Zadání 2. série 34. ročníku

Délka dne a noci se v průběhu roku mění, přičemž na různých místech na Zemi se může měnit jinak. Jak je to však s roční průměrnou délkou dne? Je všude stejná, nebo se na různých místech na Zemi liší? Stačí uvést pouze kvalitativní popis.

Bonus Pokuste se odhadnout, o kolik nejvíce může být průměrný den delší, než $12\,\mathrm{h}$.

Kačka a Katka sledují loď plující konstantní rychlostí do přístavu. Kačka stojí na skále nad přístavem, přičemž má oči ve výšce $h_1 = 20\,\mathrm{m}$ nad hladinou. Katka se nachází dole pod skálou, její oči jsou v nadmořské výšce $h_2 = 1{,}7\,\mathrm{m}$. Pokud Katka zahlédne na obzoru vrchol blížící se lodi se zpožděním $t = 25\,\mathrm{min}$ oproti Kačce, za jak dlouho loď vysoká $h = 30\,\mathrm{m}$ dopluje do přístavu? Zemi považujte za dokonalou kouli se známým poloměrem.

Ne jednou se ve filmu stalo, že auto spolu s cestujícími spadlo do vody. Vypočítejte, jakým momentem sil by musel řidič tlačit na dveře, aby je otevřel na dně jezera, když je jejich spodní rám $8{,}0\,\mathrm{m}$ pod hladinou. Uvažujte obdélníkové dveře s rozměry $132\,\mathrm{cm} \times 87\,\mathrm{cm}$, které se otvírají podle svislé osy.

Ve sklepě v hloubce $h = 4{,}2\,\mathrm{m}$ je uskladněný led, který potřebujeme vytáhnout nahoru. Máme tepelný stroj, který pracuje s teplotou okolí a ledu s $\eta = 12\,\mathrm{\%}$ účinností vůči jeho maximální možné účinnosti (dané Carnotovým cyklem). Teplota vzduchu je $T_{\mathrm{v}} = 24\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$, vytažený led potřebujeme mít na teplotě $T_{\mathrm{max}} = -9{,}0\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$. Jakou teplotu musí mít led ve sklepě, aby jej bylo možné vytáhnout pomocí tohoto stroje? Proč to půjde, i když přitom zahřejeme led, který současně vytahujeme?

Odhadněte, kolik stojí kompletní zalednění hokejového hřiště.

Proměřte závislost rychlosti, s jakou přibývá kvásek, na čase a na okolní teplotě.

Soutěž V průběhu měření vyfoťte sebe nebo třeba buchty, které ze vzniklého kvásku upečete, a fotografie nám pošlete na adresu fykos-solutions@fykos.cz. Vystavíme je na našem Facebooku a Instagramu a autora nejlepší fotky oceníme zbrusu novými FYKOSími ponožkami.

Uvažujme obvod, ve kterém jsou sériově zapojeny cívka, kondenzátor, rezistor a zdroj napětí. Cívka má indukčnost $L$, kondenzátor má kapacitu $C$ a rezistor má odpor $R$. Zdroj vytváří střídavé napětí $U = U_0 \cos\!\left(\omega t\right)$. Všechny součástky považujte za ideální. S pomocí zákona zachování energie napište rovnici pro náboj, rychlost náboje (proud $I$) a zrychlení náboje (rychlost změny proudu $I$). Jedná se o rovnici tlumených kmitů. Porovnáte-li ji s rovnicí pro tlumené kmity závaží na pružině, co v tomto obvodu hraje roli hmotnosti, tuhosti pružiny a tření? Jaká je přirozená frekvence kmitů?

Dále pomocí veličin $L$, $R$ a $\omega$ vyjádřete kapacitu kondenzátoru, při které by byl fázový posun napětí na kondenzátoru roven $\frac{\pi}{4}$. Jaká bude amplituda napětí na kondenzátoru při tomto fázovém posunu?