Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze všech úloh FYKOSu za posledních 32 let jeho existence.

astrofyzika (60)biofyzika (15)chemie (16)elektrické pole (54)elektrický proud (56)gravitační pole (56)hydromechanika (103)jaderná fyzika (31)kmitání (35)kvantová fyzika (21)magnetické pole (27)matematika (73)mechanika hmotného bodu (192)mechanika plynů (75)mechanika tuhého tělesa (165)molekulová fyzika (45)geometrická optika (62)vlnová optika (42)ostatní (125)relativistická fyzika (31)statistická fyzika (21)termodynamika (106)vlnění (38)

(10 bodů)6. Série 31. Ročníku - S. Matice a populace

  1. Na základě Lotkova-Volterrova modelu simulujte vývoj populace predátora a kořisti (např. slunéčka sedmitečného a mšice makové) pro následující hodnoty parametrů: $r\_m = 0{,}8$, $D\_m = 1{,}0$, $r\_s = 0{,}75$, $D\_s = 1{,}5$. Počáteční populace volte po dvojicích jako $m = 0{,}5$ a $s = 2{,}0$; $m = 1{,}5$ a $s = 0{,}5$; $m = 1{,}95$ a $s = 0{,}75$. Výsledek zaneste do grafu závislosti populace predátora na populaci kořisti. Výsledky diskutujte.
    Bonus: Nalezněte tvar křivek v grafu pomocí analytických metod (integrací diferenciální rovnice).
  2. Použitím kompetitivního Lotkova-Volterrova modelu simulujte vývoj dvou soupeřících populací s omezenou populační kapacitou (např. káně lesní a poštolka obecná) pro tyto hodnoty parametrů: $r\_k = 0{,}8$, $I\_{kp} = 0{,}2$, $k\_k = 2{,}0$, $r\_p = 0{,}6$, $I\_{pk} = 0{,}3$, $k\_p = 1{,}0$. Počáteční populace volte jako $k = 0{,}01$, $p = 1{,}0$. Poté změňte interakční koeficienty na $I\_{kp} = 1{,}5$ a $I\_{pk} = 0{,}6$, zbytek ponechejte. Výsledky zaneste do jednoho grafu závislosti velikosti populací na čase, diskutujte.
  3. Ověřte důležitost pivotizace. Vyřešte soustavu \[\begin{equation*} \begin{pmatrix} 10^{-20} & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \end {equation*}\] nejprve přesně (na papíře), poté s využitím LU dekompozice s (částečnou) pivotizací (využijte nějakou knihovní funkci, např. scipy.linalg.lu()), a nakonec pomocí LU dekompozice bez pivotizace (to si budete muset sami naprogramovat). Porovnejte výsledky $\vect {x}$ z jednotlivých metod a výsledky zpětného vynásobení matic $L^{-1}\cdot U$ (resp. $P\cdot L^{-1}\cdot U$ v případě s pivotizací).
  4. Mějme nekonečný deskový kondenzátor se vzdáleností desek $L=10 \mathrm{cm}$ a napětím mezi deskami $U=5 \mathrm{V}$. Do kondenzátoru vložíme uzemněnou elektrodu ve tvaru nekonečně dlouhého hranolu s čtvercovou podstavou o hraně $a=2 \mathrm{cm}$, jejíž střed leží $l=6{,}5 \mathrm{cm}$ od uzemněné desky původního kondenzátoru (tak, že leží mezi deskami). Hranol je orientován tak, že jedna z jeho kratších hran je kolmá k deskám kondenzátoru. Nalezněte průběh elektrického potenciálu v kondenzátoru. Protože je problém symetrický vůči posunu v ose rovnoběžné s nekonečnou hranou hranolu, stačí jej řešit v řezu kolmém k této ose, jde tedy o 2D problém. V této rovině pak získaný průběh potenciálu také vykreslete. K řešení můžete využít program přiložený k zadání.
    Bonus: Vypočtěte a vykreslete také průběh velikosti intenzity el. pole $\vect {E}$.

Mirek a Lukáš naplňují matice attoliškami.

(9 bodů)5. Série 31. Ročníku - P. plovoucí rtuť

Vymyslete co nejvíce fyzikálních „fíglů“, díky kterým by rtuť, alespoň po omezenou dobu, plavala na kapalné vodě. Čím trvalejší řešení naleznete, tím lépe.

Karel chtěl otočit Archiméda na ruby.

(10 bodů)5. Série 31. Ročníku - S. rostou nám diferenciální rovnice

  1. Řešte problém dvou těles pomocí Verletovy a Rungovy-Kuttovy metody 4. řádu přes několik (mnoho) period. Krok přitom volte tak velký, aby se projevily numerické chyby, a pozorujte, jakým způsobem se chyby v obou případech projevují na tvaru trajektorie.
  2. Řešte pohyb tlumeného lineárního harmonického oscilátoru daného rovnicí $\ddot {x}+2\delta \omega \dot {x}+\omega ^2 x=0$, kde $\omega $ je úhlová frekvence a $\delta $ tlumící člen. Parametry měňte a sledujte změny v chování oscilátoru. Pro jaké hodnoty parametrů se oscilátor utlumí nejrychleji?
  3. Modelujte růst povrchu metodou balistické depozice a studujte statistické chování hrubosti povrchu. Nalezněte mocniny $\alpha $ a $\beta $ popisující růst před saturací a po saturaci (viz seriál). Vyjděte z kódu v seriálu. Volte takový počet kroků, abyste byli schopni dobře studovat oba režimy hrubnutí. Lineární rozměr povrchu volte alespoň $L = 256$. (Upozornění: simulace mohou trvat i několik hodin.)
  4. Simulujte na čtvercové mřížce šíření zhoubného nádoru pomocí Edenova modelu. Uvažujte přitom následující obměnu: s pravděpodobností $p_1$ dojde k nákaze zdravé buňky v kontaktu s nádorovou a s pravděpodobností $p_2$ dojde k uzdravení nakažené. Volte nejprve $p_1 \gg p_2$, pak $p_1 > p_2$ a nakonec $p_1 < p_2$. Na počátku nechť je nakaženo pět buněk do tvaru kříže. Kvalitativně popište, co pozorujete.
  5. Přepište kód ze seriálu pro růst fraktálního krystalu (DLA model) na hexagonální mřížce na růst na čtvercové mřížce a spočtěte dimenzi výsledného fraktálu.

Poznámka: Využít kódy přiložené k seriálu není nutné, ale doporučené.

Algebru už Mirek s Lukášem vypěstovali, nyní mají jiné osivo.

(10 bodů)4. Série 31. Ročníku - S. Kořeni a automati

  1. Nalezněte všechny (tři) reálné kořeny funkce $\exp (x)-5x^2$. Výběr metody je na vás. Nezapomeňte okomentovat, jak a proč jste zvolili daný postup.
  2. Newtonova metoda tak, jak jsme si ji představili funguje i pro funkce komplexní proměnné. Vaším úkolem je vykreslit tzv. Newtonovy fraktály, tedy oblasti v komplexní rovině takové, že když v nich zvolíme počáteční odhad kořenu pro Newtonovu metodu, tak dokonvergujeme k určitému kořenu. Fraktál vykreslete pro funkce $z^3-1$ a $z^6+z^3-1$, kde $z$ je komplexní číslo. Derivace těchto funkcí jsou $3z^2$, resp. $6z^5+3z^2$. Pro výpočet a vykreslení můžete použít Pythonní kód přiložený k zadání.
    Poznámka: Komplexní derivaci, pokud existuje, lze technicky spočítat stejně, jako reálnou derivaci, tedy pro ni platí stejné vzorce pro derivaci součtu, součinu a složené funkce.
    Bonus: Nalezněte co nejzajímavější nebo nejhezčí Newtonův fraktál.
  3. Simulujte na počítači (nebo napočítejte ručně) elementární buněčný automat s pravidlem 54 na mřížce délky 20 s periodickými podmínkami alespoň na 10 časových kroků (víc určitě neuškodí). Na počátku má jedna buňka hodnotu 1 a zbylé 0, uvažujte periodické podmínky. Výsledek zobrazte v časoprostorovém diagramu.
  4. Simulujte hrubnutí 1D povrchu pomocí modelu náhodné depozice popsaném v seriálu. Povrch má rozměr $L = 100$, na počátku je zcela hladký. Nakreslete graf závislosti hrubosti $W$ na čase pro alespoň $10^8$ kroků (jeden krok $=$ jedna nová částice), výsledek diskutujte.

Lukáš a Mirek se inspirují na přednáškách.

(8 bodů)3. Série 31. Ročníku - P. složený papír

Každý to jistě někdy slyšel a určitě i zkusil: „List papíru nelze na půlku přeložit více než sedmkrát.“ Je to ale skutečně pravda? Najděte hraniční podmínky.

Kuba se nudil a skládal papír.

(10 bodů)3. Série 31. Ročníku - S. na procházce s integrály

  1. Vymyslete tři odlišné příklady markovovského procesu, z toho alespoň jeden fyzikální. Je procházka bez návratu markovovská? A co procházka bez křížení?
  2. Mějme 2D náhodnou procházku bez návratu na čtvercové síti s počátkem v bodě $(x,y) = (0,0)$, která je omezena absorpčními bariérami $b_1: y = -5$, $b_2: y = 10$. Nalezněte pravděpodobnost, že v bariéře $b_1$ skončíme dříve než v $b_2$.
  3. Proveďte simulaci pohybu brownovské částice ve 2D a vykreslete graf závislosti střední vzdálenosti od počátku na čase. Uvažujeme diskrétní čas a konstantní délku kroku (jeden krok simulace trvá $\Delta t = \textrm{konst.} $, délka kroku je $\Delta l = \textrm{konst.} $) a umožňujeme pohyb do libovolného směru, tj. každý krok je specifikován délkou a úhlem $\theta \in [0,2\pi )$, přičemž všechny směry jsou stejně pravděpodobné. Zajímá nás především asymptotické chování, tedy vývoj střední vzdálenosti pro $t \gg \Delta t$.
  4. Chybová funkce je definována vztahem \[ \mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x \eu^{-t^2}\,\d t\,.\] Tabelujte tuto funkci, tedy vypočtěte integrál pro mnoho různých $x$. Do řešení nevkládejte tabulku hodnot, ale graf funkce. Zkuste tuto funkci opět numericky zderivovat. Co dostanete?
  5. Najděte si definici hustoty pravděpodobnosti Maxwellova-Boltzmannova rozdělení $f(v)$, tedy rozdělení rychlostí molekul ideálního plynu. Spočítejte pak pomocí MC integrace střední hodnotu rychlosti definovanou \[ \langle v\rangle = \int_0^{\infty} v f(v)\,\d v\,, \] přičemž pro vzorkování použijte náhodná čísla dle Maxwellova-Boltzmannova rozdělení získaná Metropolisovým-Hastingsovým algoritmem. Hodnotu pro konkrétní zvolené parametry srovnejte s hodnotou z literatury.

Mirek a Lukáš se náhodně procházejí do školy.

(3 body)2. Série 31. Ročníku - 1. Zuběnka

Jak velké skladovací prostory by musela mít Víla Zubnička, aby mohla skladovat všechny mléčné zuby všech dětí? Resp. jakým tempem by její nároky na uskladnění rostly? Za jakou dobu by teoreticky měla ve svých skladech většinu zásob fosforu na Zemi?

Karel se myšlenkách vrací na Zeměplochu.

(12 bodů)2. Série 31. Ročníku - E. sypká

Změřte sypný úhel alespoň 2 látek běžně používaných v kuchyni (např. mouka, cukr, sůl apod.).

Michal se málem sesypal.

(10 bodů)2. Série 31. Ročníku - S. derivace a Monte Carlo integrace

 

  1. Vykreslete závislost chyby na velikosti kroku pro metodu odvozenou pomocí Richardsonovy extrapolace v textu seriálu. Jaký je optimální krok a minimální chyba? Porovnejte s centrovanou a dopřednou diferencí. Jako derivovanou funkci použijte $\exp(\sin(x))$ v bodě $x=1$.
    Bonus: Vypočtěte pro tuto metodu teoretickou velikost optimálního kroku pomocí odhadu chyb.
  2. Na webu se nachází soubor s experimentálně zjištěnými $t$, $x$ a $y$ souřadnicemi poloh hmotného bodu. Pomocí numerické derivace nalezněte časovou závislost složek rychlosti a zrychlení a vyneste obě závislosti do grafu. Jaký fyzikální děj bod nejspíše konal? Numerickou metodu si zvolte sami, svoji volbu ale odůvodněte.
    Bonus: Existuje v tomto případě přesnější varianta získání rychlosti a zrychlení, než přímočará aplikace numerické derivace?
  3. Máme zadán integrál $\int _0^{\pi } \sin ^2 x\,\d x$.
    1. Nalezněte hodnotu integrálu z geometrické úvahy za pomoci Pythagorovy věty.
    2. Nalezněte hodnotu integrálu pomocí Monte Carlo simulace. Určete směrodatnou odchylku výsledku.
      Bonus: Vyřešte Buffonovu úlohu ze seriálu (odhad hodnoty čísla $\pi$) pomocí MC simulace.
  4. Nalezněte vztah pro výpočet objemu šestidimenzinální koule pomocí metody Monte Carlo.
    Nápověda: Pythagorovu větu lze využít k měření vzdáleností i ve vyšších dimenzích.

Mirek a Lukáš čtou dokumentaci k Pythonu.

(10 bodů)1. Série 31. Ročníku - S. Rozjezdová

 

  1. Upravte výraz $\sqrt {x+1}-\sqrt {x}$ tak, aby nebyl náchylný k problémům cancellation, ordering a smearing. Ke kterým z těchto problémů byl původně náchylný a proč? Jaký je rozdíl ve výsledku původního a opraveného výrazu, pokud jej vyčíslíme v double precision pro $x=1{,}0 \cdot 10^{10}$?
  2. Popište funkci následujícího kódu. Jaký je rozdíl mezi funkcemi a() a b()? Pro jaké hodnoty x je lze použít? Nebojte se kód spustit a hrát si s hodnotou proměnné x. Určete také asymptotickou časovou složitost programu v závislosti na proměnné x.
    def a(n):
      if n == 0:
        return 1
      else:
        return n*a(n-1)
    def b(n):
      if n == 0:
        return 1.0
      else:
        return n*b(n-1)
    x=10
    print("{} {} {}".format(x, a(x), b(x)))
  3. Označme $o_k$ a $O_k$ obvod vepsaného a opsaného pravidelného $k$-úhelníku ke kružnici. Pak pro ně platí rekurentní vztahy \[\begin{equation*} O_{2k}=\frac {2o_k O_k}{o_k + O_k} ,\; o_{2k}=\sqrt {o_k O_{2k}} . \end {equation*}\] Napište program, který pomocí těchto vztahů vypočítá hodnotu $\pi $, začněte přitom s opsaným a vepsaným čtvercem. S jakou přesností dokážete $\pi $ takto aproximovat? Obdobu tohoto postupu původně navrhl a použil Archimedes.
  4. Lukáš a Mirek hrají hru. Házejí férovou mincí a když padne orel, dá Mirek Lukášovi jedno Fykosí tričko, když padne panna, dá jedno tričko Lukáš Mirkovi. Oba dohromady mají $t$ triček, z toho $l$ patří Lukášovi a $m$ Mirkovi. Pokud jednomu z hráčů dojdou trička, hra končí.
    1. Nechť $m = 3$ a Lukášova zásoba triček je nekonečná. Určete nejpravděpodobnější dobu trvání hry, tedy počet hodů mincí, po nichž hra skončí (protože Mirkovi dojdou trička).
    2. Nechť $m = 10$, $l = 20$. Proveďte simulaci pomocí generátoru pseudonáhodných čísel a nalezněte pravděpodobnost, že Mirek vyhraje všechna Lukášova trička. Celou hru nechejte proběhnout alespoň 100krát (čím více opakování, tím lépe).
    3. Jak se změní výsledek předchozí úlohy, jestliže Mirek minci „vylepší“ a panna nyní padá s pravděpodobností $5/9$?
      Bonus: Vypočtěte pravděpodobnosti analyticky a porovnejte výsledek se simulací.
  5. Mějme lineární kongruenční generátor s parametry $a = 65539$, $m = 2^{31}$, $c = 0$.
    1. Vygenerujte alespoň $1 000$ čísel a spočtěte jejich střední hodnotu a rozptyl. Porovnejte se střední hodnotou a rozptylem rovnoměrného rozdělení na stejném intervalu.
    2. Nalezněte vztah, který vyjádří číslo v generované sekvenci jako lineární kombinaci čísel na dvou předchozích pozicích, tj. nalezněte koeficienty $A$, $B$ v rekurentním vztahu $x_{k+2} = Ax_{k+1} + Bx_k$. Pokud budeme považovat každá tři po sobě následující čísla za souřadnice bodu ve trojrozměrném prostoru, jak rekurentní vztah ovlivní prostorové rozložení těchto bodů?
      Bonus: Vygenerujte sekvenci alespoň $10 000$ čísel a vykreslete 3D bodový graf, který ilustruje význam uvedeného rekurentního vztahu.

Mirek a Lukáš oprašovali staré učební texty.

(3 body)0. Série 31. Ročníku - 2. Carnotův počítač

Spočítejte účinnost procesoru, kterou definujeme pomocí snížení entropie dat a tepelného výkonu. Veškeré potřebné údaje si dohledejte.

(9 bodů)0. Série 31. Ročníku - P. teoretická

Jak všichni dobře víme, na velmi malých rozměrech dobře funguje kvantová teorie pole. Na kosmických škálách se naopak projevuje především obecná teorie relativity. Vymyslete konzistentní teorii, která obě předchozí teorie sjednotí.

(12 bodů)6. Série 30. Ročníku - E. skladba jako od Cimrmana

Sežeňte si skleničku na víno, ideálně tenkou se zabroušeným okrajem. Nejprve změřte vnitřní průměr skleničky v závislosti na výšce ode dna. Pak ji rozeznívejte, ideálně navlhčeným prstem pohybem po jejím okraji – někdy to chce trochu trpělivosti. Změřte závislost frekvence tónů, které sklenička vydává v závislosti na výšce naplnění vody v ní (alespoň pro 5 hladin vody a dvě frekvence v každé výšce).

Nápověda: Pokud je sklenička tenkostěnná, můžete její vnitřní rozměry považovat za stejné jako vnější a díky tomu závislost jejího průměru na výšce určit z vhodné fotografie s měřítkem. Pro měření zvuku doporučujeme freeware program Audacity (Rozbor → Kreslit spektrum).

Karel si rád hraje se skleničkami na společenských večeřích.

(12 bodů)5. Série 30. Ročníku - E. vlasec

Změřte modul pružnosti v torzi vlasce $G$, který jsme vám poslali společně se zadáním.

(3 body)4. Série 30. Ročníku - 1. svitková relativita

Pohádkové postavy to nemají lehké, chtějí-li zjistit, kdy se objevují na scéně. Dnešní technika jim to ale usnadňuje. Třeba princezna Pointa z pohádky o délce šest kapitol. Všechny kapitoly jsou stejně dlouhé, a tak každá na Karlově displeji měří $1200$ pixelů na výšku (samotný displej ale zobrazí jen výšku $900\; \mathrm{px}$). Při čtení Karel souvisle scrolluje a navíc čte pořád stejně rychle. Po třech minutách od začátku čtení Pointa minula první konec posuvníku ve scrollbaru a po sedmi minutách i druhý. V kolikáté kapitole se objeví Pointa?

Poznámka: Poměr výšky posuvníku vůči výšce displeje je stejný jako poměr výšky displeje vůči výšce celého textu pohádky.

Michalovi prokluzoval scrollbar.

(9 bodů)4. Série 30. Ročníku - P. statistikův denní chléb

Známe to všichni, krajíc chleba namazaný medem nebo marmeládou, zakousneme se a najednou je kapka mazadla na ruce a jsme za prasata. Spočítejte, jak závisí pravděpodobnost, že v krajíci bude díra skrz naskrz, v závislosti na jeho tloušťce. Model kynutí těsta necháme na vás. (Třeba rovnoměrně rozmístěné bubliny s exponenciálně rozděleným poloměrem je dobrý model.)

Michal se pobryndal.

(3 body)3. Série 30. Ročníku - 1. dlouhý film

Stahujete si svůj oblíbený film o velikosti $12\; \mathrm{GB}$ rychlostí $10\; \mathrm{MB/s}$. Uvažujte, že signál se po kroucené dvojlince pohybuje rychlostí světla a modulace rozprostírá přenosovou rychlost rovnoměrně, tzn. byla-li by $1\; \mathrm{b/s}$, musíme přijmout signál za celou sekundu k obdržení $1$ bitu informace. Jak dlouhý úsek kabelu dokáže film zaplnit svými daty, pokud se bude šířit dostatečně dlouhým kabelem?

Kolega tvrdil Michalovi, že 100Gb ethernet má rámce menší než čip.

(12 bodů)3. Série 30. Ročníku - E. reflexní náramek

Změřte co nejvíce charakteristik samonavíjecího reflexního náramku. Zajímá nás především:

  • Náramek je vyztužen kusem plechu, který může být ohnut podélně (svinutý náramek) nebo příčně (narovnaný náramek). Jaký poloměr křivosti mají tyto ohyby, pokud na plech nepůsobí vnější síla?
  • Pokud náramek narovnáme a budeme ohýbat v jednom místě, při jakém úhlu přejde do ohnutého stavu? Při jakém úhlu se opět narovná? (Pozorujeme hysterezi?)
  • Jaký moment síly je potřebný k ohnutí náramku?
  • Je některý ze stavů náramku (svinutý nebo narovnaný) energeticky výhodnější? Odhadněte o kolik.

Erikovi se ne a ne ohnout.

(12 bodů)2. Série 30. Ročníku - E. jedno plnotučné, prosím

Tučnější mléko by mělo být „bělejší“ – více světla rozptýlí a méně propustí skrz. Proveďte měření tučnosti mléka na základě rozptylu světla, přičemž jako barevnou škálu použijte přiložený papírek (pokud jste neřešili první sérii a chcete obdržet papírek, napište nám na fykos@fykos.cz). Rozdíly nejlépe vyniknou, pokud do různých druhů mléka budete přidávat barvivo tak, aby jej v mléku byla stejná (malá) koncentrace. Jako barvivo můžete použít černou tuš. Samozřejmě je možno použít jakékoliv jiné barvivo, ale pak si budete muset vyrobit vlastní barevnou škálu, kterou prosím přiložte k řešení. Zrealizujte měření pro různé druhy mléka a směsi mléka a vody. Diskutujte spolehlivost určení obsahu tuku.

Mára byl bledý jako stěna.

(5 bodů)1. Série 30. Ročníku - 3. hopsa hejsa

Mějme ideální hopík dokonalé odrazivosti a zanedbatelných rozměrů. Tento hopík hodíme z nekonečných schodů, kde jeden schod má výšku $h$ a délku $l$. Odrazy probíhají beze tření. Popište závislost nejvyšší dosažené výšky (měřeno od prvního schodu) hopíku po $n$-tém odrazu na počátečních parametrech.

Lubošek potkal v městské dopravě Mikuláše.

(7 bodů)1. Série 30. Ročníku - 5. na procházce

Katka si vyšla ráno před přednáškou na procházku, aby vyvenčila svého potkana. Vyšla s ním na rovný palouk, a když byl potkan ve vzdálenosti $x_{1}=50\; \mathrm{m}$ od ní, hodila mu míček rychlostí $v_{0}=25\; \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$ pod úhlem $α_{0}$. V okamžiku výhozu potkan vyběhl směrem ke Katce rychlostí $v_{1} = 5\; \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$. Nalezněte obecnou závislost úhlu $φ$ na čase, kde $φ(t)$ označuje úhel mezi vodorovnou rovinou a spojnicí potkana a míčku, a vykreslete tuto závislost do grafu. Na základě grafu určete, zda je možné, aby míček zakryl potkanovi Slunce, jenž se nachází ve výšce $φ_{0}=50\; \mathrm{°}$ přímo před potkanem. Počítejte s tíhovým zrychlením $g=9,\! 81\; \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$ a pro zjednodušení uvažujte, že házíme z nulové výšky.

Mirek pozoroval, co se děje v trávě.

(12 bodů)1. Série 30. Ročníku - E. Pechschnitte

Padá krajíc namazanou stranou dolů? Zkoumejte experimentálně tento Murphyho zákon s důrazem na statistiku! Záleží na rozměrech krajíce, složení a typu vrstvy? K experimentálním výsledkům hledejte teoretická zdůvodnění. Pro vaše měření použijte toastový chléb.

Terka má stůl ve špatné výšce.

(2 body)6. Série 29. Ročníku - 1. mám toho plnou hlavu

V roce 2015 byla udělena Nobelova cena za fyziku za experimentální prokázání oscilace neutrin. O neutrinech jste už jistě někdy slyšeli a možná víte, že s látkou interagují jen velmi slabě a proto dokáží bez zpomalení proletět Zemí a jinými velkými objekty. Zkuste za pomoci literatury a internetových zdrojů určit, kolik neutrin se v jednom okamžiku nachází v průměrném člověku. Nezapomeňte citovat zdroje!

Mirek měl pocit naplnění.

(4 body)6. Série 29. Ročníku - 3. jedeme z kopce

Autem o hmotnosti $M$ jedeme nahoru do kopce a dolů ze stejného kopce se sklonem $α$ stejnou rychlostí $v$ se zařazeným stejným převodovým stupněm, a tedy stejnými otáčkami motoru. Jaký je rozdíl tažného (do kopce) a brzdného (s kopce) výkonu motoru?

Napadlo Lukáše v kopci směrem na Rumburk.

(8 bodů)6. Série 29. Ročníku - E. zákeřný restituční koeficient

Pokud pustíte hopík či nějaký jiný míček na vhodný povrch, pak se začne odrážet. Při každém odrazu se disipuje (ztrácí do tepla, zvuku atd.) kinetická energie míčku a proto nevyskočí do takové výše, co původně. Definujme koeficient restituce jako poměr kinetických energií míčku po dopadu ku kinetické energii před dopadem. Závisí koeficient restituce na výšce, ze které míček dopadal? Vyberte si jeden vhodný míček a jeden vhodný povrch, na kterém proměřte závislost koeficientu restituce na výšce, ze které míček dopadl. Experiment náležitě popište a proveďte dostatečný počet měření. Nezapomeňte na vliv odporu vzduchu.

Karel zavzpomínal, jak ho jednou zamrzelo, že u ping-pongového míčku má velký vliv odpor vzduchu.

(6 bodů)6. Série 29. Ročníku - P. i-jablko

Vymyslete co nejvíce způsobů, jak sestrojit zařízení, které pozná, jakým směrem je natočeno vůči směru tíhového zrychlení a tuto informaci nějakým způsobem převede na elektrický signál. (Zařízení na způsob akcelerometru v chytrých telefonech.)

Napadlo Terku, když už se jí nechtěla učit analýza.

(7 bodů)5. Série 29. Ročníku - E. fotografická

Pomocí digitálního fotoaparátu změřte frekvenci střídavého proudu v síti. Postačí i chytrý telefon s vhodnou aplikací, která umožní nastavit přesnou hodnotu expozičního času.

Populární přednášky z fyziky na střední.

(3 body)4. Série 29. Ročníku - 3. šetřeme lesy

Máme roli toaletního papíru o poloměru $R=8\;\mathrm{cm}$ s dutou částí o poloměru $r=2\;\mathrm{cm}$. Každá vrstva namotaného papíru má tloušťku $d=200\; \mathrm{μm}$ a vrstvy na sebe dokonale přiléhají. O kolik útržků více v takovéto roli máme, pokud má jeden útržek délku $l_{1}=9\;\mathrm{cm}$, než když má jeden útržek délku $l_{2}=13\;\mathrm{cm}?$ Jako součást řešení vyžadujeme odhad chyby použité aproximace.

Bonus: Vypočtěte přesnou délku spirály, kterou papír vytváří.

Kiki je sice potvora, ale tohle by přece jen do Náboje nedala.

(8 bodů)4. Série 29. Ročníku - E. trhni si!

Změřte mez pevnosti v tahu kancelářského papíru. Ideálně použijte co nejméně potištěnou část brožurky ve které vám přišlo zadání (pro tisk je využíván papír $80\; \mathrm{g} \cdot \mathrm{m}^{-2}$).

Karel viděl příspěvek Vojty Žáka o měření s papírem na Veletrhu nápadů učitelů fyziky 20.

(5 bodů)4. Série 29. Ročníku - P. dietní věž

Jak vysoká věž by se dala postavit z hliníkových plechovek od dietního nápoje kolového typu?

(2 body)6. Série 28. Ročníku - 2. dýchej zhluboka

Mág Šedomil oslavil sté narozeniny již před drahnou dobou a začíná se pomalu obávat, že ho Smrť poctí svou dlouho odkládanou návštěvou. Rozhodne se proto, že se nechá zatlouct do kouzelné truhly, kam se k němu Smrť nedostane. Bohužel zapomněl řemeslníkům říci, aby přidali dýchací otvory. Vzduch v truhle zaujímá objem $V_{0}=400\,\jd{l}$, objemový zlomek kyslíku je $φ_{0}=0,21$. Při každém nádechu a výdechu se zužitkuje pouze $k=20\,\jd{\%}$ objemových kyslíku v dechovém objemu $V_{d}=0,5\,\jd{l}$. Dechová frekvence mága po uzavření truhly postupně roste podle vztahu

$$\\f(t)=f_0 \cdot \frac{\varphi_0}{\varphi (t)}\,,$$

kde $f_{0}=15\,\jd{dech\cdot min^{-1}}$ je počáteční dechová frekvence a $φ(t)$ objemový zlomek kyslíku v čase $t$. Určete, za jak dlouho si pro Šedomila přijde Smrť, jestliže minimální obsah kyslíku ve vzduchu potřebný pro přežití je $φ_{s}=0,06$.

DARK IN HERE, ISN'T IT? (Aneb Mirek a jeho kamarád Smrť.)

(8 bodů)6. Série 28. Ročníku - E. alchymistická

Na Zeměploše je regulérním povoláním alchymie. Proto jsme se rozhodli, že byste si to měli také zkusit. Představte si, že skládáte zkoušku, abyste mohli vstoupit do Cechu alchymistů. Společně s brožurkou zadání série vám přišly tři zabalené vzorky kovů. Jedná se o tenké plátkové kovy – dávejte si pozor, abyste je neponičili a ideálně na ně přímo nesahejte. Vaším úkolem je zjistit, jaké (drahé?) kovy jsme vám zaslali. Kovy po vás nechceme zpátky – můžete tedy používat libovolné, i destruktivní postupy, ale uznáme pouze ty dostatečně vědecké. Vaším řešením tedy bude popis postupu a co nejpřesnější určení každého vzorku s tím, že je nutné, abyste uvedli u každého z nich jeho označení, které je na jeho přebalu. Nezapomínejte, že je cenné i určit, o které kovy se nejedná.

Poznámka: Pokud by se někdo chtěl stát novým řešitelem a řešit tuto úlohu, nechť co nejdříve napíše na email alchymie@fykos.cz s tím, že zásilku může očekávat zhruba za týden až 10 dnů.

Karel chtěl rozeslat nakoupené zlato, platinu a palladium.

(6 bodů)6. Série 28. Ročníku - S. rozmixovávací

Opište si funkci iterace_stanMap ze seriálu a pomocí následujících příkazů si vyberte deset velmi blízkých počátečních podmínek pro nějaké $K$.

K=…;

X01=…;

Y01=…;

Iter1 = iterace_stanMap(X01,Y01,1000,K);

X10=…;

Y10=…;

Iter10 = iterace_stanMap(X10,Y10,1000,K);

</pre> V $Iter1$ až $Iter10$ je tedy schováno tisíc iterací daných počátečních podmínek pomocí Standardní mapy. K tomu, abyste viděli, jak vypadá všech deset bodů po $n-té$ iteraci, musíte napsat

n=…;

plot(Iterace1(n,1),Iterace1(n,2),„o“,…,Iterace10(n,1),Iterace10(n,2),„o“)

xlabel („x“);

ylabel („y“);

axis([0,2*pi,-pi,pi],„square“);

refresh;

</pre> $"o"$ do příkazu $plot$ píšeme, aby se body pro přehlednost vykreslily jako kroužky. Zbytek příkazů je pak zahrnut kvůli tomu, aby graf zahrnoval celý čtverec a měl ty správné popisky.

  • Nastavte nějaké silné kopání, $K$ alespoň tak -0,6, a umístěte svých deset počátečních podmínek velmi blízko sebe někam doprostřed chaotické oblasti (tj. třeba „na špičku propisky“). Jak se s iteracemi těchto deset počátečních podmínek oddaluje či přibližuje? Zdokumentujte na grafech. Jak vypadá deset původně velmi blízkých počátečních podmínek po 1 000 iteracích? Co z toho můžeme vyvodit o „míchavosti“ počátečních podmínek v dané oblasti?
  • Vezměte opět nějaké poměrně silné kopání a umístěte svých deset počátečních podmínek poblíž svislé rovnováhy rotoru, tj. $x=0$, $y=0$. Jak se těchto deset počátečních podmínek oddaluje/přibližuje v čase? Co o jejich vzdálenosti lze říci po velkém počtu kopnutí?

Bonus: Zkuste naprogramovat a vykreslit i chování nějaké jiné nakopávané mapy. (Pro inspiraci se můžete podívat do vzorového řešení minulé série.)

(6 bodů)5. Série 28. Ročníku - S. mapovací

 

  • Ukažte, že pro libovolné hodnoty parametrů $K$ a $T$ můžete Standardní mapu ze seriálu vyjádřit jako

$$x_{n} = x_{n-1} y_{n-1},$$

$$\\ y_n = y_{n-1} K \sin(x),$$

kde $x$, $y$ jsou nějak přeškálovaná $dφ⁄dt$, $φ$. Určete fyzikální rozměr $K$, $x$, $y$.

  • Podívejte se znova na model nakopávaného rotoru ze seriálu a vezměte tentokrát předávaný impuls $I(φ)=I_{0}$, po periodě $T$ pak $I(φ)=-I_{0}$, po další zase $I_{0}$ a takto dokola kopejte rotor tam a zpátky.
  • Napište mapu $φ_{n},dφ⁄dt_{n}$ na základě hodnot $φ_{n-1},dφ⁄dt_{n-1}$ před dvojkopem ± $I_{0}$.
  • Bude zkonstruovaná mapa chaotická? Proč ne?
  • Vyřešte $φ_{n},dφ⁄dt_{n}$ na základě nějakých počátečních podmínek $φ_{0},dφ⁄dt_{0}$ pro libovolné $n$.

Bonus: Zkuste podle ingrediencí ze seriálu navrhnout kopání, které bude dávat chaotickou dynamiku. Dávejte ale pozor na to, že $φ$ je 2π-periodické a že by se vám $dφ⁄dt$ nemělo vyšroubovat kopáním do nekonečna.

(6 bodů)4. Série 28. Ročníku - S. Ljapunovská

 

  • Uvažujte propisku o délce 10 cm s těžištěm přesně v půlce a $g=9.81\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$. Nyní si představte, že jste propisku postavili na stůl s nulovou výchylkou $δx$ s přesností na $n$ desetinných míst a s nulovou rychlostí. Za jak dlouho po postavení propisky si budete moct být jisti pouze s $n-1$ desetinnými místy nulovostí výchylky?
  • Uvažujte model počasí s největším Ljapunovovým exponentem $λ=1.16\cdot 10^{-5}\,s^{-1}$. Předpověď počasí přestává být použitelná, pokud je její chyba více než 20 %. Pokud jste dokázali změřit stav počasí s přesností na 1 %, na jak dlouho byste odhadovali, že bude dobrá vaše předpověď? Odpověď podejte v dnech a hodinách.
  • Vezměte si Lorenzův model konvekce z minulého dílu, opište si z něj funkci $f(xi,t)$ a nasimulujte a vykreslete si hodnotu parametru $X(t)$ pro dvě různé trajektorie pomocí příkazů X01=1;

Y01=2;

Z01=5;

X02=…;

Y02=…;

Z02=…;

nastaveni = odeset('InitialStep', 0.01,'MaxStep',0.1);

pocPodminka1=[X01,Y01,Z01];

reseni1=ode45(@f,[0,45],pocPodminka1,nastaveni);

pocPodminka2=[X02,Y02,Z02];

reseni2=ode45(@f,[0,45],pocPodminka2,nastaveni);

plot(reseni1.x,reseni1.y(:,1),reseni2.x,reseni2.y(:,1));

pause()

</pre> Místo tří teček u $X02,Y02,Z02$ musíte zadat počáteční podmínky pro druhou trajektorii. Pusťte kód alespoň pro pět řádově odlišných, ale malých odchylek a poznamenejte si čas, ve kterém se druhá trajektorie od první kvalitativně odlepí (tj. směřuje například na úplně druhou stranu). Odchylku nezmenšujte pod řád cca $10^{-8}$, protože pak se začnou projevovat nepřesnosti numerické integrace. Načrtněte závislost odlepovacího času na řádu odchylky.

Bonus: Pokuste se ze získané závislosti odlepovacího času na velikosti odchylky odhadnout odpovídající Ljapunovův exponent. Budete potřebovat víc než pět běhů a můžete předpokládat, že v okamžiku odlepení velikost odchylky pokaždé zrovna překročila nějaké konstantní $Δ_{c}$.

(6 bodů)3. Série 28. Ročníku - S. numerická

 

  • Podívejte se na rovnice Lorenzova modelu a sepište skript na jeho simulaci v Octave (na to si případně osvěžte i druhý díl seriálu). Spolu s vykreslujícím příkazem by váš skript měl vypadat zhruba takto: …

function xidot = f(t,xi)

xdot=…;

ydot=…;

zdot= …;

xidot = [xdot;ydot;zdot];

endfunction

nastaveni = odeset('InitialStep', 0.01,'MaxStep',0.1);

pocPodminka=[0.2,0.3,0.4];

reseni=ode45(@f,[0,300],pocPodminka,nastaveni);

plot3(reseni.y(:,1),reseni.y(:,2),reseni.y(:,3)); </pre> Jen místo tří teček doplňte zbytek programu podobně jako v druhém dílu seriálu a použijte $σ=9,5$, $b=8⁄3$. Pak zjistěte alespoň s přesností na jednotky, pro jaké kladné $r$ přechází systém z asymptotického zastavování se na chaotickou oscilaci (na počátečních podmínkách nezáleží).

  • Zde je plný text octavovského skriptu pro simulaci a vizualizaci pohybu částice v gravitačním poli hmotného tělesa v rovině $xy$, kde všechny parametry a konstanty jsou rovny jedné: clear all

pkg load odepkg

function xidot = f(t,xi)

alfa=0.1;

vx=xi(3);

vy=xi(4);

r=sqrt(xi(1)^2+xi(2)^2);

ax=-xi(1)/r^3;

ay=-xi(2)/r^3;

xidot = [vx;vy;ax;ay];

endfunction

nastaveni = odeset('InitialStep', 0.01,'MaxStep',0.1);

x0=0;

y0=1;

vx0=…;

vy0=0;

pocPodminka=[x0,y0,vx0,vy0];

reseni=ode45(@f,[0,100],pocPodminka,nastaveni)

plot(reseni.y(:,1),reseni.y(:,2));

pause()</pre>

  • Zvolte počáteční podmínky $x0=0,y0=1,vy0=0$ a počáteční rychlost ve směru $x$ nenulovou tak, aby byla částice vázaná, tj. neulétla z dosahu centra.
  • Přidejte ke gravitační síle ve skriptu sílu $-α\textbf{r}⁄r^{4}$, kde $αje$ malé kladné číslo. Volte postupně několik zvětšujících se $α$ počínaje $α=10^{-3}$ a ukažte, že způsobují kvaziperiodický pohyb.

(2 body)2. Série 28. Ročníku - 2. poživačná buňka

Odhadněte na základě znalostí pouze makroskopicky měřitelných veličin, počtu buněk v lidském těle a počtu částic v látkovém množství jednoho molu, kolik molekul kyslíku „spotřebuje“ denně jedna lidská buňka. Potřebné údaje k výpočtu si nalezněte a svoje zdroje nezapomeňte citovat.

Karel přemýšlel v metru.

(5 bodů)2. Série 28. Ročníku - P. problém obchodního cestujícího

Když se začínaly prosazovat digitální mobilní telefony, byl často problém se příjmem hovorů v automobilu. Nyní se to nejvíce týká vlaků. Jaké faktory ovlivňují přenos dat v GSM síti a jak mohou ovlivnit dostupnost signálu operátora? Jak by se proti tomu dalo bojovat?

Aleš P. jel zase jednou první třídou ve vlaku a výjimečně ho něco napadlo.

(2 body)1. Série 27. Ročníku - 1. zlatá přehrada

Kolik cihliček (kvádříků) ze čtyřiadvaceti karátového zlata o rozměrech $10\;\mathrm{cm}$, $3 \;\mathrm{cm}$ a $1 \;\mathrm{cm}$ by se vešlo do vodní nádrže Orlík? Jaký zhruba tlak bude působit na cihličku, která je na dně v nejhlubším místě nádrže?

Karel se chtěl topit ve zlatě.

(2 body)4. Série 26. Ročníku - 1. antieinsteinovská

Napište nám, jaký je váš nejoblíbenější fyzik/fyzička, kromě Einsteina. Co udělal/a? Proč je podle vás tak skvělý/á? Proč by měl/a být známý/á? Rozepište se o jeho/jejích objevech a životě.

Karel propadl historickým okénkem.

(5 bodů)3. Série 26. Ročníku - P. protikonspirační

Zamyslete se nad tím, na kterých parametrech a jak může záviset délka kondenzační čáry za letadlem. Tyto parametry se pokuste odhadnout či vyhledat a určete možné délky čar. Na základě vašich úvah vyvraťte internetový mýtus o tzv. chemtrails, práškovacích letadlech, která na obyvatele sypou jedovaté látky.

Michal bojuje proti hlouposti.

(8 bodů)2. Série 26. Ročníku - E. listopadová

Určete průměrnou plochu listu vámi vybraného stromu (či keře). Nezapomeňte na statistické zpracování vašich dat. Odhadněte, kolik energie ze slunečního záření může váš strom použít pomocí chlorofylu na tvorbu cukrů za jeden den, rok.

(2 body)1. Série 26. Ročníku - 1. tlustý papír

Odhadněte tloušťku papíru A4, pokud znáte jeho plošné rozměry, gramáž a hustotu (jak obecně, tak číselně). Potřebné údaje si vyhledejte (či správně odhadněte) pro běžný kancelářský papír.

Karel žere papír.

(5 bodů)1. Série 26. Ročníku - P. větroplach!

Odhadněte, jakou minimální rychlostí musí foukat vítr, aby odnesl papír ležící na stole.

Karlovi lítaly papíry ze stolu.

(4 body)6. Série 25. Ročníku - P. paprsky X

Při prosvěcování prstů silným světlem je možno vidět jednotlivé cévy, ale zbytek tkáně se zdá homogenní. Vysvětlete, proč cévy vidět jsou, zatímco kosti ne.

Michal a LEDky.

(5 bodů)5. Série 25. Ročníku - P. světelný meč

Navrhněte konstrukci světelného meče, aby byl sestrojitelný za současného poznání vědy a techniky a přitom vypadal i fungoval podobně, jako ten autentický ze Star Wars.

Organizátoři se inspirovali vlastní legendou.

(8 bodů)1. Série 25. Ročníku - E. brumlovo tajemství

Změřte co nejvíce (alespoň 3) fyzikálních vlastností a charakteristik želatinových medvídků. Zkoumejte i rozdíly mezi jednotlivými barvami medvídků v pytlíku. Měřit můžete například teplotu tání, Youngův modul pružnosti, mez pevnosti, savost (změna objemu či hmotnosti medvídka po namočení po nějakou dobu), hustotu, vodivost, index lomu, rozpustnost (ve vodě, lihu), změnu některé z předcházejících vlastností při změně teploty či cokoliv jiného vás napadne.

Karel chtěl, aby medvídci trpěli.

6. Série 24. Ročníku - 3. letadlo

Jak dlouhý čas uběhne v letadle mezi západem a východem slunce, letí-li v rovině ekliptiky? A jak to bude vypadat s délkou dne a noci? Potřebné údaje jako běžnou letovou hladinu si zjistěte na internetu. Rozeberte oba případy, kdy letadlo letí na západ i na východ.

Vymyslel Petr, když čekal na romantický západ slunce

6. Série 24. Ročníku - E. zeměplocha

Vymyslete co nejvíce způsobů, jak ověřit předpoklad o kulatosti Země. Pokud zjistíte, že je Země opravdu kulatá, dokázali byste určit i její poloměr?

Terka J. přesvědčovala Tibeťany o tom, že Země není placatá

6. Série 24. Ročníku - P. nošení vody

V létě bylo zakázáno vynášet z bazénů vodu v bermudách. Kolik ale může člověk vynést vody ve vlasech? Předpokládejme, že vlasů je větší počet (z bazénu nevynáší vodu děd Vševěd).

Vykutáno z archivu

4. Série 24. Ročníku - E. vejce sebevrah

Z jaké nejvyšší výšky můžete shodit obyčejné slepičí vajíčko na tvrdou podlahu, aniž by se nakřáplo? Co když vajíčko natěsno obalíme nějakým měkkým obalovým materiálem (tj. papír, bublinková folie apod.) s tloušťkou nejvýše 5 mm? Z kolikrát vyšší výšky ho pak můžeme pustit, aniž by se nějak viditelně poškodilo? Vyzkoušejte několik různých obalů.

Karel přemýšlel o padajících vejcích

3. Série 24. Ročníku - 1. rozcvička

 

  • Dr. Nec

Terka byla o víkendu tahat dřevo. Objem dřeva se měří dvěma způsoby: na kubíky (1 m dřevo-hmoty bez vzduchových mezer mezi kládami) a na plnometry (1 m i s mezerami). Nalezněte převodní vztah mezi těmito dvěma jednotkami (tj. kolik plnometrů odpovídá jednomu kubíku) v závislosti na poloměru klád, ze kterých se skládá hranice. Klády považujte za dokonale hladké válce, které se skládají na sebe.

  • bublifuk

Foukáme do mýdlového povrchu na počátku kruhového tvaru tak, aby měl tvar kulového vrchlíku o poloměru $r$. Odhadněte, jakou rychlostí do něj musíme foukat?

Jakub

2. Série 24. Ročníku - 1. rozcvička

 

  • Jakubova snídaně

Jakub jí ke snídani cereální kuličky o hustotě $ρ$, které si sype do misky ve tvaru komolého kužele (horní podstava má poloměr $R$, spodní $r$ a výška je $l)$, ve kterém má do výšky $h$ nalité mléko. Kolik nejvíce kuliček může do misky nasypat? Víte, že kuličky v plné velké krabici zabírají přibližně objemový podíl $κ$.

  • magnetický monopol

Máme velkou plechovou desku, kterou zmagnetujeme tak, že na její horní ploše bude severní magnetický pól (a na dolní ploše ten jižní). Vylisujeme z ní dvě stejné polokoule. Na vnitřní straně obou polokoulí je teď jižní a na vnější severní pól. Polokoule k sobě přiblížíme tak, že vyrobíme celou kouli. Ta má nyní venku pouze severní pól, takže se chová jako magnetický monopól. A nebo ne? Co nám vytvoření takovéto koule zabrání?

Kuličky ke snídani rozsypal Jakub, magnety zamotaly hlavu brněnským teoretikům

6. Série 23. Ročníku - 2. šmírák Honza

Honza stojí na Žižkovské věži a hledí lidem do oken. Okna jsou všechna namířena k němu, mají stejnou velikost a jsou ve stejné výšce od země. V jak vzdáleném okruhu mají nejméně soukromí? Honza nemá dalekohled.

panorama Prahy studoval Honza Prachař

2. Série 23. Ročníku - 1. kalamita

Jeden z organizátorů jel vlakem domů a zapadl ve vánici. Z dlouhé chvíle počítal sněhové vločky padající za oknem. A napadlo jej – kolik jich je asi v jednom kilogramu sněhu? Provedl kvalifikovaný odhad a spokojeně umrzl. Co mu vyšlo?

vzpomínáme na neznámého padlého

2. Série 23. Ročníku - E. metronom

Hrajete-li na hudební nástroj, určitě občas máte problémy udržet rytmus. Navrhněte experiment a změřte, jakou frekvenci (úderů o stůl, stisků klávesy, …) dokáže člověk nejlépe udržet. Existuje nějaká korelace mezi ní a jinými přirozeně se vyskytujícími jevy?

Parkinsonem onemocněl Honza Hermann

1. Série 23. Ročníku - 1. skrolování v metru

Informační systém v pražském metru má jednu zajímavou vlastnost. Při skrolování textu směrem doleva se písmo nakloní. Jak je možno jednoduchým způsobem „hardwarově“ docílit tohoto efektu a jaký vliv má tato úprava pro text, který skroluje vertikálně? Poznamenejme, že světelný panel se skládá z LED diod rozmístěných v pravoúhlém rastru.

Ze tmy tunelu přitáhl Byrot.

5. Série 22. Ročníku - 4. internetová

Mějme rovné optické vlákno. Světelný signál do něj vstupující může mít odchylku od přímého směru až $α$. Jak nejméně dlouhá musí být časová délka jednoho pulzu, aby šlo určit, zda byl vyslán bit 1, nebo 0, tj. aby aspoň krátký časový úsek byla síla signálu minimální nebo maximální. Délka vlákna je $d$.

na schůzku donesl Honza Jelínek

4. Série 22. Ročníku - 2. na tenkém ledě

Je známo, že led vystavený většímu tlaku snižuje svou teplotu tání. Funguje tento jev při bruslení (tedy, je tlak brusle dostatečný, aby se led rozpustil i při nízkých teplotách)? Pokud ne, co jiného zaručuje hladký skluz?

Při návštěvě kluziště si počítal Dan.

3. Série 22. Ročníku - P. titanový život

Titan – družice Saturnu – je mrazivý svět (povrchová teplota asi $94\, \jd{K}$) s mohutnou dusíkovou atmosférou, ledovým povrchem a uhlovodíkovými jezery. Radar na sondě Cassini obíhající Titan zjistil, že povrchové útvary rotují rychleji než měsíc sám (asi o $0,36^{\circ} \, \jd{{rok}^{-1}}$). Vědecké zdůvodnění zní, že působením větru se mění rotace ledové vrstvy, která plave na podzemním oceánu. O rotaci měsíce se předpokládá, že je synchronizována s oběhem Titanu kolem Saturnu.

Další indicii podzemního oceánu poslala sonda Huygens, která po oddělení od Cassini přistála na povrchu Titanu. Během klesání atmosférou naměřila relativně silné radiové elektromagnetické vlny o frekvenci asi $36\, \jd{Hz}$. K odrazu a zesílení radiových vln může dojít na vodivém prostředí jako je právě rozhraní vody a ledu pod povrchem.

Poraďte expertům NASA, jakými metodami by mohla současná nebo budoucí sonda k Titanu potvrdit nebo vyvrátit existenci podzemního oceánu.

V aktuálním dění zaujalo Honzu P.

2. Série 22. Ročníku - 2. odhalte tajemství šuplery

Vysvětlete nám, jak funguje „šuplera“, že dokáže měřit desetiny milimetru.

nad tajemstvími života se zamyslel Marek Scholz

1. Série 22. Ročníku - 2. pirát a zlatá odměna

Jeden pirát má za odměnu dostat pytel zlaťáků. Ale kapitán lodi je lakomý a chce mu to zkomplikovat. Přetavili zlato do válce. A k tomu ještě odlili druhý, velikostně stejný válec z mosazi. Protože uprostřed zlatého je vzduch, váží oba stejně a jsou stejně velké. Jak si má dotyčný pirát vybrat, aby pak nelitoval?

Úlohu vymyslel kolega Mirka Beláňe.

6. Série 21. Ročníku - P. mission impossible

Naplánujte záchrannou misi a vysvoboďte ptáka FYKOSáka. Nezapomeňte na plán B, příp. C.

Vyplodil Honza Prachař.

6. Série 21. Ročníku - S. na přání

Pokuste se o řešení libovolného problému z šesté kapitoly seriálu.

Zadal autor seriálu Marek Pechal.

5. Série 21. Ročníku - E. životní etapy Ramy

Bude mít Rama jiné fyzikální vlastnosti, poté co ji roztavíte a opět necháte ztuhnout? Doporučujme měřit hustotu, viskozitu či barvu.

Vytlačil Marek Pechal.

2. Série 21. Ročníku - E. bubo bubo

Experimentálně prověřte tvrzení, že vinnou rotace Země se na severní (jižní) polokouli vír vody vypouštěné otvorem otáčí doprava (doleva). Mají-li mít vaše závěry váhu, musíte provést dostatečný počet měření v různých podmínkách.

Napadlo zadat Honzu Prachaře.

2. Série 21. Ročníku - S. porcování divokých rovin

Skladování uranu

Palčivá otázka jaderné energetiky je skladování vyhořelého radioaktivního paliva. Většinou se skladuje ve válcových článcích ponořených ve vodní lázni, která drží jejich povrch na konstantní teplotě asi $20\,\jd{ °C}$. Na vás je nyní zjistit, jaké bude rozložení teploty v článcích tvaru kvádru se čtvercovou podstavou o hraně délky $20\,\jd{ cm}$. Článek bude poměrně vysoký a proto nás zajímá rozložení tepla v příčném řezu. Uran bude zaujímat koncentrický kvádr se čtvercovou podstavou o hraně $5\,\jd{ cm}$. Ze zkušenosti s válcovými kapslemi víme, že bude mít konstantní teplotu okolo $200\,\jd{ °C}$.

Zahřívající se drát

Máme velmi dlouhý drát kruhového průřezu o poloměru $r$ z materiálu o tepelné vodivosti $λ$ a měrné elektrické vodivosti $σ$. Přiložíme na něj konstantní elektrické napětí. Nechť je intenzita elektrického pole (tj. napěťový spád) uvnitř drátu konstantní, rovnoběžná s jeho osou a její velikost budiž $E$. Pak drátem bude procházet proud o plošné hustotě $j=σE$ a bude se vytvářet Jouleovské teplo s objemovým výkonem $p=σE$.

Protože materiál drátu má nenulovou tepelnou vodivost, vytvoří se v něm jisté rovnovážné rozložení teploty, které – jak víme – splňuje Poissonovu rovnici $λΔT=-p$. Předpokládáme, že okraj drátu udržujeme na dané teplotě $T_{0}$. Tím máme dánu okrajovou podmínku potřebnou k vyřešení rovnice. Vzhledem k symetrii problému se můžeme omezit na její řešení pouze ve dvou rozměrech – na průřezu vodiče (teplota jistě nebude záviset na posunutí podél osy vodiče). Nyní by již bylo jednoduché problém vyřešit popsanými metodami.

My si však situaci maličko zkomplikujeme a budeme předpokládat (zcela oprávněně), že měrná elektrická vodivost $σ$ závisí na teplotě. Budeme tedy mít rovnici typu $ΔT=f(T)$.

Pokuste se tuto rovnici numericky vyřešit pro nějakou danou závislost vodivosti na teplotě (můžete si ji najít v literatuře, na internetu, nebo si klidně nějakou vymyslet) a najít tak rozložení teploty na průřezu drátu. Můžete se pokusit měnit intenzitu elektrického pole $E$ a nakreslit voltampérovou charakteristiku drátu, vyzkoušet více druhů závislostí $σ(T)$ (třeba pro polovodič, jehož vodivost s rostoucí teplotou na rozdíl od obyčejného kovu roste) atd.

Vaší iniciativě samozřejmě meze neklademe a těšíme na pěkné nápady.

Kapacita krychle

Vypočítejte kapacitu dokonale vodivé krychle o straně délky $2a$. Pokud se budete nudit, můžete zkusit kvádr (a třeba závislost kapacity na délkách jednotlivých stran), případně jiné geometrické objekty.

Nápověda: Kapacita je poměr náboje na krychli rozmístěného ku potenciálu povrchu krychle (za předpokladu, že potenciál v nekonečnu je nulový). Problém tedy lze řešit tak, že si zvolíme libovolně potenciál krychle, vyřešíme Laplaceovu rovnici $Δφ=0$ vně krychle a vypočítáme celkový náboj na krychli užitím Gaussova zákona (tj. určením intenzity elektrického pole derivováním potenciálu a výpočtem jeho toku vhodně zvolenou plochou obklopující krychli).

Úplným řešením je vymyšlení vhodného fyzikálního modelu, návrh jeho numerického řešení a realizace této úlohy na počítači. Bodově ohodnotíme, pokud úlohu fyzikálně rozvážíte a okomentujete. Nějaký bod by se našel i za návrh algoritmu, který byste rádi počítači předložili.

Zadali autoři seriálu Lukáš Stříteský a Marek Pechal.

1. Série 21. Ročníku - E. ulovte si hlemýždě

Změřte, jaký nejpomalejší pohyb je schopné zaregistrovat lidské oko. Konkrétně měřte nejmenší okamžitou úhlovou rychlost vybraného objektu vzhledem k nehybnému pozadí, kterou vaše neustále otevřené oko dokáže zpozorovat během doby maximálně $5\,\jd{ s}$ .

Pár tipů na pomalé pohyby: plazení hlemýždě, pohyb Slunce vůči obzoru při západu, otáčení hodinových ručiček, růst rostlin, růst živočichů, vzájemný pohyb hvězd …

Napadlo Honzu Prachaře.

5. Série 20. Ročníku - 3. odporová řada

Vžijte se do role ředitele firmy, která chce jako první na světě začít vyrábět rezistory pro všeobecné použití. Na základě průzkumu trhu bylo zjištěno, že poptávka po rezistorech je rovnoměrně rozdělena v rozmezí 1 Ω –10 MΩ. Z technických důvodů však můžete vyrábět pouze konečné množství, řekněme 169, různých rezistorů.

Pokud zákazník požaduje rezistor s hodnotou $R_{p}$ a vy mu nabídnete rezistor s hodnotou $R_{n}$, bude „míra jeho nespokojenosti“ dána vztahem $(1-R_{p}⁄R_{n})$. Otázkou je, jaké hodnoty odporu musí mít vámi vyráběných 169 rezistorů, aby byla střední nespokojenost všech zákazníků minimální. Pro jednoduchost řekněme, že první a poslední rezistor z vaší nabídky musí mít hodnoty 1 Ω a 10 MΩ.

Návrh Pavla Augustinského.

4. Série 20. Ročníku - P. mastný papír

Jistě jste se již setkali s tím, když kapka oleje ukápla na papír. Z bílého papíru se rázem stal papír průsvitný. Vysvětlete, čím to je. Najděte ve svém životě případy, kdy se uplatňuje stejný jev, avšak třeba v úplně jiné situaci.

Na problém narazil Peter Zalom při čtení o sněhových vločkách, když mu kapka oleje dopadla na papír.

1. Série 20. Ročníku - 4. kapitánův deník

Přispějte něčím zajímavým do deníku vědecké výpravy (obrázkem či jiným uměleckým výtvorem, dobrodružnou příhodou v délce denního hlášení, fyzikálním pozorováním, …).

Napadlo Honzu Prachaře.

1. Série 20. Ročníku - E. sbírání šišek

Počet spirál tvořených šupinami šišek vycházejících od špičky není libovolný, nýbrž nabývá hodnot 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … To jsou členy tzv. Fibonacciho posloupnosti, v níž další člen získáme sečtením předchozích dvou, přičemž první dva členy posloupnosti jsou 1 a 1. Jako každé pravidlo má však i toto své výjimky. Někdy se totiž stane, že počet spirál je roven 1, 3, 4, 7, 11, …, tedy prvku Lucasovy posloupnosti. Získáme ji stejným postupem jako Fibonacciho, začínáme ale s 1 a 3.

Vaším úkolem je zjistit, jak často a za jakých podmínek se tato anomálie vyskytuje na Zemi. Prozkoumejte závislost na co nejvíce různých parametrech (např. roste-li strom v lese či volně).

Úlohy vymyslela Lenka Zdeborová.

6. Série 19. Ročníku - E. poznej své tělo

Na závěr ročníku pro vás máme jednoduchou experimentální úlohu. Z následujících tělních tekutin si vyberte alespoň dvě a změřte jejich alespoň jednu fyzikální vlastnost (hustotu, viskozitu, elektrickou vodivost, index lomu, teplotu varu, …) – sliny, krev, moč, pot, slzy, žaludeční šťávy, míza.

V této úloze se řiďte heslem čím více, tím lépe.

Tuto hovadskou úlohu vymysleli Jarda s Honzou po ICQ těsně před tiskem.

5. Série 19. Ročníku - P. o ztracené studně

Babička a dědeček obývají už léta svoji starou chalupu, kde mají vlastní studnu se znamenitou vodou. Jednoho dne přestala pumpa jejich vodu čerpat, pravděpodobně se poškodil koš ve studni. Tato drobná závada se však ukázala jako velký problém, neb oni sami ani jejich předkové nevěděli, kde byla studna kdysi vykopána.

Od čerpadla, které je uvnitř chalupy, vede jedenapůlpalcová trubka asi metr pod zem, kde zahýbá a pokračuje vodorovně směrem ven z chalupy. Studna je zavezená, avšak není jasné, jestli je na zahradě či dokonce přímo pod domem.

Poraďte starouškům, jakým způsobem nalézt studnu. Navrhněte několik co nejsnáze proveditelných postupů.

V reálném životě na problém narazil Marek Scholz.

4. Série 19. Ročníku - E. jak oči Balónka klamou

figure

Balónci při pozorování oblohy často soudí, že se jim souhvězdí vysoko nad hlavou zdají menší, než když si je prohlížejí nízko nad obzorem. Proveďte pozorování na Zemi a měřením ověřte, zda jde skutečně o klam. Změřte úhlovou vzdálenost $α(t_{1})$ dvou vybraných hvězd, které jsou přibližně nad sebou (mají stejný azimut $A)$, a úhlovou vzdálenost $β(t_{1})$ jiných dvou hvězd, které jsou ve stejné výšce $h$ nad obzorem, (tzn. kontrola v obou nezávislých směrech) v okamžiku, kdy se tyto hvězdy nacházejí $co$ nejníže nad obzorem. Až později stejné dvojice hvězd najdete v co největší výšce, měření obou úhlových vzdáleností $α(t_{2})$, $β(t_{2})$ zopakujte. Snažte se pochopitelně měřit co nejpřesněji!

Zvlášť oceníme, pokud ze znalosti katalogizovaných souřadnic hvězd přesně vypočítáte jejich teoretickou úhlovou vzdálenost. Nezapomeňte popsat použité pomůcky a zamyslet se nad jejich výhodami a nevýhodami (resp. diskutovat přesnost měření), uvést důležité podmínky měření a určit zkoumané hvězdy – alespoň načrtněte mapku hvězdného okolí a uveďte směr (např. jih) a čas měření. Vyhodnoťte chyby měření a v diskusi srovnejte výsledky.

Zformuloval Pavel Brom inspirován dotazem na hvězdárně.

3. Série 19. Ročníku - E. a jsou tu zase hody!

V Černvíře je veselo, všichni tancují, baví se, ale hlavně pijí alkoholické nápoje. Ne však každý se chce co nejdříve opít. Mezi místními stárky je jeden, kterému jde zejména o vědecký výzkum. Po vypití dvou litrů levného stolního vína ho napadlo, že by mohl zjistit, kolik toho alkoholu do sebe vlastně dostal. Nebyl ovšem v natolik střízlivém stavu, aby experiment zrealizoval. Zkuste to tedy vy!

Změřte, jaký je hmotnostní podíl alkoholu obsažený v levném stolním víně, a výsledek porovnejte s hodnotou na obalu.

Našel Jarda Trnka na internetu a vzpomněl si při tom na jednoho z organizátorů.

3. Série 19. Ročníku - P. udýchaný běžec na ledě

Jedno pozdní zimní odpoledne se šel Matouš proběhnout na zamrzlý broumovský rybník. Matouš chvilku běžel, ale po pár metrech už nemohl a zastavil se. V zápětí se však pod ním led prolomil a Matouš zahučel pod vodu. Vysvětlete, proč se při běhu pod Matoušem led neprolomil a po zastavení ano?

Úloha ze sbírky Dr. Kapicy.

5. Série 18. Ročníku - E. paličův seník

Určete teplotu vznícení náplně plynového zapalovače, tj. nejnižší teplotu, na kterou ji musíme zahřát, aby se na vzduchu vznítila. Jako bonus můžete též zjistit zápalnou teplotu technického lihu nebo jiné organické látky.

Postupujte například tak, že na odporový drát rozžhavený průchodem elektrického proudu pustíte plyn ze zapalovače. K určení zápalné teploty využijete změřené hodnoty napětí a proudu a známou závislost odporu na teplotě. Vaší vynalézavosti se však meze nekladou.

Varujeme: Oheň způsobuje těžké popáleniny, postupujte proto obezřetně!

Pavel Augustinský

3. Série 18. Ročníku - 1. teplota na Zemi

Průměrná teplota na povrchu Země je $T = 287\, \jd{K}$. Jaká bude nová průměrná teplota $T'$, pokud se střední vzdálenost mezi Zemí a Sluncem zkrátí o 1 %?

Část úlohy z 28. MFO v Kanadě.

1. Série 18. Ročníku - E. a přece se točí

Již několik století víme, že se Země točí. Změřte tedy dobu, za kterou se Země otočí o 360° kolem své osy. Své měření se pokuste provést co nejpřesněji. Můžete navrhnout a vypracovat několik různých metod a jejich výsledky porovnat. V každém případě proveďte dostatek měření, abyste je mohli statisticky zpracovat.

Úlohu vymyslel kolektiv všech organizátorů.

6. Série 16. Ročníku - E. sušení prádla

Změřte časovou závislost množství vody v prádle při sušení. Nezapomeňte podrobně popsat všechny důležité podmínky, za kterých jste prováděli měření.

3. Série 16. Ročníku - 3. praktikum II

Ve fyzikálním praktiku dostal organizátor FYKOSu za úkol pomocí tří měření zjistit napětí třech různých zdrojů.

K dispozici má jeden voltmetr následujících vlastností: Jeho systematická chyba je nulová. Náhodná chyba je charakterizována střední kvadratickou odchylkou $σ$ (tj. rozptyl je $σ^{2})$, která je nezávislá na velikosti měřeného napětí.

Poraďte organizátorovi, zda a popř. jak lze napětí změřit přesněji než změřením každého zdroje zvlášť. Za míru celkové přesnosti považujte součet rozptylu výsledných hodnot.

3. Série 16. Ročníku - P. velikost elementárních částic

 

  • Elektrostatická energie rovnoměrně nabité koule je $E=\frac{3Q^{2}}{ 20 \pi \epsilon_{0}R}$. Pokud to dokážete, ověřte tento vztah výpočtem, jinak řešte rovnou úkol b).
  • Pomocí tohoto vztahu se pokuste ze znalosti klidové energie protonu a elektronu spočítat rozměr těchto částic.
  • Rozmyslete, proč je tento postup zcela nesmyslný. Pozn.: experimentálně je ověřeno, že rozměr elektronu je menší než $10^{-19}\,\jd{m}$.

2. Série 16. Ročníku - 1. ztraceni v temnotě

Jeníček a Mařenka, zabráni do závažné diskuze nad zajímavým fyzikálním problémem, zbloudili v temném hvozdě. A tak, ve snaze nalézt východisko ze zoufalé situace, rozhodl se Jeníček vylézt na statný smrk, v naději že svým ostřížím zrakem zahlédne spásný záblesk světla. Jak nejdále od této dřeviny by se muselo nacházet nechvalně proslulé obydlí ještě nechvalněji proslulé okultistky a gurmánky Jagy Babové, aby Jeníček získal falešnou naději na záchranu v důsledku osvícení 100 W žárovkou svítící v obývacím pokoji výše zmíněného domu?

2. Série 16. Ročníku - 3. zase jde vo prachy

Mějme dvě prášková dielektrika o permitivitách $\epsilon_{1}$ a $\epsilon_{2}$. Smísíme je tak, že poměr jejich hmotností bude $m_{1}$ : $m_{2}$ , poměr jejich objemů bude $V_{1}$ : $V_{2}$ a poměr jejich látkových množství bude $n_{1}$ : $n_{2}$. Jaká bude výsledná permitivita této směsi?

1. Série 16. Ročníku - E. reakční doba

Změřte rychlost vedení vzruchu v nervu.

Návod: Změřte svou reakční dobu na optický nebo zvukový podnět (v tomto případě můžeme předpokládat, že vzruch dorazí do mozku okamžitě). Poté změřte rychlost své reakce na dotek konce ruky nebo nohy. Porovnáním výsledků pak stanovte rychlost vedení vzruchu. Nezapomeňte, že pro správné statistické zpracování potřebujete naměřit minimálně deset hodnot.

6. Série 15. Ročníku - E. sprcha

Určitě jste si už při sprchování všimli, že proud opouštějící sprchu má vyšší teplotu než voda dopadající na zem. Na vás je, abyste toto naměřili kvantitativně.

Nalezněte a popište vhodné experimentální uspořádání, na kterém bude měřitelný pokles teploty vody padající vzduchem a proveďte měření. Pokuste se vaše výsledky teoreticky interpretovat.

6. Série 15. Ročníku - S. dva dráty

Mějme dva přímé rovnoběžné nekonečně dlouhé kovové vodiče zanedbatelného kruhového průřezu, které jsou od sebe ve vzdálenosti $r$. Směr jednotkového vektoru $\textbf{e}_{3}$ zvolme tak, aby byl rovnoběžný s vodiči. Jednotkový vektor, který leží v rovině určené vodiči, je kolmý na $\textbf{e}_{3}$ a má směr z prvního vodiče k druhému, označme $\textbf{e}_{1}$. Jako vektor $\textbf{e}_{2}$ označujme vektorový součin $\textbf{e}_{3}$ × $\textbf{e}_{1}$. Vektory $\textbf{e}_{1}$, $\textbf{e}_{2}$ a $\textbf{e}_{3}$ pak definují pravotočivý souřadný systém. Vodiči protékají elektrické proudy $I_{1}$ a $I_{2}$. Velikost proudů je kladná, pokud mají směr $\textbf{e}_{3}$. Pomocí transformačních vztahů pro elektrické a magnetické pole ukažte, že první vodič působí na úsek délky $l$ druhého vodiče silou

$\textbf{F}_{l}$ = $– \mu_{0} ⁄ (2\pi)$ $\cdot (I_{1}I_{2}l⁄r)$ $\textbf{e}_{1}$.

K řešení této úlohy užijte následující poznámky. Kovy jsou tvořeny krystalovou mřížkou kladně nabitých iontů, mezi nimiž se pohybují volné elektrony. (Toto je velmi zjednodušený model struktury kovů. Nicméně pro náš problém je postačující.) Pokud ke kovu přiložíme vnější elektrické pole, potom se volné elektrony začnou pohybovat proti směru elektrické intenzity. Tím v kovu vzniká elektrický proud. Rychlost uspořádaného pohybu elektronů je při běžných hodnotách proudu velmi malá, méně než metr za sekundu.

Elektrostatické pole homogenně nabité přímky s délkovou hustotou náboje $\lambda$ je ve vzdálenosti $r$ od zdroje popsáno elektrickou intenzitou o velikosti $E = \lambda / (2\pi\epsilon_{0}r)$. Vektor elektrické intenzity vždy leží v rovině kolmé na přímkový zdroj a jeho směr udává přímka procházející zdrojem a bodem, ve kterém nás zajímá hodnota elektrického pole. Vektor elektrické intenzity směřuje od zdroje, je-li zdroj nabit kladně. Tento výsledek lze získat sečtením (integrací) příspěvků od jednotlivých elementů přímkového zdroje. Příspěvek elementu zdroje je dán Coulombovým zákonem. Další možností je v tomto případě užití Gaussovy věty, neboť směr elektrické intenzity plyne ze symetrie.

Z Maxwellových rovnic plyne pro rychlost světla ve vakuu vztah $c^{2} = 1/\epsilon_{0} \mu_{0}$. O platnosti tohoto vzorce se lze snadno přesvědčit dosazením tabulkových hodnot příslušných fyzikálních konstant.

Zadal autor seriálu Karel Kolář.

5. Série 15. Ročníku - E. převíjení kazety

Změřte tloušťku magnetofonového pásku. Proměřte závislost úhlové rychlosti kotouče na době přehrávání kazety v případě, že kazetu přehráváme od začátku. Do řešení nezapomeňte připsat, s jakou kazetou jste měřili (podstatná je značka a délka).

Napadlo Mida Pištěka.

5. Série 15. Ročníku - S. fotony

K vysvětlení fotoelektrického jevu předpokládal Albert Einstein, že energie a hybnost světla je nesena částicemi, které se nazývají fotony. Aby se tyto částice mohly pohybovat rychlostí světla, musí být jejich klidová hmotnost nulová (tento vztah je formální, neboť s fotonem nemůžeme spojit vztažnou soustavu, a proto pojem klidové hmotnosti jakožto hmotnosti v klidovém systému nemá pro foton smysl). Mezi jejich energií a hybností tak platí jednoduchý vztah $E = pc$. Energie fotonu závisí na frekvenci světla $ν$ vztahem $E = hν$, jak plyne z Planckovy teorie, která objasnila vlastnosti tepelného záření absolutně černého tělesa. Hodnota Planckovy konstanty $h$ je rovna $6,626.10^\,\jd{-34}$ J.s.

  • Předpokládejte, že energie fotonu je závislá pouze na frekvenci příslušné světelné vlny. Pomocí Dopplerova jevu a transformace mezi energií a hybností ukažte, že tato závislost musí být dána vztahem $E = hν$, kde $h$ je blíže neurčená konstanta.
  • Uvažujte srážku fotonu s částicí, jejíž klidová hmotnost je $m_{0}$. Tato částice je v naší soustavě před srážkou v klidu. Vlnová délka fotonu před srážkou je v našem systému rovna $\lambda$. Při srážce se foton od původního směru vychýlí o úhel $\varphi$. Jak závisí změna vlnové délky $\Delta \lambda$ fotonu na úhlu odchýlení $\varphi?$

Zadal autor seriálu Karel Kolář.

1. Série 15. Ročníku - S. éter

 

  • Podle klasické fyziky neexistuje omezení na rychlost objektů. Uvažujte světelný zdroj pohybující se rovnoměrným přímočarým pohybem rychlostí $v$ vůči éteru (světlo se vůči éteru pohybuje rychlostí $c)$. Jak závisí prostorový úhel, do kterého zdroj vyzařuje, na jeho rychlosti?
  • Zamyslete se nad „nepříjemnými“ důsledky existence éteru.

Zadal autor seriálu Karel Kolář.

6. Série 14. Ročníku - 3. galaxie

Začátkem století existoval kosmologický model vesmíru, podle kterého byl vesmír homogenní (v každém místě stejný) a izotropní (v každém směru stejný). Takový vesmír v sobě zahrnoval rovnoměrně rozmístěné galaxie. Předpokládejme, že všechny galaxie jsou co do množství vyzařovaného světla stejné. Spočtěte, kolikrát více galaxií uvidíme, jestliže se místo pouhým okem budeme koukat na oblohu triedrem, kterým lze pozorovat objekty s magnitudou až 8,5.

Magnitudou se v astronomii měří jasnost objektu. Čím větší magnituda, tím slabší objekt vidíme. Slunce má −27 magnitud, Měsíc v úplňku $-13^{mag}$, nejjasnější hvězdy $0^{mag}$ a nejslabší hvězdy viditelné pouhým okem mají 6 magnitud. Pomoci vám může Pogsonova rovnice, která porovnává magnitudy a pozorované intenzity dvou objektů:

$$m_{1}-m_{2}=-2,5\log{\frac{I_{1}}{I_{2}}}$$

Zamyslete se nad tím, jak se změní řešení, když budou galaxie vyzařovat různá množství světla.

Vymyslel Pavol Habuda.

5. Série 14. Ročníku - 3. rozlišení radaru

Mějme radar, který je schopný rozlišit těleso s průměrem 10 km ve vzdálenosti Měsíce. Jak velké těleso je schopen rozlišit ve vzdálenosti Slunce? Jaká je teoretická vzdálenost, do které je radar schopný „vidět“?

Typická úloha Pavola Habudy.

5. Série 14. Ročníku - 4. supermetro

Ve Švýcarsku plánují vybudování celostátního „metra“. Vlaky mají jezdit na magnetickém polštáři tunelem, ze kterého je částečně vyčerpaný vzduch, a dosahovat rychlosti kolem $500\, \jd{km.h^{-1}}$. Tunel však nelze dokonale utěsnit. Předpokládejme, že chceme udržet tlak na hodnotě $0,05 p_{a}$, ale bez neustálého odčerpávání by za 1 den vzrostl na $0,5 p_{a}$. Spočtěte výkon, jaký je nutný na odčerpávání vzduchu ze $100 \jd{km}$ tohoto tunelu, je-li jeho průměr $5 \jd{m}$, účinnost odčerpávání oproti ideálně pracujícímu stroji $10\%$ a teplota $6 ^{\circ}C$. S čím lze takový výkon porovnat?

Zadal Honza Houštěk na základě informací, jež ho zaujaly.

5. Série 14. Ročníku - P. upíři

Fyzikálně zdůvodněte, proč není upír vidět v zrcadle, a taktéž navrhněte vynálezy, které by této skutečnosti mohly využít.

Návrh Lenky Zdeborové podle časopisu Školská fyzika.

5. Série 14. Ročníku - S. kolotoč

 

  • Mojmír a Anežka sedí přesně proti sobě na točícím se kolotoči. Ještě je sníh a tak si Mojmír připravil sněhovou kouli a na kolotoči ji chce hodit po Anežce. Poraďte mu, jakou rychlostí a jakým směrem (vzhledem ke kolotoči) má kouli hodit, aby Anežku zasáhl. Údaje jsou: vzdálenost obou od osy $R=3\;\jd{m}$, úhlová rychlost kolotoče $\omega =10 \jd{rad. s^{-1}}$.

Poznámka: Úlohu řešte v inerciální soustavě a předpokládejte, že Mojmír je schopný vrhnout kouli dostatečně rychle ve vodorovném směru. Lze tedy předpokládat pohyb koule po vodorovné přímce. Úloha nemá samozřejmě jednoznačné řešení, pokuste se najít nějaké reálné (odhadněte, jakou asi rychlostí se hází sněhové koule).

  • Načrtněte, narýsujte, odhadněte, vypočtěte, nasimulujte nebo nějak jinak zjistěte, jak bude v případě vašeho řešení části a) vypadat trajektorie koule v soustavě spojené s kolotočem a v nějakém bodě načrtněte zdánlivé síly, které na kouli působí.
  • Rozhodněte, která z následujících tvrzení jsou nepravdivá, a proč?
    • Z pohledu inerciální soustavy působí na rotující hmotný bod odstředivá síla, která vyrovnává dostředivou sílu, a proto se hmotný bod pohybuje rovnoměrně.
    • Odstředivá síla je reakcí na dostředivou sílu, neboť má stejnou velikost a opačný směr.
    • Když v inerciálním systému náhle přestane na rovnoměrně rotující těleso působit dostředivá síla, bude těleso pokračovat v pohybu po tečné přímce. Z pohledu neinerciálního systému se bude v důsledku působení odstředivé síly pohybovat po radiální přímce.

Zadali autoři seriálu Honza Houštěk a Lenka Zdeborová.

4. Série 14. Ročníku - 4. zvířátko

Představte si zvířátko, jehož charakteristický rozměr je $L$. Odhadněte, jak na $L$ závisí vzdálenost, kterou je schopné urazit po poušti. A jak závisí na $L$ jeho rychlost běhu po rovině a do kopce? Určete také, jak závisí na velikosti zvířátka výška jeho výskoku.

Nápověda: Uvažte, že $s=vt$. Dále např. uveďme, jak závisí hmotnost zvířátka na $L$: Víme, že $m=\rho V$, kde $\rho$ uvažujme konstantní a $V$ je úměrné $L^{3}$, tedy $m\sim \rho L^{3}\sim L^{3}$, hmotnost zvířátka tedy závisí přímo úměrně na $L^{3}$.

Úlohu vypátral Jan Prokleška.

2. Série 14. Ročníku - 3. šroubovice

Mějme nekonečný drát stočený do pravotočivé šroubovice (helixu). Drát je rovnoměrně nabitý a osa helixu je totožná s osou $z$. Do vzniklého pole pošleme nabitou částici (drát je tenký, takže do něj částice nenarazí). V jistém časovém okamžiku známe její $p_{z}$ a $L_{z}$, tedy $z$ové komponenty hybnosti a momentu hybnosti. Můžeme v jiném okamžiku určit $p_{z}$, známe-li v tomto okamžiku $L_{z}?$

(Problém lze vyřešit zcela exaktně. Naproti tomu není určitě nezajímavé zkusit situaci počítačově simulovat a dostat tak hledanou závislost v podstatě experimentálně, v případě ověřit teoretickou předpověď.)

Navrhl Ruda Sýkora.

2. Série 14. Ročníku - P. problémovka z vody

O prázdninách byli někteří organizatoři FYKOSu sjíždět Vltavu a při této příležitosti je napadlo několik problémků, se kterými by od vás potřebovali poradit.

  • Za jak dlouho doteče voda z Českého Krumlova do Prahy?
  • Na jakou stranu alumatky (hliníkové karimatky, která má z jedné strany hliníkovou fólii a z druhé izolační pěnu) je výhodné si lehnout?
  • Jak se v makarónech dělají díry?

Autor Lenka Zdeborová, inspirace: jak jinak než prázdninová Vltava.

2. Série 14. Ročníku - S. kmity

 

  • Určete periodu kmitů soustavy na obr. 3 Tyčka je nehmotná.
  • Mějme dvě stejná závažíčka hmotnosti $m$ spojené vláknem, které prochází dírou ve stolu (viz obr. 4). Závažíčko na stole obíhá bez tření kolem díry ve vzdálenosti $r$ od ní tak, že soustava je v rovnováze. Zjistěte, co se bude

dít, zataháme-li nepatrně za visící závaží.

  • Co má společného kiwi s kyvy?

Zadal autor seriálu Pavel Augustinský.

1. Série 14. Ročníku - E. natahování špaget

Určete Youngův modul pružnosti v tahu uvařených špaget.

Bláznivý nápad Honzy Houšťka.

6. Série 13. Ročníku - 3. kolik máme kyslíku?

Zkuste spočítat (či spíše kvalifikovaně odhadnout), na jak dlouho by lidstvu stačil kyslík nacházející se v současné atmosféře, kdyby najednou přestala fungovat fotosyntéza a rostliny by jej tedy nedoplňovaly. Potřebné údaje se pokuste zjistit v literatuře, nebo je vhodně aproximujte.

6. Série 13. Ročníku - E. povrchové napětí vody

Změřte závislost povrchového napětí vody na teplotě. Metodu měření si můžete vybrat sami.

6. Série 13. Ročníku - P. věříte fyzice?

Zkuste se zamyslet a napsat úvahu na téma: O platnosti kterých fyzikálních zákonů, pouček a teorií jsem přesvědčen z vlastní zkušenosti a každému bych byl schopen jejich platnost dokázat, a kterým prostě věřím například proto, že mi o nich říkali ve škole.

6. Série 13. Ročníku - S. nelinearita třetího řádu

Nelinearita třetího řádu ve formě změny indexu lomu optickým polem má význam pokud je součin intenzity světla $I_{min}$ a nelineárního koeficientu $n_{2}$ řádově větší než $0,005$. Určete, jak by musel být velký výstupní výkon kontinuálně pracujícího laseru k překročení uvedené meze pro $n_{2}=5\cdot 10^{-14}\;\mathrm{cm}^{2}/\,\jd{GW}$ při fokusaci svazku na průměr $50 \,\jd{µm}$. Srovnejte vypočtený výkon s výkonem žárovek, zářivek, Slunce, Měsíce a dalších podobných klasických zdrojů záření.

5. Série 13. Ročníku - P. zamrzání rybníku

Odhadněte, za jak dlouho naroste led na rybníce z deseti centimetrů na dvacet. Teplota vzduchu je stále pět stupňů pod bodem mrazu. Potřebné konstanty naleznete v tabulkách.

4. Série 13. Ročníku - E. dráteček

Někde v této brožurce najdete připevněn kousek drátečku (pokud jej tam nemáte a rozhodli jste se tuto úlohu měřit, tak nás prosím kontaktujte). Vaším úkolem je zjistit, z jakého kovu je vyroben. Vzorek nesmíte nijak poničit (roztavit, naleptat kyselinou, trvale zdeformovat atd.). Můžete změřit například tepelnou kapacitu, hustotu, tepelnou vodivost a roztažnost, délku, měrný odpor, průměr a hmotnost atomového jádra, elektrochemický potenciál, odrazivost, mřížkovou konstantu, relativní či absolutní permitivitu a permeabilitu, kapacitu, indukčnost, poločas rozpadu, absorpční a emisní spektrum… Fantazii se meze nekladou.

4. Série 13. Ročníku - P. jablko nepadá daleko od baobabu

Představme si baobab, který roste na rovníku, na jeho nejvyšší větvi ve výšce $h$ je baobabí jablko. Jablko se rozhodne, že spadne. Spočtěte, jak daleko od kmene dopadne.

Řešení jedna: Dívá-li se na situaci pozorovatel z inerciální soustavy nespojené s povrchem Země, vidí, že ve výšce $h$ letí jablko rychlostí $ω(R_{z}+h)$ ve směru rovnoběžně s povrchem ($ω$ je úhlová rychlost rotace Země). Povrch se pohybuje v témže směru rychlostí $ωR_{z}$. Rozdíl je tedy $ωh$. Jablko letí dobu $t=(2h⁄g)^{1⁄2}$ a dopadne tedy ve vzdálenosti $s=ωh(2h⁄g)^{1⁄2}$ od kmene.

Řešení dva: Díváme-li se na situaci ze soustavy spojené s povrchem Země, zdají se nám nehybné předměty, které ve výšce $x$ letí rychlostí $ω(R_{z}+x)$. Jablko letí stále $ω(R_{z}+h)$ a tedy vzhledem k pozorovateli na Zemi rychlostí $ω(h-x)$. Pro $x$ platí $x=h-gt^{2}⁄2$ a tedy $v=ωgt^{2}⁄2$. Po zintegrování (kdo neví, co to je, nechť přijme, že plocha pod grafem funkce $y=x^{2}$ je $x^{3}⁄3)$ vyjde $s=(ωh⁄3)(2h⁄g)^{1⁄2}$.

Na vás je, abyste rozhodli, který z výsledků je správně, a opravili chybný postup.

3. Série 13. Ročníku - E. hustota

Sežeňte si stopky, dostatečné množství lihu (denaturovaného) a neokalibrovaný hustoměr (či dřevěnou tyčku zatíženou závažíčkem), u kterého si můžete zjistit rozměry a hmotnost. Navrhněte vhodnou metodu, ve které použijete zmíněné pomůcky, a změřte hustotu lihu.

2. Série 13. Ročníku - E. sloupec cukru

Jistě víte, že když ponořujete kostkový cukr do čaje, voda do kostky vzlíná. Je na vás, abyste vymysleli vhodnou aparaturu a proměřili do jaké výšky kapalina vystoupí, máte-li hodně vysoký sloupec kostek cukru (pokud budete mít chuť, tak třeba i závislost výšky na čase). Navrhněte nějaký fyzikální model. Ve vodě se ale cukr rozpouští, takže se záhy rozpadne. Použijte tedy raději benzín, líh či jinou kapalinu, ve které se cukr nerozpouští.

2. Série 13. Ročníku - P. takové malé zatmění

Vezmeme-li astronomické ročenky za posledních $100$ let, zjistíme, že slunečních zatmění je přibližně $1,5$krát více než zatmění měsíčních. Zkuste přijít na to, proč je tomu tak.

2. Série 13. Ročníku - S. vodivost polovodičů

Kolik elektronů je ve vodivostním pásu ($E ≥ 0$) nepříměsového polovodiče se šířkou zakázaného pásu $0,6 \,\jd{eV}$? V příkladu byla ilustrována závislost vodivosti polovodiče s donorovou příměsí na teplotě. Jak se bude chovat polovodič s akceptorovou příměsí? Je-li v čase $t=0$ excitováno $n_{e}(0)$ elektronů do vodivostního pásu, bude jejich počet klesat exponenciálně, konkrétně bude platit $n_{e}(t)=n_{e}(0)$ exp(−$t/τ_{e})$. Když budeme excitovat od okamžiku $t=0$ za jednotku času $c_{e}$ elektronů, tvrdili jsme, že se počet elektronů ve vodivostním pásu změní o hodnotu $c_{e}$ $τ _{e}$ (viz vztah 1 v seriálu). Na vás je, abyste tento vztah dokázali.

4. Série 12. Ročníku - E. pružnost a pevnost

Sežeňte si tenké gumičky a

  • změřte závislost protažení gumičky na působící síle a sestrojte graf naměřené závislosti,
  • změřte také sílu, při které gumička praskne,
  • zatižte gumičku co nejvíce (ale tak, aby se nepřetrhla) a po sundání zátěže proveďte znovu měření a).

5. Série 11. Ročníku - E. pevnost nitě

Změřte mez pevnosti nitě v tahu. S řešením nám pošlete $1\,\jd{ m}$ dlouhý vzorek vaší nitě.

1. Série 10. Ročníku - 4. překvapení po procitnutí

Představte si, že jdete večer klidně spát a do rána se veškeré vzdálenosti a rozměry všech přemetů zvetší desetkrát, přičemž jejich hmotnost se nezmění. Zanechá tato událost nějaké stopy na vaší existenci? A pokud ano, tak jaké?

1. Série 9. Ročníku - E. mohyla z písku

figure

Sypeme-li prášek (suchý písek, mouku a podobně) volně na jedno místo, vznikne kužel s vrcholovým úhlem (viz obr. 4). Pokuste se změřit tento úhel pro různé látky. Umíte výsledky měření nějak odůvodnit?

6. Série 8. Ročníku - S. hledání kořenů polynomu

Napište (a zašlete) program, který určí všechny kořeny polynomu. S jeho pomocí nalezněte čtyři řešení rovnice $x^{4}+2x^{3}+5x^{2}–4x+3=0$.

5. Série 8. Ročníku - S. obyčejná

Sestavte program pro iterační metodu a zvolte vhodnou konstantu $k$ pro fci $g$, abyste dostali vhodný interval okolo 1 splňující kontraktivnost. Ověřte lineární konvergenci a zkuste zjistit míru zrychlení při užití Aitkinova procesu.

4. Série 8. Ročníku - S. tečná metoda

Vezměte poslední popisovanou metodu tečen neboli Newtonovu, která určuje následující bod podle vzorce $c=b-\frac{\textrm{funkce}(b)}{\textrm{derivace}(b)}$ – pro ty neznalé derivování uvádíme pro náš případ

$$\textrm{derivace}(t)=-gt+v-\frac{2pA}{T}\sin\left(\frac{2pt}{T}\right)$$

Řešte touto metodou zadanou úlohu a ověřte rychlost konvergence jak pro přesný odhad počátečního intervalu $(0,88;\; 1,02)$, tak pro hrubý odhad $(0;\; 10)$.

Zjistěte, jak závisí přesnost dosaženého výsledku na počtu kroků u všech popsaných metod (bisekce, regula falsi, metoda sečen a tečen), tedy ověřte, zda je zpřesňování lineární, kvadratické, či jiné. Je tato vlastnost ovlivněna volbou počátečního intervalu?

5. Série 7. Ročníku - 2. petrolejka

Možná ještě někde doma (nejspíše na půdě) najdete starou petrolejovou lampu se skleněným cylindrem. Pokud se budete muset delší dobu obejít bez elektrického proudu, přijde docela vhod. Potom si možná všimnete zajímavého jevu: uzavřete-li horní ústí cylindru (raději něčím jiným než rukou), plamen se nesníží, ale proti očekávání vzroste a změní se jeho odstín. Jak tento efekt vysvětlíte?

5. Série 2. Ročníku - 4. lokomotivy

figure

Lokomotivy

Lokomotivy určené pro nákladní vlaky jsou jiné než ty, které vozí vlaky s cestujícími. „Nákladní lokomotivy“ jsou přizpůsobeny pro pomalejší jízdu, ale větší nádklady a u „lokomotiv pro cestující“ je tomu naopak. Rozhodněte, která lokomotiva na obrázku je určena pro nákladní vlaky a která pro vlaky s cestujícími.

5. Série 2. Ročníku - S. Lorentzovy transformace

V posledním seriálovém příkladu se dotkneme transformací snad nejpopulárnějších – Lorentzových transformací. Na přelomu 19. a 20. století bylo přesnými pokusy změřeno, že světlo se pohybuje stejnou rychlostí vůči všem inerciálním soustavám. To zásadně odporuje běžné představě o prostoru a času – odporuje to prosté zkušenosti, že rychlosti se sčítají. Tento problém vyřešil r. 1905 A. Einstein ve svojí speciální teorii relativity. Tato teorie není založena na naší každodenní zkušenosti s malými rychlostmi, a proto se nesmíme zaleknout některých jejích zdánlivě zvláštních důsledků v oblastech, na které nejsme zvyklí. Změna představ na prostor a čas se hlavně odrazila v nahrazení Galileových transformačních vztahů mezi dvěma inerciálními soustavami pohybujícími se vzájemnou rychlostí $v$ ve směru osy $x$, které v čase nula splývají, $x′=x-vt$, $y′=y$, $z′=z$, $t′=t$, se vztahy Lorentzovými. Vaším úkolem bude nyní odvodit je. Využijeme k tomu zkušenosti z pomoci Severním království. Jak bylo v komentáři k seriálovému příkladu 3. série poznamenáno, transformační vztahy mezi $x$, $y$ a $x′$, $y′$ (viz komentář ke zmíněném příkladu) jsou jedinými, které zachovávají vzdálenost, tj. $Δx+(kΔy)=Δx′+(kΔy′)$. Využijeme něčeho podobného. Lze odvodit (provedeme v komentáři), že v našem případě dávají výrazy

$$Δx-(cΔt),Δx′+(cΔt′)\; (1)$$

stejné výsledky. Musíme tedy hledat takové transformace, které převádějí výrazy (1) jeden na druhý. Ve shodě s panem Einsteinem dále předpokládejme, že vztahy mezi souřadnicemi soustav $S$ a $S′$ ($S′$ se pohybuje rychlostí $v$ ve směru $x$ vůči $S$) jsou

$$x′=ax+bt,\; y′=y,\; z′=z,\; t′=cx+dt, \; a,\;b,\;c,\;d∈\textbf{R}\; (2)$$

a pro souřadnice počátku soustavy $S′$ platí $x_{p}/t_{p}=v,\; x_{p}′=0,\; y_{p}′=0,\; z_{p}′=0$. Najděte tedy transformace typu (2), které splňují (1). Uveďte postup!

4. Série 2. Ročníku - S. polární souřadnice

figure

Polární souřadnice

  • Polární souřadnice bodu A v rovině je dvojice čísel $r$, $φ$, udávající vzdálenost bodu $A$ od počátku a úhel polopřímky $PA$ a osy $x$ (obr. 4). Odvoďte transformační vztahy od polárních souřadnic $r$, $φ$ ke kartézským souřadnicím $x$, $y$.
  • U polárních souřadnic hraje roli souřadných os přímky procházející počátkem a kružnice se středem v počátku (obr. 5) - na těchto křivkách je vždy jedna souřadnice konstantní. Vektory báze se nyní volí v každém bodě tečné k souřadnicovým osám v tomto bodě a délky $|\textbf{e}_{r}|=1$, $|\textbf{e}_{φ}|=r$ (obr. 6). V tomto případě nejsou již vektory báze v různých bodech rovnoběžné, jak tomu bylo v případě kartézských souřadnic. Odvoďte transformační vztahy od souřadnic $b_{r}$, $b_{φ}$ k $b_{x}$, $b_{y}$ vektoru $\textbf{b}$ vedoucího z bodu $A$. Souřadnice $b_{r}$, $b_{φ}$ jsou počítané vůči bázi $\textbf{e}_{r}$, $\textbf{e}_{φ}$ v bodě $A$ (polární souřadnice), $b_{x}$, $b_{y}$ jsou počítané vůči bázi $\textbf{e}_{x}$, $\textbf{e}_{y}$ (kartézské souřadnice) a bod $A$ má polární souřadnice $r$, $φ$ (viz obr. 7).

2. Série 2. Ročníku - S. vektory

figure

Dvě soustavy

figure

Obecné soustavy

  • Mějme zadané dvě soustavy souřadnic pomocí vektorů $\textbf{e}_{x}$, $\textbf{e}_{y}$ a $\textbf{e}_{x}′$, $\textbf{e}_{y}′$ a společného počátku $P$. Vzájemnou polohu soustav máme zadanou pomocí souřadnic $a_{xx}$, $a_{xy}$, $a_{yx}$, $a_{yy}$ vektorů $\textbf{e}_{x}′$, $\textbf{e}_{y}′$ vůči bázi $\textbf{e}_{x}$, $\textbf{e}_{y}$. $\textbf{e}_{x}′=a_{xx} \textbf{e}_{x}+a_{xy} \textbf{e}_{y}$, $\textbf{e}_{y}′=a_{yx}\textbf{e}_{x}+a_{yy}\textbf{e}_{y}$. Odvoďte transformační vztahy mezi souřadnicemi $x$, $y$ a $x′$, $y′$ v závislosti na koeficientech $a_{xx}$, $a_{xy}$, $a_{yx}$, $a_{yy}$ (tj. předpis, jak z $x$ a $y$ vypočítat $x′$ a $y′$ a naopak).
  • Jelikož obě soustavy mohly být obecné (nepravoúhlé, bez stejných jednotek), bylo potřeba k zadání vzájemného vztahu soustav udat čtyři koeficienty $a_{xx}$, $a_{xy}$, $a_{yx}$, $a_{yy}$. Pokud budou obě soustavy kartézské (pravoúhlé s jednotkovým měřítkem), tak musí být délky vektorů $\textbf{e}_{x}$, $\textbf{e}_{y}$ resp. $\textbf{e}_{x}′$, $\textbf{e}_{y}′$ jednotkové a vektory musí být na sebe kolmé. K udání vzájemné polohy pak stačí zadat vzájemný úhel $φ$. Jak souvisí v tomto případě koeficienty $a_{xx}$, $a_{xy}$, $a_{yx}$, $a_{yy}$ s úhlem $φ$?

3. Série 1. Ročníku - 2. planeta liliputánů

Představte si, že do rána se všechny vzdálenosti a rozměry předmětů zvětší desetkrát, přičemž jejich hmotnost se nezmění. Jaké by byly důsledky?

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner

Partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz