Seriál 32. ročníku

Každý rok FYKOS vydává s úlohami studijní text - seriál na jedno téma a k nim seriálové úlohy. Letošní téma je na teoretickou mechaniku, jehož autorem je Jakub Jambrich. Můžete se také podívat na seriál z minulého ročníku o Numerických metodách a počítačových simulacích.

Text seriálu

Úlohy

(10 bodů)1. Série 32. Ročníku - S. teoretická mechanika

Předtím než se začneme věnovat umění analytické mechaniky, je vhodné si zopakovat klasickou mechaniku na následující sérii příkladů.

  1. Na vrcholu křišťálové koule dřepí homogenní kulička s velmi malým poloměrem. Kuličce udělíme libovolně malou rychlost a ta tak začne padat po povrchu koule. Kde se kulička odpojí od křišťálové koule? Uvažujte, že kulička neprokluzuje.
  2. Místo koule z předchozí úlohy máme křišťálový paraboloid, daný rovnicí $y = c - ax^2$. Opět nás zajímá, kde se kulička od paraboloidu odpojí?
  3. Cyklista odbočuje rychlostí $v$ na cestu kolmou k té, po které právě jede. Zatáčku projede po části kružnice s poloměrem $r$. Jak moc se musí cyklista do zatáčky naklonit? Moment setrvačnosti kol bicyklu můžete zanedbat, cyklistu nahraďte hmotným bodem. Bonus: Moment hybnosti kol nemůžete zanedbat.

(10 bodů)2. Série 32. Ročníku - S. Zväzujúca

figure

Naklonená rovina

  1. Majme činku tvorenú dvoma hmotnými bodmi s hmotnosťami $m$ a $M$, ktoré sú spojené nehmotnou, ale veľmi pevnou tyčou. Táto činka padá voľným pádom. Napíšte väzbovú podmienku a zároveň aj Lagrangeove rovnice prvého druhu pre tento objekt.
  2. Majme vodorovnú položku, na ktorej je umiestnený pravouhlý trojboký hranol s hmotnosťou $M$ ako na obrázku . Po strane tohto hranolu, ktorá s podložkou zviera uhol $\alpha $, sa skĺzava hmotný bod s hmotnosťou $m$. V celom príklade neuvažujte trenie.
    • Zostavte Lagrangeove rovnice prvého druhu pre túto situáciu.
    • Ukážte, že celková hybnosť sústavy v smere osi $x$ je pri nulovej počiatočnej rýchlosti hmotného bodu nulová.
    • Postupným riešením sústavy rovníc určte veľkosti rýchlostí hmotného bodu a hranolu v závislosti od času.
    • Určte pomer veľkostí týchto rýchlostí.
  3. Majme kyvadlo zavesené na závese. Zostavte Lagrangeove rovnice prvého druhu pre túto situáciu a ukážte, že pre ňu platí zákon zachovania energie.
Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner

Partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz