Zadání 3. série 39. ročníku

Danku zajímá, jak se změní stabilita roličky toaletního papíru, když se z ní část použije. Proto vzala novou roličku, která obsahuje $N=120$ útržků, a změřila její parametry. Zjistila, že rolička je vysoká $h =9{,}5\,\mathrm{cm}$, má průměr $d_1 =12{,}5\,\mathrm{cm}$ a váží $m_1 = 139\,\mathrm{g}$. Samotný kartonový váleček, na který je papír namotaný, má průměr $d_0 =3{,}5\,\mathrm{cm}$ a váží $m_0 = 4\,\mathrm{g}$. Kolikrát menší bude potenciální energie potřebná k převrácení roličky, když na ní zůstane jen třetina papíru ve srovnání s počátečním stavem? Uvažujte rovnoměrné navinutí vrstev papíru těsně na sebe, bez objemových deformací.

Lego jedl banán. Celou dobu, co ho jedl, se ve vzdálenosti asi 10 banánů od něho nacházel nestíněný zdroj gama záření. Tento zdroj Lega ozařoval pouze po dobu, co Lego konzumoval banán, jinak byl stíněný. Jakou má tento zdroj aktivitu, pokud dal Legovi stejnou dávku, jako banán, který snědl? Vlastnosti banánů, zdroje záření a Lega odhadněte, výsledek uveďte v jednotkách SI.

Uvažujme osově symetrické magnetické pole mezi dvěma velkými „magnetickými zrcadly“. Magnetické siločáry, které vedou od jednoho zrcadla k druhému se směrem ke krajům zhušťují. Přitom všude platí, že složka magnetického pole rovnoběžná s osou symetrie je mnohem větší, než složka kolmá, $B_\parallel\gg B_\perp$. Uprostřed mezi zrcadly má magnetická indukce minimální hodnotu $B_{\mathrm{min}}$, zatímco poblíž zrcadel dosahuje maxima $B_{\mathrm{max}}$.

Pokud se v takovém poli pohybuje nabitá částice, zachovává se její magnetický moment $\mu~=~E_{\mathrm{kin,k}}/B$, kde $E_{\mathrm{kin,k}}$ je kinetická energie částice příslušná pohybu kolmo na osu symetrie. Ze středu vystřelíme částici pod úhlem $\theta$ vzhledem k ose. Jaká je podmínka, aby se částice odrazila mezi zrcadly a zůstala uvězněna?

Dále si představme, že ze středu vystřelíme velké množství částic v náhodných směrech – tedy každý směr na pomyslné sféře má stejnou pravděpodobnost. Jaká část těchto částic zůstane ve stroji uvězněná mezi zrcadly?

Do vyčerpané vysokovakuové komory vložíme uzavřenou Petriho misku o poloměru $2{,}0\,\mathrm{cm}$, ve které je nalito $6{,}0\,\mathrm{ml}$ ethanolu. Misku najednou otevřeme a hladinu ethanolu odkryjeme. O kolik klesne hladina v misce po dlouhé době strávené v komoře, jestliže je komora uzavřená a má objem $30\,\mathrm{l}$? Jak se bude výška hladiny měnit v čase? Teplota komory i etanolu je $20\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Uvažme krátký záblesk elektromagnetického vlnění. Jakou by musel mít minimální energii, aby mohla stačit na zničení života na Zemi?

Změřte chladnutí tří stejných hrnků naplněných stejným objemem různých kapalin v čase. V jednom změřte chladnutí čisté vody, v dalších dvou vodu s různou koncentrací škrobu. Škrob řádně rozmíchejte za vysoké teploty. Teplotu kapaliny měřte u dna.