Zadání 4. série 36. ročníku

Robert zjistil, že do své nové čelovky musí dát 3 baterie o kapacitě $1~000\,\mathrm{mAh}$ a napětí $U=1{,}5\,\mathrm{V}$. V čelovce jsou baterie zapojeny sériově. Za jak dlouho se baterie vybijí, pokud napájí čelovku o výkonu $P=5\,\mathrm{W}$ a účinnosti $\eta=90\,\mathrm{\%}$?

Balónek o hmotnosti $m_{\mathrm{b}}=2{,}7\,\mathrm{g}$ a objemu $V_0=4\,\mathrm{l}$ byl napuštěn heliem o stejné teplotě, jakou má okolní vzduch, tedy $T_0=20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Uvnitř balónku je tlak o $\Delta p=2\,\mathrm{kPa}$ vyšší než v okolí. Na jakou teplotu musíme balónek a plyn v něm zchladit, aby se přestal vznášet? Předpokládejte, že po zchlazení bude v balónku atmosférický tlak.

Všichni to známe – uzavírky na silnicích a nekonečné stání na semaforech. Zelená svítí po dobu $60\,\mathrm{s}$, ale než se stačí všichni rozjet, už je zase červená. Uvažujme $0{,}5\,\mathrm{s}$ reakční dobu řidiče, než se rozjede poté, co se dalo do pohybu auto před ním. O kolik procent by se zvýšil počet aut, která projedou uzavírkou, kdyby se všichni ve frontě rozjeli současně? První auto stojí na úrovni semaforu, vzdálenost předních nárazníků všech aut odhadněme na $5\,\mathrm{m}$ a všechna se rozjíždí rovnoměrně zrychleně po dobu $5\,\mathrm{s}$ na rychlost $30\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}$, kterou pak pokračují dále do uzavírky.

Máme hvězdářský (Keplerův) dalekohled, který chceme vyslat do vesmíru. Nejdřív si ho však vyzkoušíme na Zemi, kde naměříme zvětšení $Z$. Jak se musí změnit vzájemná vzdálenost čoček, aby měl stejné zvětšení i ve vesmíru? Čočky mají index lomu $n$.

Dva mimozemšťané bydlí každý na své kosmické stanici. Stanice se nacházejí ve volném prostoru a vzdálenost mezi nimi je $L$. Když chce jeden mimozemšťan navštívit druhého, musí nasednout do své nerelativistické rakety a doletět k sousedovi. Jaký nejkratší čas může mimozemšťan strávit na cestě tam i zpět? Hmotnost rakety s palivem je $m$, bez paliva $m_0$. Výtoková rychlost spalin je $u$, tok paliva je libovolný. Jeho soused mu žádné palivo načerpat nedovolí (sám má málo).

Diskutujte, jaké fyzikální jevy ovlivňují rychlost plavby lodi a ponorky. Jaké odporové síly na ně působí? Jakou nejvyšší rychlostí loď nebo ponorka může plout?

Mějme přes tyč omotané lano se závažím o hmotnosti $m$ na jednom svém konci. Změřte závislost hmotnosti zátěže $M$ na druhém konci potřebné k uvedení lana do pohybu na počtu obtočení lana kolem tyče.

1. Na začátku seriálu jsme zmínili několik aproximací, které jsme použili – jednak zafixování jader a jednak zanedbání relativistických efektů. Pro které prvky čekáte, že se budou elektrony nejvíce vzájemně ovlivňovat s pohybem jader, a proč? A ve které části periodické tabulky si myslíte, že se nejvíce projeví relativistické efekty? Z jakého důvodu? $\left(2\,\mathrm{b}\right)$
2. Celková energie molekuly vody, jak ji dostaneme z kvantově chemického výpočtu, je cca. $-75\,\mathrm{Ha}$. Energie uvolněná slučováním vodíku a kyslíku na vodu je $242\,\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$. Pokud spočítáme energii reaktantů i produktů s chybou $1\,\mathrm{\%}$, jaká bude chyba v určení reakční energie? Také zkuste najít nějakou analogii s měřením v reálném světě. (Například: „Zvážím se s pětikorunou a bez ní, abych určil její hmotnost.“) $\left(3\,\mathrm{b}\right)$
3. Nainstalujte si program Psi4 a pokuste se spočítat, o kolik se liší energie lodičkové a (zkřížené) vaničkové konformace cyklohexanu. Můžete použít přiložené vstupní soubory s již optimalizovanou geometrií. Jak moc se liší výsledek od experimentální hodnoty $21\,\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$? $\left(2\,\mathrm{b}\right)$

   Poznámka: Pokud narazíte na problémy s programem Psi4, neváhejte se ozvat na emailovou adresu mikulas@fykos.cz

4. Zkuste spočítat energii reakce pro chloraci benzenu $\ce{C_6H_6} + \ce{Cl_2} \Rightarrow \ce{C_6H_5Cl} + \ce{HCl}$. Srovnejte s experimentální hodnotou $-134\,\mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$. Můžete využít geometrii molekuly benzenu. $\left(3\,\mathrm{b}\right)$

   Bonus: Vyberte svoji oblíbenou (nebo jakoukoliv jinou) chemickou reakci a spočítejte její energii. (až $+3\,\mathrm{b}$)