametr od terče.} $50\,\mathrm{\upmu{}m}$? Dále předpokládejte
   1. exponenciální pokles hustoty plazmatu s rostoucí vzdáleností od terče,
   2. lineární pokles hustoty plazmatu s rostoucí vzdáleností od terče.
2. Jakou musí mít elektrony energii, aby prošly od kritického povrchu ke skutečnému povrchu terče? Pro dosah elektronů v uhlíkovém plazmatu využijte empirický vztah $R = 0{,}933~4 E^{1{,}756~7}$, kde $E$ je v \jd{MeV} a $R$ je v \jd{g.cm^{-2}}.
3. Na jaké délce se elektrony v elektrickém poli plazmové vlny urychlí na tyto energie?
4. Jaké vlnové délky rozptýleného světla můžeme pozorovat v případě stimulovaného Ramanova rozptylu pro laser o vlnové délce $351\,\mathrm{nm}$?