Zadání 3. série 40. ročníku

Uvažujme vodní lázeň o teplotě $t = 0{,}0\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ v nádobě tvaru krychle o hraně $a=1{,}0\,\mathrm{m}$, ve které plave kostka ledu s dutinou uvnitř. Hladina je od horního okraje nádoby vzdálena $h=5{,}0\,\mathrm{mm}$. Dutina má objem $V_{\mathrm{dutina}} = 0{,}50\,\mathrm{l}$. Systému dodáme přesně takovou energii, aby led roztál a veškerá voda měla stejnou teplotu jako na začátku. Kolik vody přeteče přes okraj nádoby? Okolí lázně je, stejně jako dutina, vyplněno vzduchem o normálním atmosférickém tlaku a teplotě $t$.

Představte si, že bychom žili na planetě, která by sice měla poloviční poloměr, ale měla by stejnou hmotnost a i celkový moment hybnosti jako naše Země. Jak velké tíhové zrychlení by pociťovala tělesa na rovníku této planety?

Jeden z mechanismů, které využívají jističe pro vysoké proudy, je rozpojení vodičů pomocí Ampérova zákona. Díky němu procházející proud vytváří magnetické pole, které může při vysokém proudu obvod rozpojit. Představme si zjednodušený model takového působení v situaci, kterou vidíme na obrázku. Procházející proud (naznačený šipkami) způsobuje vzájemné odpuzování dvou svislých vodičů. První (na obrázku nalevo) je pevný, kdežto druhý je otočný kolem osy kolmé na rovinu vodičů.

Řekněme, že proud zvyšujeme dostatečně pomalu, takže pohyblivá část je v každé poloze v rovnováze momentů sil. Kontakty zůstávají vodivě spojeny až do otočení o úhel $\alpha$, při kterém se rozpojí a pro který platí $l\sin\alpha \ll d$. Jak silná musí být pružina, tedy jakou musí mít tuhost $k$, když víme, že se obvod rozpojí při mezním proudu $I$?

Potřebné parametry jsou vyznačeny na obrázku. Pružina má klidovou délku $s_0 < s$. Na výpočet můžete použít model nekonečných vodičů. Gravitaci, vliv horizontálních vodičů a detaily elektrických kontaktů (styčných ploch) zanedbejte.

Představme si horu tvaru komolého kužele s výškou $H$ a spodním poloměrem $R$, jejíž svahy svírají se zemí úhel $\alpha$. Nahoru na horu má turisty vozit autobus, který má při plném naložení hmotnost $m$, a jehož kola mají vůči zemi koeficient statického tření $k$. Jak dlouhá je nejkratší cesta, kterou může autobus jet? Uvažujte, že silnice může vést po libovolné trajektorii na povrchu hory, a že její sklon je roven sklonu tečny k této trajektorii vůči zemi.

Bonus: Nalezněte konkrétní tvar (parametrické vyjádření) ideální trajektorie v kartézských souřadnicích.

Astronauti na ISS prováděli experimenty s bublinou ve stavu beztíže. Kapku vody s hustotou $\rho$ a povrchovým napětím $\sigma$ nafoukli do tvaru bubliny s poloměrem $R_0$ a tloušťkou stěn $h\ll R_0$. Časem se ale na bublinu dostala zrnka prachu, čímž bublina získala rovnoměrně rozložený náboj $Q$. Navíc jí ještě malý závan větru dodal impulz, kvůli kterému se začala rozpínat a smršťovat. Ačkoliv už astronauti nemohli v experimentu pokračovat, mohli pozorovat krásné malé kmity této bubliny. Vypočítejte jejich periodu. Předpokládejte, že mezi vodou a vzduchem v bublině nedochází k tepelné výměně. Rovněž předpokládejte okolní vzduch o standardním tlaku $p_{\mathrm{a}} = 1\,\mathrm{atm}$. Změnu rovnovážného poloměru bubliny vlivem náboje považujte za zanedbatelnou.

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Ve skleníku můžeme dosáhnout udržení vyšší teploty vevnitř než ve vnějším okolí. Co by se ale stalo, kdybychom uvnitř skleníku postavili další skleník? Dosáhli bychom tím ještě vyšší teploty? A co kdybychom přidali ještě další? Určete teoretický limit teploty, které je možné takto dosáhnout. Dále odhadněte, do jaké míry se zvyšování teploty ještě ekonomicky vyplatí.

Letošním ročníkem se vrací i letní stáže na MFF UK! Budou na ně pozváni nejlepší řešitelé experimentálních úloh. Chcete-li být mezi nimi, neváhejte a začněte měřit!

Prozkoumejte tvary a rozměry vodních kapek po dopadu na nakloněnou rovinu v závislosti na výšce, ze které kapku volně vypustíte, a sklonu nakloněné roviny. Vodu vypouštějte po jedné kapce z kapátka, abyste zajistili stejný objem kapek.