Zadání 2. série 40. ročníku

Jirka si chtěl udělat jednoduchý experiment se solárním panelem o svorkovém napětí $U=12\,\mathrm{V}$ a maximálním výkonu $P_0=6\,\mathrm{W}$. Zjistil však, že jeho rezistory vydrží pouze $P_{\mathrm{max}}=1/4\,\mathrm{W}$. Navrhněte takový obvod, aby nebyla žádná součástka poškozena a zároveň byl solární panel maximálně využit.

Honza se během zkouškového rozhodl uklidnit čokoládou. Koupil si čtyři stejné homogenní tabulky čokolády o délce $x$ a výšce $h$. Poskládal je na sebe takto: horní a spodní tabulka jsou zarovnány a každá z prostředních tabulek je oproti tabulce nad sebou posunuta o $x/3$ doprava tak, jako ilustruje přiložený obrázek.

Bude takto sestavená čokoládová věž v rovnováze? Pokud ano, bude tato rovnováha stabilní, nebo labilní? Tabulky jsou na sobě pouze volně položeny. Každá tabulka má stejnou hmotnost.

Jirkovi uletěl balónek, a tak ho napadlo, že by šlo převážet hliník vytvořením uzavřené nádoby vyplněné vodíkem. Jaké rozměry by měla mít tato nádoba, máme-li k dispozici $1\,\mathrm{t}$ hliníku a stěna má mít kvůli pevnost co největší tloušťku? Uvažujte vodík o atmosférickém tlaku a pokojové teplotě. Počítejte s hustotou hliníku $\rho_{\mathrm{Al}}=2\,700\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$, vodíku $\rho_{\mathrm{H}}=0{,}09\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$ a vzduchu $\rho_{\mathrm{vz}}=1{,}2\,\mathrm{kg\!\cdot\! m^{-3}}$.

Úloha o periodě oscilací tělesa puštěného do tunelu skrze střed Země je známá. Co kdybychom ale náš tunel nevykopali skrze střed Země, ale v záměrné vzdálenosti $d$ od středu? Jaká bude perioda kmitů, tedy čas, než vypuštěné těleso proletí od jednoho konce tunelu ke druhému a vrátí se? Uvažujte nulový koeficient tření mezi stěnou tunelu a tělesem a tunel s velmi malou šířkou. Předpokládejte, že přítomnost tunelu neovlivní gravitační pole Země.

Bonus: Jak se pohyb hmotného bodu změní, budeme-li uvažovat jeho tření se stěnou? Jakou celkovou dráhu urazí, než se definitivně zastaví?

Jarda leží na posteli a vedle sebe má skříňku, na které leží ciferníkem vzhůru jeho hodinky. Jardovy oči jsou $H=20\,\mathrm{cm}$ pod úrovní skříňky a v horizontální vzdálenosti $d=15\,\mathrm{cm}$ od její hrany. Hodinky leží $L= 30\,\mathrm{cm}$ od hrany skříňky.

Mezi hodinkami a hranou skříňky stojí průhledná sklenice tvaru kvádru se čtvercovou podstavou o hraně $a=6\,\mathrm{cm}$. Střed dna sklenice se nachází přesně $x=16\,\mathrm{cm}$ od hrany skříňky. Do jaké výšky musí být sklenice naplněna vodou, aby Jarda přesně viděl na střed ciferníku hodinek? Uvažujte zorný paprsek, který těsně lízne hranu skříňky. Tloušťku stěn sklenice zanedbejte.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Odhadněte vzdálenost, do níž je slyšet hluk z dálnice a kde už je možné pohodlně bydlet. Jak tuto vzdálenost ovlivňuje okolní prostředí? Jak se situace změní v případě, kdy se kolem dálnice postaví protihluková stěna?

Letošním ročníkem se vrací i letní stáže na MFF UK! Budou na ně pozváni nejlepší řešitelé experimentálních úloh. Chcete-li být mezi nimi, neváhejte a začněte měřit!

Změřte výhřevnost papíru.

1. Na popis GMR se často používá tzv. dvojrezistorový model. Uvažujme dvě shodné feromagnetické vrstvy oddělené nemagnetickou mezivrstvou. Proud protéká kolmo na vrstvy. Každá feromagnetická vrstva představuje pro elektrony se spinem paralelním k její magnetizací odpor $R$, zatímco pro opačně orientovaný spin představuje odpor $r>R$. Předpokládejte, že elektrony během přechodu senzorem nemění svůj spin. Odpor nemagnetické mezivrstvy i dodatečné odpory rozhraní zanedbejte. GMR senzorem pošleme spinově nepolarizovaný proud. Pro hustoty spinových proudů platí $j_\uparrow = j_\downarrow$. Vypočítejte odpor vrstvy pro:

   • souhlasně natočenou magnetizaci obou vrstev ($R_{\mathrm{P}}$),

   • opačně orientované magnetizace vrstev ($R_{\mathrm{AP}}$)

   a ukažte, že relativní změnu odporu možno vyjádřit jako \begin{equation*} \mathrm{GMR} = \frac{R_{\mathrm{AP}}-R_{\mathrm{P}}}{R_{\mathrm{P}}} = \frac{(r-R)^2}{4Rr}\,. \end{equation*}

2. Uvažujme předpoklady z předešlé úlohy a aplikujme jednosměrný proud. Tehdy je možné vodivost feromagnetické vrstvy popsat jako \begin{equation*} G = \frac{\sigma S}{d}\,, \end{equation*} kde $S$ je průřez, kterým teče proud, $\sigma$ je měrná vodivost materiálu a $d$ je tloušťka vrstvy. Použijme Drudeho model \begin{equation*} \sigma = \frac{ne^2\tau}{m^{\ast}} \end{equation*} pro koncentraci nosičů $n$, jejich efektivní hmotnost $m^{\ast}$, elementární náboj $e$ a rozptylový čas $\tau$. Rozptylový čas $\tau_{\mathrm{P}}$ ve vrstvě, kde je spin elektronů paralelní s magnetizací, je 5krát vyšší než čas $\tau_{\mathrm{AP}}$ ve vrstvě, v níž je spin orientovaný opačně vůči magnetizaci. Jak velké GMR dostaneme?

3. V seriálu jsme uvedli ten nejjednodušší model feromagnetu, ale reálné materiály jsou komplikovanější. Uvažujme magneticky zředěný polovodič $\ce{GaMnAs}$, který byl svého času považovaný za nadějný materiál pro budoucí MRAM paměti. V něm jsou dva hlavní zdroje magnetické anizotropie: kubická, která kopíruje kubickou strukturu $\ce{GaMnAs}$ (příspěvek k hustotě energie $K_{\mathrm{c}}(n^2_xn^2_y + n^2_yn^2_z+n^2_xn^2_z)$), a uniaxiální (příspěvek k hustotě energie $-K_{\mathrm{u}}(n_x-n_y)^2/2$) vznikající v důsledku mechanického napětí ve vzorku. Převeďte tyto směry do sférických souřadnic, implementujte je do přiloženého appletu¹ a spočítejte hysterézní smyčky v rozličných směrech. Aby byla souřadnicová soustava zvolená jednoznačně, použijte následný převod mezi kartézskými a sférickými souřadnicemi \begin{align*} n_x &= \sin{\theta}\cos{\varphi}\,,\\ n_y &= \cos{\theta}\cos{\varphi}\,,\\ n_z &= \sin{\varphi}\, \end{align*} pro jednotkové vektory $n_x,n_y,n_z$ kartézských souřadnic ve směrech $x,y,z$ a pro polární $\varphi$ a azimutální úhell $\theta$. Uvažujte pouze pole v rovině vzorky ($\varphi = 0$). Použité hodnoty pro $3\,\mathrm{\%}$ dopování $\ce{Mn}$, tedy $K_{\mathrm{c}} = 44\,\mathrm{kJ\!\cdot\! m^{-3}}$ a $K_{\mathrm{u}} = 20\,\mathrm{kJ\!\cdot\! m^{-3}}$. Ve kterých směrech je koercitivní pole největší a nejmenší? Na výpočet použijte vztah z textu seriálu a využijte možnost sčítaní jednotlivých anizotropních příspěvků.

Nápověda: Se skripty je nejjednodušší pracovat s instalací programu GNU Octave. Po jeho instalaci otevřte nový skript (tlačístko listu se zeleným křížkem) a překopírujte kód z hysteriesis.m$^1$. Po spuštěni skriptu (tlačítko „přehrát“) byste měli dostat smyčku jako na obrázku 2(b) ze seriálového textu. Následně můžete začít zapracovávat příslušné změny potřebné na vyřešení úlohy. Pokud byste chtěli víc proniknout do programováni v Octave, navštivte navštivte dokumentaci na https://docs.octave.org/latest/, v níž naleznete i příklady.