Zadání 6. série 38. ročníku

Na jakou nejkratší délku tužky se můžeme dostat jejím ořezáváním? Uvažujte, že ruka na tužku dokáže stiskem vyvolat maximální tlak $p$ – ten je stejný pro celou plochu, na kterou ruka působí – na ořezávání je potřeba vyvolat moment síly $M$, průměr (válcovité) tužky je $d$, délka ořezávátka $h$ a koeficient statického tření mezi rukou a tužkou je $f$. Můžete předpokládat, že jsme schopni tužku v každém okamžiku uchopit ideálně. Stačí uvažovat jen běžné rozměry rukou a tužek. Za ořezanou tužku považujeme takovou, která má ostrý kuželovitý hrot.

Bonus: Jaká je nejvyšší dosažitelná účinnost při psaní tužkou? Účinností je myšlen podíl objemu tuhy, který se opravdu využije na psaní. Tužka je ze začátku ořezaná, tj. vyčnívající tuha má ostrý kuželovitý hrot, při psaní má tuha tvar válce o výšce $l$ a poloměru $R$. Po ořezání je hrot tužky vždy kuželovitý. Předpokládejte, že tužka bude při psaní na papír vždy kolmá.

Jedním ze způsobů, jak zjistit složení vzorku, je hmotnostní spektroskopie. Uvažujme spektrometr doby letu, ve kterém jsou částice (atomy a molekuly) na začátku ionizovány odebráním elektronu, a poté urychleny napětím $U=10\,\mathrm{kV}$. Konstantní rychlostí pak putují tělem spektrometru o délce $d=2{,}0\,\mathrm{m}$ až do detektoru částic, kde se zaznamenává jejich počet $I$ v závislosti na čase letu tělem spektrometru $t$. Při ionizaci může dojít i k rozpadu molekuly na několik částí, které pak do detektoru putují také. Na grafu vidíte právě takovou naměřenou závislost pro jednu známou tříatomovou dvouprvkovou molekulu. Odhadněte, jakým atomům nebo molekulám jednotlivé detekované shluky částic náleží a jakou molekulu tvořily původně. Uvažujte, že všechny nabité částice vstoupily do těla detektoru ve stejný okamžik.

Bonus: S přesnějším detektorem byly detekovány další částice v časech $9{,}7\,\mathrm{\upmu{}s}$ a $6{,}8\,\mathrm{\upmu{}s}$. Jak vysvětlíte přítomnost těchto částic, pokud jediným původním zdrojem je stále ta samá molekula jako v první části?

Auto v akčním filmu jede po silnici rychlostí $v_0$. Před ním jede kamion rychlostí $v_{\mathrm{k}} < v_0$, který má otevřený nákladový prostor připravený na to, aby do něj auto vjelo. Jakou rychlostí se bude pohybovat auto poté, co se jeho roztočená kola dostanou na pohybující se kamion?

Předpokládejte, že přední kola automobilu budou uvnitř kamionu velice krátkou dobu prokluzovat. Zajímá nás rychlost po tom, co prokluzovat přestanou. Zanedbejte veškeré tření kromě toho mezi koly a dnem kamionu. Hmotnost celého auta je $M$, poloměr jednoho jeho kola $r$ a moment setrvačnosti $J$. Zároveň předpokládejte, že hmotnost kamionu je výrazně vyšší než hmotnost auta, kamion tedy svou rychlost nijak nemění a jeho kola po cestě neprokluzují.

V trupu ponorky o objemu $V$ se po zásahu torpédem objevila díra o ploše $S$. Stihne se ponorka vynořit? Na počátku se nachází v hloubce $h_0$, k hladině stoupá rychlostí $v$, čerpadla zvládnou odčerpat každou sekundu objem vody $V_1$ a kritický objem vody v ponorce je $V_{\mathrm{krit}} \ll V $? Předpokládejte, že rychlost $v_{\mathrm{v}}$, kterou voda proudí do ponorky, lze vyjádřit Torricelliho vzorcem nezávisle na množství vody v ponorce a po překročení $V_{\mathrm{krit}}$ začne ponorka pozvolna klesat ke dnu, dokud ji nerozdrtí tlak okolní vody.

Věřte, nevěřte, existují i takové součástky, u kterých se může za určitých podmínek se zvyšováním napětí snižovat proud. Uvažujme diodu, u které se na intervalu napětí mezi $U_1 < U_2$ snižuje lineárně proud z $I_1$ na $I_2$ (všechny hodnoty kladné a $I_1 > I_2$). Takovou diodu zapojíme do série s rezistorem o odporu $R_0$ a paralelně zapojeným RLC obvodem (rezistor $R$, kondenzátor $C$ a cívka $L$). K tomuto obvodu připojíme zdroj stejnosměrného napětí $U_0$. Určete, jaký proud bude protékat obvodem. Při malém vychýlení z tohoto stavu však pozorujeme v obvodu harmonické kmity. Jaké musí být splněny podmínky a jaká je frekvence těchto kmitů? Uvažujte, že napětí a proudy na diodě jsou po celou dobu ve výše stanovených intervalech.

Odhadněte, jakou energii s sebou nese velká červená skvrna na Jupiteru. Zamyslete se nad různými druhy energie (kinetickou, potenciální, chemickou atd.) a popište, jaké všechny parametry by mohly tuto energii ovlivnit a jak se může hladina energie vyvíjet v čase.

Změřte závislost dráhy a rychlosti na čase pro volný pád. Použijte lehký symetrický předmět (ideálně pingpongový míček) a pouštějte jej z výšky minimálně 5 metrů tak, aby se ve vašem měření projevil vliv odporu vzduchu. Naměřené závislosti porovnejte s vhodným teoretickým modelem.

Nápověda: Pád natočte na video, které zpracujte pomocí vhodného programu, např. Tracker.

1. Podle modelu uvedeného v seriálu vypočítejte dráhu, kterou elektron v mědi urazí mezi dvěma srážkami při intenzitě pole $E = 1{,}0\,\mathrm{V\cdot m^{-1}}$ ve vodiči. Poté si hodnotu střední volné dráhy elektronu v mědi vyhledejte a diskutujte vznik rozdílu několika řádů v obou hodnotách. Pro výpočet použijte měrnou vodivost mědi $\sigma = 5{,}95\cdot 10^{7}\,\mathrm{\Omega^{-1}\cdot m^{-1}}$. – 3 body

2. Na obrázku  vidíte část grafu měření cyklické voltametrie v oblasti adsorpce vodíku na platině. Určete elektrochemicky aktivní plochu platiny, víte-li, že monokrystal platiny má plošnou hustotu náboje $240\,\mathrm{\upmu{}C\cdot cm^{-2}}$. Dále spočítejte plošnou kapacitu elektrody a porovnejte její hodnotu s modelem, který jsme použili v 1. podúloze 4. seriálové úlohy. Rychlost skenování je rovna $v = 15\,\mathrm{mV\cdot s^{-1}}$. – 4 body

   

3. Nakreslete Pourbaixův diagram hypotetického prvku fykosia za standardních podmínek. Pro tento kov jsou důležité tři reakce: \begin{equation*} \ce{Fk^0(s) <-> Fk^{3+}(aq) + 3e^-} \end{equation*} se standardním redukčním potenciálem $1{,}63\,\mathrm{V}$, \begin{equation*} \ce{Fk(OH)_3(s) + 3H^+ + 3e^- <-> Fk^0(s) + 3H_2 O} \end{equation*} se standardním redukčním potenciálem $2{,}04\,\mathrm{V}$, \begin{equation*} \ce{Fk(OH)_3(s) + 3H^+ <-> Fk^{3+}(aq) + 3H_2 O(l)} \,. \end{equation*} – 3 body

Bonus: Určete, zda by se fykosium dalo použít jako materiál na anodě v elektrolyzéru vody s protonově vodivou membránou (tzv. PEM-WE). Podmínkou je stabilita v daném prostředí a kovová forma fykosia.