Zadání 1. série 33. ročníku

Kamioňák se rozhodne na dálnici předjet autobus. Kamion jede o $2~\%$ vyšší rychlostí než autobus. Když je kamion přesně vedle autobusu, začne na dálnici pravotočivá zatáčka, která způsobí, že po celou zatáčku jedou obě vozidla vedle sebe a za nimi se už začíná tvořit značná kolona. Určete poloměr zatáčky (vnitřního jízdního pruhu), je-li šířka jízdních pruhů $3{,}75\,\mathrm{m}$.

Jak dlouho potrvá vybití plně nabité autobaterie ($12\,\mathrm{V}$, $60\,\mathrm{Ah}$), zapomene-li někdo vypnout potkávací světla auta, zamkne a odejde pryč? Konkrétně nás zajímá situace pro přední světla H4 (výrobce udává $55\,\mathrm{W}$ každé) a zadní světla P21/5W (dle výrobce $5\,\mathrm{W}$ každé). Pro jednoduchost považujte transport energie z baterie do světel za bezztrátový, odběr dalších spotřebičů (jako GPS sledování) za zanedbatelný a napětí na baterii za konstantní.

Dano pokračuje ve vybavování svojí vily další saunou – tentokrát infrasaunou. Chce umístit zářivku těsně pod strop sauny ve výšce $H=2{,}5\,\mathrm{m}$ nad zemí. Emituje-li zářič energii s délkovým zářivým výkonem $p = 1{,}2\,\mathrm{kW\cdot m^{-1}}$, jaké budou intenzita a celkový výkon záření dopadajícího na povrch lidského těla zhruba $h=50\,\mathrm{cm}$ nad zemí? Zářivka je rovná, září homogenně a je upevněna těsně pod středem stropu od jednoho kraje sauny do druhého.

Nápověda Pro jednoduchost uvažujte, že stěny, kde zářivka končí, a strop jsou zrcadla a že podlaha a stěny, kterých se zářivka nedotýká, záření dokonale absorbují a nevyzařují zpět do místnosti.

Bylo nebylo, Mišo chtěl uspořádat největší párty vůbec. K tomu je ale potřeba pořádná disco koule, a tak si nechal Měsíc obložit zrcadly, čímž z něj udělal největší disco kouli, která měla odrážet světlo od Slunce. Je zřejmé, jak párty dopadla, ale nás zajímá nejmenší možný rozdíl magnitud Slunce a disco koule při pohledu ze Země.

Starman se před odletem do kosmu na cestu k Marsu ve svém voze Tesla Roadster domluvil s Muskem, že jakmile bude ve vzdálenosti $r=5{,}0\cdot 10^{6}\,\mathrm{km}$ od hmotného středu Země, tak na něj Musk zasvítí výkonným zeleným laserem. Vlnová délka laseru se vlivem gravitačního pole Země zvětší. Porovnejte tuto změnu vlnové délky s vlivem elektromagnetického Dopplerova jevu, vzdaluje-li se Starman od Muska rychlostí $v=4{,}0\,\mathrm{km\cdot s^{-1}}$. Uvažujte, že oba jevy působí zvlášť.

Jak velká by mohla být co nejmenší a nejlehčí zbraň, která by dokázala zničit planetu? Samozřejmě ještě v rozumném čase v rámci lidského života a čím rychleji, tím lépe.

Jak závisí frekvence zvuku, který vydáváte foukáním do skleněné lahve, na objemu kapaliny v lahvi? Diskutujte, jaký vliv na tuto závislost má tvar lahve.

1. Vyjádřete následující veličiny\footnote{Bez ohledu na to, že dané součiny možná nedávají žádný rozumný fyzikální smysl.} pomocí základních jednotek SI.
   1. $\mathrm{F}\cdot\Omega$, kde $\mathrm{F}$ je farad a $\Omega$ je ohm
   2. $\mathrm{N}\cdot\mathrm{Pa}$, kde $\mathrm{N}$ je newton a $\mathrm{Pa}$ je pascal
   3. $\dfrac{\mathrm{C}\cdot\mathrm{V}}{\mathrm{J}}$, kde $\mathrm{C}$ je coulomb, $\mathrm{V}$ je volt a $\mathrm{J}$ je joule
   4. $\dfrac{\mathrm{T}\cdot\mathrm{Wb}}{\mathrm{H}\cdot\mathrm{Sv}}$, kde $\mathrm{H}$ je henry, $\mathrm{Sv}$ sievert, $\mathrm{T}$ tesla a $\mathrm{Wb}$ weber
2. V následujících tvrzeních nalezněte všechny chyby a popište, proč jde o chyby.
   1. $s = vt^2/2 = 5{,}2 \cdot 1{,}2^2 /2 = 3{,}744\,\mathrm{m} \,. $
   2. $y_{\mathrm{m}} \sin \left( 2 \pi \omega \right) = 15 cm \cdot \sin \left( 2 \cdot 3{,}141 \cdot 50 Hz \right) \doteq 0 cm $
   3. Pro experimenty jsme použili úspěšně sadu gamabeta. Na základě měření radioaktivního rozpadu Uranu ve smolinci jsme zjistily, že náš vzorek má aktivitu přesně 532,24 bequerelů.
   4. $s = 1{,}23\,\mathrm{m}$, $t = 2{,}7\,\mathrm{s} \Rightarrow v = s/t \doteq 0{,}46\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}$, $m = 240\,\mathrm{g}$, $E = mv^2/2 \doteq 25\,\mathrm{J}$, $P = E/t \doteq 9{,}3\,\mathrm{W}$
3. Jakou silou působí vítr na korunu stromu? Víme, že to má souvislost s rychlostí větru $v$, průřezem stromu vystaveného větru $S$ a hustotou vzduchu $\rho$. Proveďte rozměrovou analýzu a na jejím základě určete vztah pro sílu.
4. Sestavte podobnostní číslo odpovídající situaci, ve které protlačujeme kapalinu skrz charakteristickou délku $l$ pomocí gradientu tlaku $\dfrac{\d p}{\d x}$ (případně si tuto veličinu představte jednoduše jako změnu tlaku se vzdáleností $\dfrac{\Delta p}{\Delta x}$). Kapalina má hustotu $\rho$ a kinematickou viskozitu $\nu$. Určete, jaké všechny varianty tohoto podobnostního čísla existují. Jednu z nich si vyberte a pokuste se ji interpretovat.

Bonus Vymyslete co nejoriginálnější Planckovu jednotku (veličinu sestavenou z kombinace redukované Planckovy konstanty $\hbar$, gravitační konstanty $G$, rychlosti světla $c$, Boltzmannovy konstanty $k_{\mathrm{B}}$ a Coulombovy konstanty $k_{\mathrm{e}}$, přičemž nemusí obsahovat všechny). Popište její odvození a okomentujte její hodnotu. Nejzajímavější zmíníme v brožurce s řešeními.