fykos výfuk

Seriál na pokračování

Text seriálu

  • Kapitola 1
  • Kapitola 2
  • Kapitola 3
  • Kapitola 4
  • Kapitola 5

Úlohy

Facebook icon

Úloha VI . S … seriálová (6 bodů)

  1. Jak bude vypadat spektrum otevřené struny na hmotnostní hladině M² = 2 ⁄ α′? Kolik máme možných stavů struny na této hladině?
  2. Pokud bychom uvažovali interakci tachyonu s jinými strunami, zjistili bychom, že ho můžeme popsat přibližně jako částici pohybující se v nějakém potenciálu. Uvažujme model struny, která je upevněna na nestabilní D-bráně. Odpovídající potenciál tachyonu je určen vztahem

    kde  jsou kladné konstanty. Roznásobte závorky a určete hmotnost tachyonu jako dvojnásobek koeficientu stojícího před . Najděte minimum potenciálu  a ukažte, že provedeme-li v potenciálu záměnu  (tj. rozvíjíme teorii kolem minima tachyonového potenciálu), dostaneme po roznásobení a odečtení koeficientu před  kladnou hmotnost tachyonu. Záporná hmotnost tedy ukazuje na nestabilitu D-brány a ve stabilní konfiguraci, kdy D-brána vymizí (minimum potenciálu), již hmotnost není záporná.
  3. Teorie superstrun umožňuje popis fermionů. Pro jejich popis je však potřeba antikomutujících veličin. Pro ty se zavede namísto komutátoru antikomutátor vztahem

    Najděte takové dvě  matice a a b, které splňují .

Facebook icon

Úloha V . S … struna (6 bodů)

  1. Uvažujme otevřené struny a omezme se jen na tři prostorové rozměry. Namalujte, jak vypadá
    1. struna volně se pohybující v časoprostoru,
    2. struna připevněná oběma konci k D2-bráně,
    3. struna natažená mezi D2-bránou a D1-bránou.
    Jaké jsou možnosti, kde mohou struny končit v případě konfigurace tří rovnoběžných D2-brán?
  2. Vyberte si jednu z funkcí  nebo  definovanou v první části seriálu a najděte její explicitní tvar (tj. přímo závislost na ). Ukažte, že podmínky  opravdu vedou na zjednodušení uvedené v textu.
  3. Najděte spektrum energií harmonického oscilátoru.
    1. Energie harmonického oscilátoru je dána Hamiltoniánem

      Druhý člen je očividně potenciální energií zatímco první dává po dosazení  kinetickou energii. Definujme lineární kombinaci . Určete reálné konstanty , tak aby měl Hamiltonián tvar

      kde  je komplexní sdružení .
    2. Ukažte ze znalosti kanonických komutačních relací pro , že platí

    3. Ve spektru oscilátoru bude určitě stav s minimální energií odpovídající nejmenšímu možnému kmitání. Označme ho . Tento stav musí splňovat . Ukažte, že je jeho energie rovna , tj. . Dále ověřte, že pokud by bylo , pak máme spor s tím, že má  minimální energii, tj. , kde nyní je . Všechny vlastní stavy Hamiltoniánu můžeme potom psát jako  pro  Najděte energie těchto stavů, tj. čísla  taková, že .
    4. Tip   Použijte komutační relace pro .

Facebook icon

Úloha IV . S … kvantová (6 bodů)

  1. Podívejte se do textu, jak působí operátor polohy  a hybnosti  na složky stavového vektoru v x-reprezentaci (vlnovou funkci) a spočítejte jejich komutátor, tj. 

    Tip   Zjistěte si, co se stane při derivaci součinu dvou funkcí.

  2. Problém energetických hladin pro volnou kvantovou částici, tj. pro V ( x ) = 0, vypadá následovně:

    1. Zkuste jako řešení dosadit ψ ( x ) = eαx a zjistěte, pro jaká α (obecně komplexní) je E kladná (nadále používejte pouze taková α).
    2. Je toto řešení periodické? Pokud ano, tak s jakou prostorovou periodou (vlnovou délkou)?
    3. Je získaná vlnová funkce vlastním vektorem operátoru hybnosti (v x-reprezentaci)? Pokud ano, najděte souvislost mezi vlnovou délkou a hybností (tj. odpovídajícím vlastním číslem operátoru hybnosti) daného stavu.
    4. Zkuste formálně spočítat hustotu pravděpodobnosti výskytu částice v prostoru naší vlnové funkci podle vzorce uvedeného v textu. Pravděpodobnost, že se částice vyskytuje v celém prostoru by měla být pro fyzikální hustotu pravděpodobnosti 1, tj.

      Ukažte, že nelze naší vlnovou funkci nanormovat (tj. přenásobit nějakou konstantou) tak, aby její formální hustota pravděpodobnosti podle vzorce z textu byla opravdovou, fyzikální hustotou pravděpodobnosti.

    5. Bonus   Jaká si myslíte, že je limitně neurčitost polohy částice, jejíž vlnová funkce je hodně blízká té naší? (Tj. blíží se ve všech vlastnostech, ale má vždy normovanou hustotu pravděpodobnosti a je to tudíž fyzikální stav.) Lze odhadnout pomocí Heisenbergových relací neurčitosti jaká přitom bude nejméně neurčitost hybnosti?

    Tip   Dávejte pozor na komplexní čísla, například kvadrát komplexního čísla je něco jiného než kvadrát velikosti komplexního čísla.

  3. V druhém díle jsme si odvodili energetické hladiny elektronu ve vodíku pomocí redukované akce. Zvláštní shodou by řešení spektra hamiltoniánu v coulombickém potenciálu protonu vedlo na úplně samé energie, tj. 

    kde Ty = 13,6 eV je energetická konstanta známá jako Rydberg. Elektron, který spadne z libovolné hladiny na n = 2, vyzáří energii ve formě jediného fotonu úměrnou rozdílu energie daných hladin. Ze kterých hladin musí elektron na druhou hladinu spadnout, aby bylo vyzářené světlo viditelné? Jakou budou mít odpovídající spektrální čáry barvu?

    Tip   Vzpomeňte si na fotoelektrický jev a na vztah mezi frekvencí světla a jeho vlnovou délkou.

Řešení: PDF
Facebook icon

Úloha III . S … Aplikační (6 bodů)

  1. V textu seriálu jsme využili přibližný vztah pro √( 1 + h² ), kde h je malá hodnota. Zkoumejte, jak přesná je to aproximace. Jak moc se může h lišit od nuly, aby se aproximovaná a přesná hodnota lišily o méně než deset procent? Podobnou aproximaci můžeme provést pro libovolnou rozumnou funkci pomocí tzv. Taylorova rozvoje. Pokuste se na internetu najít Taylorův rozvoj například pro funkce cos h  a sin h  kolem bodu h = 0, zanedbejte členy vyšší než h² a najděte přibližnou mezní hodnotu h, kdy se aproximovaná a přesná hodnota liší o 0.1.

  2. Uvažujme vlnovou rovnici pro klasickou strunu ze seriálu a nechť je struna pevně upevněna na jednom konci v bodě [ x;y ] = [ 0;0 ]  a na druhém konci v bodě [ x;y ] = [ l;0 ] . Pro jaké hodnoty ωαa a b je výraz

    řešením vlnové rovnice?

    Tip   Dosaďte do pohybové rovnice a využijte okrajové podmínky.

  3. V minulém díle seriálu jsme porovnávali hodnoty akce pro různé trajektorie částice. Nyní vypočtěte hodnotu Nambu-Gotovy akce pro uzavřenou strunu, která od času 0 do času t stojí na místě v rovině ( x¹,x² )  a má tvar kruhu o poloměru R. Máme tedy

    pro σ  <0,>. Načrtněte dále, jak vypadá světoplocha této struny (na poslední, nulovou komponentu zapomeňme) a jak vypadají čáry konstantního τσ.

Řešení: PDF
Facebook icon

Úloha II . S … akční (6 bodů)

  1. Jaký je fyzikální rozměr akce? (Jaké má tato veličina jednotky?) Má stejnou jednotku jako některá z fundamentálních konstant z první otázky k minulému dílu seriálu? Která?

  2. Od Nielse Bohra – Uvažujte pohyb hmotného bodu po kružnici s dostředivou silou

    kde r je poloměr kružnice a α nějaká konstanta. Pak

    1. Spočítejte redukovanou akci S0 pro jeden oběh po kružnici jako funkci jejího poloměru r.
    2. Určete hodnoty rn, pro které je hodnota S0 přirozeným násobkem konstanty z podúlohy a).
    3. Celková energie hmotného bodu je E = T + V. Pro tuto sílu je V = − α ⁄ r. Vyjádřete energie En částic v závislosti na poloměrech rn za pomoci uvedených konstant.

    Tip   Jistě jste ve fyzice probírali pohyb po kružnici a odpovídající vztahy mezi pohybovými veličinami. Použijte je a pak se integrace akce po obvodu kružnice s konstantním r podstatně zjednoduší (veličiny konstantní při integraci můžete před integrál vytknout). Nezapomeňte také, že samotný dráhový integrál „ničeho“ je prostě délka zintegrované dráhy.

  3. Poslední podúloha může znít komplikovaně, ale je pouhým cvičením na derivaci a integraci jednoduchých funkcí. Vystačíte si se základními tabulkovými derivacemi a integrály. Ověřte, že plná akce S pro volnou částici pohybující se z bodu [ 0;0 ]  do bodu [ 2;1 ] je pro trajektorii odpovídající přímočarému pohybu (první případ) minimální, tedy je větší v ostatních dvou případech

    kde  e je Eulerovo číslo.

    Tip   Nejprve spočtěte derivaci y ( t ) , dosaďte do výrazu pro akci a zintegrujte.

Řešení: PDF
Facebook icon

Úloha I . S … relativistická (6 bodů)

  1. Kvantovou gravitaci potřebujeme jen při studiu velmi malých vzdáleností, kdy jsou gravitační síla a kvantové efekty rovnocenné. Gravitační sílu charakterizuje gravitační konstanta, kvantovou mechaniku Planckova konstanta a speciální teorii relativity rychlost světla. Najděte hodnoty těchto konstant v tabulkách a zkuste z nich vzájemným násobením a umocňováním získat veličinu s jednotkou délky. Tak získáte délkovou škálu, na které je relevantní gravitace a kvantová mechanika současně.

  2. Ukažte, že provedeme-li speciální Lorentzovu transformaci (tj. přejdeme do systém pohybujícímu se vůči původnímu rychlostí v ve směru osy x¹)

    potom se hodnota čtyřintervalu nezmění.

  3. Vzpomeňte na definici čtyřintervalu a položte Δx³ = Δx² = 0. Máme pak

    V jaké části roviny ( Δx0, Δx¹; )  je čtyřinterval ( Δs ) ² záporný a kde kladný? Jak vypadá křivka definovaná ( Δs ) ² = 0?

Řešení: PDF
©FYKOS – webmaster@fykos.cz