Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze všech úloh FYKOSu za posledních 32 let jeho existence.

astrofyzika (60)biofyzika (15)chemie (16)elektrické pole (54)elektrický proud (56)gravitační pole (56)hydromechanika (103)jaderná fyzika (31)kmitání (35)kvantová fyzika (21)magnetické pole (27)matematika (73)mechanika hmotného bodu (192)mechanika plynů (75)mechanika tuhého tělesa (165)molekulová fyzika (45)geometrická optika (62)vlnová optika (42)ostatní (125)relativistická fyzika (31)statistická fyzika (21)termodynamika (106)vlnění (38)

(3 body)4. Série 31. Ročníku - 2. autisti

Kolik nejméně dětí by muselo roztočit svůj fidget spinner, aby se tak den na Zemi prodloužil o $1 \mathrm{ms}$? Všechny neznámé veličiny odhadněte.

Matěj chtěl mít víc času na „točení“.

(12 bodů)4. Série 31. Ročníku - E. tíha struny

Změřte délkovou hustotu struny, která vám měla přijít poštou společně se zadáním. Strunu ale nesmíte vážit.

Nápověda: Zkuste strunu rozkmitat.

Mišo přemýšlel o strunách na ÚTF.

(7 bodů)3. Série 31. Ročníku - 4. upuštěná propiska

Propisku (tuhou tyč) upustíme na stůl tak, že během svého letu svírá úhel $\alpha $ s vodorovnou rovinou. Jakou rychlostí dopadne její druhý konec (ten, co se stolu dotkne jako druhý), jestliže jsme těžiště upustili z výšky $h$? Všechny srážky jsou nepružné a tření mezi stolem a koncem propisky dostatečně velké.

Bonus: Spočítejte, jaký musíme zvolit úhel $\alpha$, aby druhý konec dopadl s co nejvyšší rychlostí. Pro jaké výšky se vyplatí propisku naklonit?

Matěj se nudil.

(6 bodů)1. Série 31. Ročníku - 3. oběšený úhelník

Máme homogenní úhelník ve tvaru L o stranách délek $b,c$. Je volně zavěšen v železničním vagóně za konec jedné strany tak, že jeho vrchol míří ve směru jízdy vagonu. S jakým zrychlením $a$ se musí vagon pohybovat, aby spodní strana úhelníku byla rovnoběžná se směrem jízdy? Relativistické jevy neuvažujte.

Bonus: Relativistické jevy uvažujte.

Autor je neznámý, asi se oběsil.

(12 bodů)1. Série 31. Ročníku - E. pružnost špejle

figure

Změřte průhyb špejle položené na jejích koncích v závislosti na síle působící na jejím středu (viz obrázek).

Mišo se koukal na jeřáb.

(8 bodů)0. Série 31. Ročníku - 5. Elza cestuje, aneb Mišova pomsta

Elza ráda cestuje vlakem. Při tom si všimla, že ihned po zastavení vlak mírně cukne dozadu. Elza nemá tušení, proč tomu tak je, pomozte jí to tedy objasnit. Uvažujte vlak s lokomotivou (hmotnost $m_r = \mathrm{82 t}$) a čtrnácti vagóny (hmotnost každého z nich je $m_v = \mathrm{48 t}$). Lokomotiva má brzdící váhu $p_r = \mathrm{113 t}$ a každý z vagónů má $p_v = \mathrm{99 t}$.$^1$ Dále uvažujme, že po zabrzdění se brzdící impulz šíří s konstantní rychlostí od lokomotivy na konec vlaku, přičemž poslední vagón začne brzdit za čas $\Delta t = \mathrm{12 s}$ po mašině.

Pro úplnost uvažujme, že spřáhla vozů jsou z části volná a umožňují pohyb. Sílu, kterou působí, můžeme v závislosti na výchylce $x$ popsat jako $x < 0 \Rightarrow F = -x k  ,$

$x = 0 \Rightarrow F = 0  ,$

$x > 0 \Rightarrow F = A \mathrm{sgn} \(x - x_v\)  ,$

kde kladný směr je tehdy, pokud se vozy od sebe vzdalují. Dále $k$ je tuhost nárazníku, $x_v$ je nezáporná konstanta a $A$ je tuhost spřáhla, přičemž $A \gg k$.

  1. Analyticky vyšetřete průběh brzdění vlaku.
  2. Najděte vlastní frekvenci kmitů pro $n$-tý vagón.
  3. Najděte parametry $k$, $A$ a $x_v$ tak, aby kmitání vozů bylo vzhledem k brzdění kriticky tlumené.
  4. Splňuje tento model to, co Elza pozorovala? Udělejte Elze radost a najděte lepší model chování vlaku.
  5. Numericky řešte tento nový model.

Bonus: Řešte případ, ve kterém bude jeden z vozů vypojený, tedy nebude brzdit.

1.) Brzdící váha označuje poměrnou schopnost vozidla brzdit. Je to absolutní jednotka a můžeme jí lineárně přeškálovat na brzdící sílu.

(7 bodů)6. Série 30. Ročníku - 4. zastřel si svého potkana

Mirek by rád zastřelil potkana, kterého vídá na kolejích. Připravil si tedy jednoduchou vzduchovou pušku, kterou si můžeme modelovat jako trubku s konstantním průřezem $S=15\;\mathrm{mm}$ a délkou $l=30\;\mathrm{cm}$, která je na jedné straně uzavřená a na druhé otevřená. Do ní se chystá Mirek umístit náboj hmotnosti $m=2\;\mathrm{g}$, který trubku akorát utěsní, a to ve vzdálenosti $d=3\;\mathrm{cm}$ od uzavřeného konce. Náboj zde zatím nechá upevněný v klidu a natlakuje uzavřenou část trubky na určitý tlak $p_{0}$. Posléze náboj uvolní. Chce aby na konci ústí byla minimálně rychlost náboje $v=90\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$. Poraďte mu, na jaký tlak by musel vzduchovou pušku natlakovat, aby náboj vyšel s takovou rychlostí, pokud by plyn byl ideální, a diskutujte realističnost uspořádání. Předpokládejte, že náboj je uvolňován kvazistatickým adiabatickým dějem, kde $κ=7/5$, protože se jedná o dvouatomový plyn. Uvažujte, že z vnějšku působí na náboj atmosférický tlak $p_{a}=10^{5}\;\mathrm{Pa}$. Zanedbejte energetické ztráty vyvolané třením, odporem vzduchu a stlačováním plynu před nábojem.

Karel chtěl zjistit, jestli by řešitelé zvládli přijímací řízení na magisterské studium na Matfyz.

(8 bodů)6. Série 30. Ročníku - 5. přetáhni ho přes prsty

Máme homogenní tyč konstantního průřezu délky $l$ připevněnou na jednom konci k otočnému kloubu. Na počátku směřuje tyč přímo vzhůru a jsme v homogenním tíhovém poli se zrychlením o velikosti $g$. Tyč se vlivem mírného závanu větru začne otáčet a „padat“ dolů, ale stále je držena otočným kloubem. S jakým zrychlením se bude pohybovat konec tyče v průběhu času?

Karel se hrabal ve svých starých námětech co nepřepsal a už si ani nepamatoval, jak je to staré…

(6 bodů)5. Série 30. Ročníku - 3. něk šíl přes cen srá

Představte si situaci, kdy máme 3 stejné nerotující disky, které se pohybují přesně v jedné přímce v pořadí 1, 2, 3. Všechny tři se pohybují bez tření a dalších odporových sil po vodorovné podložce, přičemž disky 1 a 2 jedou doprava a proti nim jede disk 3 doleva. Platí, že rychlost 1 je větší než 2. Jak závisí výsledné rychlosti disků po proběhnutí všech srážek na pořadí srážek? A jaké tyto rychlosti budou? Srážky probíhají pružně. (Jako vždy nezapomeňte, že odpověď je potřeba řádně zdůvodnit.)

Bonus: Disky mají různou hmotnost.

(8 bodů)4. Série 30. Ročníku - 3. dvojkužel

figure

Mějme dřevěnou konstrukci, která má půdorys rovnoramenného trojúhelníku a výška jejích dvou ramen roste směrem k základně s úhlem $α=2°$. Do vrcholu naproti základně $c=35\;\mathrm{cm}$, u nějž má trojúhelník úhel $β=70°$, umístíme dvojkužel s vrcholovým úhlem $φ=40°$ a výškou $2h=40\;\mathrm{cm}$. Kužel se samovolně začne valit „do kopce“, tedy ve směru růstu hran trojúhelníku.

  • Vysvětlete, proč se dvojkužel může kutálet do kopce.
  • Jak závisí poloha těžiště kuželu na uražené vzdálenosti?
  • Jaká je rychlost kužele těsně před nárazem na základnu?
  • Kolik otáček kužel vykoná během své cesty?

Na počátku je kužel umístěn horizontálně na konstrukci tak, že jeho těžiště se nachází přesně nad vrcholem trojúhelníku proti základně.

Kuželosečky v lingebře Mirkovi připomněly tento hezký základoškolský pokus.

(7 bodů)3. Série 30. Ročníku - 5. kladkovaná

figure

Mějme rozestavení kladek jako na obrázku. Známe hmotnosti $m_{i}$, poloměry $R_{i}$ a momenty setrvačnosti $J_{i}$ všech kladek, hmotnost $m$ závaží a hmotnost $M$, poloměr $R$ i moment setrvačnosti $J$ válce. Zanedbejte tíhu kladky $2$, abyste mohli uvažovat, že lana vedoucí ke kladce $2$ jsou rovnoběžná s nakloněnou rovinou. Součinitel smykového i klidového tření mezi válcem a podložkou je $f$. Lano na kladkách neprokluzuje. Vypočtěte s jakým zrychlením (popř. i úhlovým zrychlením) se bude pohybovat závaží $m$ a válec $M$.

Kubovi přišlo cvičení zbytečně jednoduché.

(12 bodů)3. Série 30. Ročníku - E. reflexní náramek

Změřte co nejvíce charakteristik samonavíjecího reflexního náramku. Zajímá nás především:

  • Náramek je vyztužen kusem plechu, který může být ohnut podélně (svinutý náramek) nebo příčně (narovnaný náramek). Jaký poloměr křivosti mají tyto ohyby, pokud na plech nepůsobí vnější síla?
  • Pokud náramek narovnáme a budeme ohýbat v jednom místě, při jakém úhlu přejde do ohnutého stavu? Při jakém úhlu se opět narovná? (Pozorujeme hysterezi?)
  • Jaký moment síly je potřebný k ohnutí náramku?
  • Je některý ze stavů náramku (svinutý nebo narovnaný) energeticky výhodnější? Odhadněte o kolik.

Erikovi se ne a ne ohnout.

(6 bodů)2. Série 30. Ročníku - 3. looping

figure

Mějme nakloněnou rovinu pod úhlem $α$, na kterou hladce navazuje kruhová smyčka o poloměru $R$. Do jaké minimální výšky $h$ musíme na nakloněnou rovinu položit kouli o poloměru $r$ (srovnatelném s $R$), aby smyčkou projela tak, že s ní bude po celou dobu v kontaktu? Předpokládejte, že koule neprokluzuje.

Kuba přemýšlel nad klasickou úlohou.

(6 bodů)2. Série 30. Ročníku - 4. kulička

Představte si pohyb homogenní kuličky, který nejprve začíná pouze posunem (bez jakéhokoliv pohybu valením) a postupně přejde do naopak naprostého valení (bez prokluzování). Za jaký čas toto nastane? Kulička může mít různý poloměr, hmotnost, počáteční rychlost a třecí koeficient.

Lada dělala kotrmelce u zamyslela se u toho.

(3 body)5. Série 29. Ročníku - 3. egyptská brána

figure

Ve starověkém Egyptu uměli vyrobit bránu, ale ještě neznali mříže, tak brány zavírali nilany (vápencovými kameny). Na obrázku vidíte $150$ otroků o hmotnosti $m=60\;\mathrm{kg}$, kteří právě velmi pomalu otevírají bránu zavřenou nilanem o hmotnosti $M=8\;\mathrm{t}$. Nilan přesně (vzduchotěsně) pasuje do konstrukce nad bránou ve tvaru kvádru, která má vnitřní rozměry $a=3\;\mathrm{m}$, $b=0,\! 5\;\mathrm{m}$ a $c=3\;\mathrm{m}$. Uvnitř konstrukce je na počátku tlak $p_{0}=100\; \mathrm{kPa}$ a teplota $T_{0}=300\; \mathrm{K}$ a je umístěna ve výšce $H=3\;\mathrm{m}$. Určete, jak vysoko jsou otroci schopni vlastní vahou nilan zdvihnout, jestliže se teplota vzduchu nemění.

Mirek rád předává otrockou práci jiným.

(5 bodů)5. Série 29. Ročníku - 5. Rolling Stones

Na nakloněné rovině stojí koule s nehomogenním rozložením hustoty. Známe úhel sklonu nakloněné roviny $α$, poloměr koule $R$ a vzdálenost $t$ těžiště koule od jejího středu. Pokud si označíme střed koule $S$, bod dotyku koule s rovinou $D$ a těžiště koule $T$, pak definujeme úhel $φ_{0}=∠DST$ jako úhel před začátkem pohybu. Těžiště se navíc nachází v rovině určené úsečkou $DS$ (normálou k rovině) a směrem z kopce dolů. V závislosti na těchto parametrech podrobně rozeberte, jak se bude dál vyvíjet pohybový stav koule. Koule na rovině neprokluzuje.

Tohle si chtěl Kuba spočítat už od mala.

(5 bodů)4. Série 29. Ročníku - 5. skluzavka

Na vodorovné ploše jsou rovnoběžně položeny dva stejné kvádry o hmotnosti $m$ a délce $l$. Vzdálenost bližších stěn těchto kvádrů je $2x_{0}$. Mezi kvádry začneme lít vodu objemovým tokem $Q$. Na krajích těchto kvádrů jsou mantinely zabraňující odtékání vody z prostoru mezi kvádry. Statický koeficient tření mezi kvádrem a podložkou je $f_{0}$ a dynamický $f$. Tření mezi kvádry a mantinely neuvažujte. Jaká je podmínka na $f_{0}$, aby se kvádry vůbec nerozpohybovaly? V případě, kdy je $f_{0}$ dostatečně malé, vypočítejte závislost zrychlení kvádrů na jejich poloze a vzdálenost, ve které kvádry zastaví. Veškerý pohyb vody považujte za dostatečně pomalý, takže v ní nevznikají žádné vlny ani víry, nezahřívá se třením, ani sama nemá žádnou kinetickou energii. Protože je tedy i $Q$ malé, můžete uvažovat, že přilévání další vody po rozpohybování kvádrů nemá na jejich pohyb vliv.

Bonus: Najděte podmínku pro překlopení kvádru.

Kubovi se zdálo o plavání v divném bazénu.

(5 bodů)3. Série 29. Ročníku - 5. sešit dezertér

Na lavici se sklonem $α=5\dg$ leží sešit formátu A4 o hmotnosti $m$, mezi lavicí a sešitem působí statická třecí síla s koeficientem $f_{0}=0,\! 52$. Poté kdosi do lavice strčí a ta začne kmitat ve směru sklonu desky s frekvencí $ν=10\;\mathrm{Hz}$ a amplitudou $A=1\;\mathrm{mm}$.

  • Určete, jakou dodatečnou silou musíme na sešit tlačit (kolmo na lavici), aby se sešit nezačal pohybovat.
  • Určete, za jak dlouho sešit spadne z lavice, jestliže je na počátku jeho spodní hrana (ta kratší) na dolním okraji lavice. Dynamický koeficient tření je $f$, sešit považujte za tuhou desku.

Mirkovy sešity se snaží prchnout z přednášek v F1.

(4 body)6. Série 28. Ročníku - 3. pracovní pohovor

Jedna z pracoven lorda Vetinariho má kruhový půdorys o poloměru $R$ a je umístěna na ložiscích, díky nimž se může otáčet kolem své osy. Pro zajištění otáčení se používá motor, který může působit libovolným momentem síly. Při otáčení působí na podlahu místnosti třecí moment $M_{0}$, nezávislý na rychlosti, který je shodný se statickým třecím momentem. Židle pro návštěvy je umístěna tak, že člověk na ní sedící pocítí účinky rotace pouze tehdy, přesáhne-li úhlové zrychlení hodnotu $ε_{0}$. Určete, za jakou nejkratší dobu se může místnost otočit o 180°, aby návštěva nic nepoznala, a jaká práce je k tomuto otočení potřeba. Celková hmotnost místnosti, kterou můžete považovat za homogenní disk, je $m$.

Bonus: Předpokládejte, že návštěvník pocítí vliv rotace tehdy, přesáhne-li úhlový ryv (změna zrychlení) hodnotu $j_{0}$.

Mirek si už zase spletl dveře od pokoje.

(6 bodů)4. Série 28. Ročníku - S. Ljapunovská

 

  • Uvažujte propisku o délce 10 cm s těžištěm přesně v půlce a $g=9.81\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$. Nyní si představte, že jste propisku postavili na stůl s nulovou výchylkou $δx$ s přesností na $n$ desetinných míst a s nulovou rychlostí. Za jak dlouho po postavení propisky si budete moct být jisti pouze s $n-1$ desetinnými místy nulovostí výchylky?
  • Uvažujte model počasí s největším Ljapunovovým exponentem $λ=1.16\cdot 10^{-5}\,s^{-1}$. Předpověď počasí přestává být použitelná, pokud je její chyba více než 20 %. Pokud jste dokázali změřit stav počasí s přesností na 1 %, na jak dlouho byste odhadovali, že bude dobrá vaše předpověď? Odpověď podejte v dnech a hodinách.
  • Vezměte si Lorenzův model konvekce z minulého dílu, opište si z něj funkci $f(xi,t)$ a nasimulujte a vykreslete si hodnotu parametru $X(t)$ pro dvě různé trajektorie pomocí příkazů X01=1;

Y01=2;

Z01=5;

X02=…;

Y02=…;

Z02=…;

nastaveni = odeset('InitialStep', 0.01,'MaxStep',0.1);

pocPodminka1=[X01,Y01,Z01];

reseni1=ode45(@f,[0,45],pocPodminka1,nastaveni);

pocPodminka2=[X02,Y02,Z02];

reseni2=ode45(@f,[0,45],pocPodminka2,nastaveni);

plot(reseni1.x,reseni1.y(:,1),reseni2.x,reseni2.y(:,1));

pause()

</pre> Místo tří teček u $X02,Y02,Z02$ musíte zadat počáteční podmínky pro druhou trajektorii. Pusťte kód alespoň pro pět řádově odlišných, ale malých odchylek a poznamenejte si čas, ve kterém se druhá trajektorie od první kvalitativně odlepí (tj. směřuje například na úplně druhou stranu). Odchylku nezmenšujte pod řád cca $10^{-8}$, protože pak se začnou projevovat nepřesnosti numerické integrace. Načrtněte závislost odlepovacího času na řádu odchylky.

Bonus: Pokuste se ze získané závislosti odlepovacího času na velikosti odchylky odhadnout odpovídající Ljapunovův exponent. Budete potřebovat víc než pět běhů a můžete předpokládat, že v okamžiku odlepení velikost odchylky pokaždé zrovna překročila nějaké konstantní $Δ_{c}$.

(4 body)3. Série 28. Ročníku - 3. jedeme do zatáčky

Jak známo, vlaky nemají diferenciál, tedy při průjezdu zatáčkou se obě kola musí otáčet stejnou úhlovou rychlostí. Předpokládejte nyní, že kola mají válcový tvar. Proto při jízdě zatáčkou pojede jedno kolo po delší trajektorii než druhé. Osička bude namáhána na krut a v jistý okamžik již třecí síla mezi kolem a kolejnicí nebude dostatečně velká a dojde k prokluzu jednoho z kol, čímž napětí v osičce klesne na nulu. Určete vzdálenost mezi jednotlivými prokluzy v závislosti na poloměru zatáčky $R_{z}$. Kolo má poloměr $R$, osa má poloměr $r$, délka osy je $L$, modul pružnosti materiálu osy ve smyku je $G$ (ocel), vagon s $N$ koly má hmotnost $M$ a koeficient statického tření mezi kolem a kolejnicí je $f$. Nakonec můžete dosadit realistické hodnoty.

Nápověda: Pro zkrut $φ$ válce o poloměru $R$, délce $l$ a modulu pružnosti ve smyku $G$, na který působíme momentem $M$, platí:

$$\varphi=\frac{2Ml}{G \pi R^4}$$

Vymyslel Lukáš cestou vlakem do Krušných hor.

(8 bodů)2. Série 27. Ročníku - E. kutululů

Máme nakloněnou rovinu, na které postrčíme míček, aby se začal kutálet bez prokluzování směrem nahoru po nakloněné rovině. Změřte závislost rychlosti míčku na čase a určete závislost ztráty energie na čase. Nakloněná rovina nechť svírá úhel s vodorovnou rovinou úhel $α=10°$. Nezapomeňte popsat parametry vašeho míčku.

Karel se zamyslel nad výrokem koulelo se koulelo.

(4 body)3. Série 26. Ročníku - 3. upečené brzdy

Jakou rychlostí máme jet autem z kopce, abychom co nejvíce zahřívali brzdy? Uvažujte, že rozdíl teploty vzduchu a teploty brzd je úměrný brzdnému výkonu.

Lukáš pekl.

(5 bodů)3. Série 26. Ročníku - 5. Gazprom

Na plynovodu na daleké Sibiři, kterým teče zkapalněný zemní plyn, došlo k havárii a bylo nutné jej uzavřít. Spočítejte, jakou práci musel vykonat Váňa Vasilijevič, který byl vyslán k zásobníku zavřít výborně promazaný deskový ventil na příslušné lince. Jakou sílu musel během tohoto aktu vynakládat (vyjádřete ji v závislosti na rozumně vybrané veličině)? Ventil si představte jako desku, která je postupně vsouvána ze strany napříč do potrubí. Ve velkém rezervoáru, který je na linku připojen, je tlak $p=2\;\mathrm{MPa}$, deskový ventil má tloušťku $d=10\;\mathrm{cm}$, potrubí má čtvercový průřez o straně $a=1\;\mathrm{m}$ a zkapalněný plyn o hustotě $ρ=480\;\mathrm{kg/m}$ jím protéká s průtokem $q=20\;\mathrm{m}\;3\;\mathrm{s}$.

Aleš poslouchal motivační píseň ruského plynárenského gigantu.

(8 bodů)3. Série 26. Ročníku - E. válení sudů

Změřte závislost rychlosti na čase plechovky, která je zcela zaplněná vodou a která se rozjíždí z klidu po nakloněné rovině. Použijte nakloněnou rovinu, která je dlouhá alespoň dva metry a je rovná, bez hrbolů a není prohnutá. Experiment můžete realizovat například natočením a zpracováním videí či měřením doby, za kterou plechovka sjede vždy určitý úsek dráhy.

Karel se inspiroval minulostí.

(2 body)2. Série 26. Ročníku - 2. hollow Earth

Kdyby se všechna hmota Země vzala a přemodelovala se na kulovou slupku o tloušťce $d=1\;\mathrm{km}$ (se stejnou hustotou), jaký by tato nová „Země“ měla vnější poloměr? Jaké by bylo gravitační zrychlení na jejím vnějším povrchu?

(4 body)2. Série 26. Ročníku - 3. Benátčané

figure

Dva mladí, ale bohužel poněkud prostorově výraznější, Benátčané Paolo a Francesca Muschetti (o hmotnostech $m_{P}=180\;\mathrm{kg}$ a $m_{F}=130\;\mathrm{kg}$) by se chtěli spolu projet na gondole. Žádný gondoliér je ale nechce vzít na svou loď, protože ví, že by je všechny tři loď neunesla. Chytrý gondoliér Jacopo ale vymyslel rampu, na kterou umístil tři kladky dle obrázku. Skrz kladky provlékl lano a oba mladé Benátčany na ně upevnil, viz obrázek – každého na opačný konec, tak, že nejprve byla nahoře lehčí Francesca a po jisté chvíli ji v této pozici vystřídal těžší Paolo. Jak vysoká musí být rampa, aby gondola stihla přejet přes kanál? Doba jízdy je $τ=60\;\mathrm{s}$. Přepokládejme, že při použití tohoto zařízení se již gondola nepotopí. Zanedbejte veškeré tření, hmotnost lana a momenty setrvačnosti kladek.

(5 bodů)2. Série 26. Ročníku - 4. křeček

figure

Rado si pro svého křečka Bobka přichystal speciální kolečko. Celá soustava se může otáčet okolo osy procházející bodem $O$, který je středem kolečka, a ke kolečku je vodorovně připojená deska ve vzdálenosti $h$ od osy rotace, viz obrázek. Jak se má křeček Bobek pohybovat po desce, aby deska zůstala po celou dobu pohybu vodorovně? Koeficient tření mezi křečkem a deskou je $f$.

(4 body)1. Série 26. Ročníku - 4. crash testy

Mějme dvě auta o stejné hmotnosti jedoucí proti sobě rychlostí $v_{0}$. V jaké vzdálenosti musí začít brzdit, aby nedošlo ke srážce? Uvažujte dva případy, kdy auta jedou proti sobě na rovině a kdy auta jedou po silnici se sklonem $α$. Víte, že oba řidiči začnou brzdit v týž okamžik a velikost brzdné síly každého auta je $f\cdot N$, kde $N$ je složka tíhy automobilu kolmá na silnici.

Analphabeth Petr s ryšavými vlasy

(8 bodů)1. Série 26. Ročníku - E. tři šedé vlasy dědy Aleše

Pokuste se určit některé napěťové charakteristiky v tahu u lidského vlasu. Z vašeho pokusu sestavte co nejpodrobnější graf závislosti použité síly na prodloužení vlasu; z něj potom určete graf závislosti napětí na relativním prodloužení. Pokuste se z něj vyčíst/odhadnout mez pevnosti, případně i jiné charakteristiky. Měření opakujte alespoň na 3 vlasech stejné osoby.

Nápovědy. Vhodné jsou hodně dlouhé vlasy – pokud sami takové nemáte, určitě není problém takové sehnat. Průměr vlasu můžete změřit ve škole pomocí mikrometru nebo pomocí laseru. Jako závaží můžete použít mince, které mají docela dobře definované hodnoty hmotnosti.

Karel čerstvě ostříhán.

(5 bodů)1. Série 26. Ročníku - P. větroplach!

Odhadněte, jakou minimální rychlostí musí foukat vítr, aby odnesl papír ležící na stole.

Karlovi lítaly papíry ze stolu.

(4 body)3. Série 25. Ročníku - 3. train à grande vitesse

Trať má poloměr oblouku $R$, vlak má těžiště ve výšce $H$ nad kolejemi s rozchodem $D$. Jakou maximální rychlostí může po takovéto trati jet vlak, pokud požadujeme, aby se mohl kdykoli zastavit, aniž by spadl na bok? Za jakých podmínek je maximální rychlost neomezená?

Poznámka: Zanedbejte síly působící mezi jednotlivými vagony a šířku vagonu vzhledem k poloměru oblouku.

Napadla Lukáše během návratu z org. výletu od Berouna.

(5 bodů)3. Série 25. Ročníku - P. zkroťte Gaiu

Navrhněte způsob, jak přeměnit rotační energii Země na elektrickou energii. Fantazii se meze nekladou, konstruktéři jsou schopní a postaví všechno.

Karel vykradl cosi, co se odkazuje na Stony Brook University.

(4 body)2. Série 25. Ročníku - 3. výtah pro lodě

figure

V jednom skotském městečku si postavili výtah pro lodě. Jde o dvě velké vany plné vody na koncích dlouhého ramena, které je uprostřed zavěšeno. Do vany najede loď a pomocí motoru se začne s ramenem otáčet. Jaký výkon musí mít motor, aby takto loď zvedl?

Petr.

(4 body)1. Série 25. Ročníku - 5. zpětný ráz

figure

Při výstřelu z pistole zpětný ráz pistolí trhne a střela vyletí jiným směrem, než kam původně mířila hlaveň. O jak velký úhel se jedná? Uvažujte, že vliv gravitace je po celou dobu výstřelu kompenzován svaly v ruce a bod otáčení je v zápěstí. Znáte moment setrvačnosti pistole s rukou vzhledem k bodu otáčení, hmotnost a úsťovou rychlost projektilu a vzdálenosti popsané v obrázku. Hodnoty těchto veličin můžete zkusit odhadnout a výsledek číselně dopočítat.

Vymyslel odstřelovač, který si přál zůstat anonymní.

6. Série 24. Ročníku - 1. rozcvička

figure

 

  • zprohýbané prkno

Prkno dané délky leží vodorovně. Z jednoho konce po něm pošleme kuličku. Za jakých podmínek bude na druhém konci prkna nejdříve?

a) Prkno bude prohnuté nahoru.

b) Prkno bude prohnuté dolu.

c) Prkno bude rovně.

d) Při libovolném prohnutí bude doba stejná.

Svoji volbu řádně odůvodněte.

  • zlomené prkno

Prohlubeň šířky $L$ přemostíme prohnutým prknem. To se skládá ze dvou stejně dlouhých rovných částí, které jsou uprostřed spojeny zlomem. Na jeden konec položíme kuličku. Pro jakou hloubku prohnutí $h$ bude kulička na druhém konci nejdříve? Zlom je tak hladký, že na něm kulička neztrácí energii. Mohlo by se vám hodit, že funkce $f(x) = x + 1/x$ má minimum v bodě $ x = 1.$

Lukáš s Jáchymem, když rozumovali nad první částí úlohy

5. Série 24. Ročníku - 3. těžký řetěz

Řetěz o hmotnosti $m$ a délky $l$ visí svisle těsně nad váhou. Najednou ho upustíme z klidu a začne na váhu dopadat. Jakou váhu bude váha ukazovat v závislosti na tom jaká délka $x$ již na ni dopadla? Zanedbejte rozměry jednotlivých ok řetězu.

nakradl Karel

4. Série 24. Ročníku - 1. rozcvička

 

  • napnutá struna

Frekvence kmitů napjaté struny závisí na její délce $l$, síle $F$, kterou je struna napjatá, a na délkové hustotě $ρ_{l}$. Určete z těchto údajů vzoreček pro frekvenci struny pomocí rozměrové analýzy.

  • dolů

Mějme činku, jejíž závaží mají tvar disků, které jsou blízko u sebe. Tyčku omotáme jednou provázkem a činku spustíme, jak rychle padá, pokud se nesmýká? Disky mají hmotnost $m$ a poloměr $R$, tyčka je nehmotná s poloměrem $r$.

Karel, Jakub

3. Série 24. Ročníku - 2. zasekanej!

Jistě jste si všimli, že při podélném parkování zpátečkou se auto může vejít i do celkem malé mezery. Mějme auto délky $L$, šířky $d$ se vzdáleností kol $l$. Kola se mohou otočit maximálně o $α$ stupňů (tzv. „plný rejd“). Do jak velké mezery budeme schopni zaparkovat při použití zpátečky? A při parkování popředu? Jaká je ideální parkovací strategie? Auto musí být samozřejmě dokonale zarovnané v řadě (tj. rovnoběžně s chodníkem ve vzdálenosti maximálně $d_{0}$ od chodníku) a při parkovacím manévru se auto smí pohybovat pouze jedním směrem, tzn. buď dopředu nebo dozadu.

Mára při sledování filmu Vrchní prchni

2. Série 24. Ročníku - 4. nemyslíš, zaplatíš

Za jakých podmínek dojde k zablokování a smýkání předního kola při brzdění, aniž bychom přeletěli přes řidítka? Jaký na to má vliv brzdění zadním kolem?

Silniční lišaj si pořídil Lukáš

1. Série 24. Ročníku - 3. houpací kůň

figure

Nehmotná tyč délky $h$ je ve středu připevněna na nehmotný oblouk o vrcholovém úhlu 2φ a poloměru $R$. Na konci tyče je závaží $m$. Pohyb probíhá pouze v rovině. Určete - za jakých podmínek může být soustava stabilní, - frekvenci kmitů takového houpacího koně.

Na dětství zavzpomínal Jakub

1. Série 24. Ročníku - P. Edudant a Francimor

Dva světaznalí cestovatelé, jeden tlustý a jeden hubený, se cestou v letadle dohadují o tom, kdo z nich by déle přežil v extrémních podmínkách daleko od civilizace. Rozsoudíte je, kdo vydrží déle ve velkém horku (50 °C), v mrazu (-1 °C), po ztroskotání lodi uprostřed Středozemního moře, v hurikánu nebo při silném sněžení? A jak by to mohlo dopadnout, kdyby je zastihlo mohutné zemětřesení v centru velkoměsta? Kromě jejich tělesné stavby mezi nimi nejsou žádné rozdíly, oba jsou stejně oblečení a nic dalšího s sebou nemají (žádné jídlo, vodu, sirky ani jiné vybavení). Snažte se být nápadití a všímejte si i maličkostí.

Ve známém televizním pořadu viděl Honza P.

6. Série 23. Ročníku - 1. husitská

Na nakloněné rovině s úhlem sklonu $α$ stojí směrem po spádnici vozová hradba. Vozy jsou stejně těžké, mezi sousedními dvěma je vzdálenost $s$, celkem jich je $N$. Na počátku jsou všechny zabržděné. Mazaný bratr Žižka odbrzdí horní z nich a ten se začne pohybovat směrem dolů a bere s sebou další vozy (hned po nárazu se nabouraný vůz odbrzdí a pokračuje dolů spolu s tím, který do něj narazil). Vypočítejte, jakou rychlost bude mít celá vozová hradba po posledním nárazu. Jako bonus můžete určit, jaké by měly být hmotnosti vozů tak, aby se rychlost hradby mezi dvěma nárazy nezměnila.

na zašlou slávu husitství vzpomínal Jakub

5. Série 23. Ročníku - 3. vozík

figure

Na pevném závěsu ve výšce $h=1\, \mathrm{m}$ nad zemí je upevněn provázek délky $l=1,5 \;\mathrm{m}$. Na konci provázku je přivázána deska délky $d= 0,5 \;\mathrm{m}$ tak, že provázek je napnut a spolu s deskou leží v jedné přímce (viz obrázek). Když soustavu uvolníme, deska nejprve po hraně klouže bez tření, dokud nedopadne celou svou délkou na zem. Potom se pohybuje proti třecí síle s koeficientem smykového tření $f$. Spočítejte, jaká musí být jeho hodnota, aby deska svým bližším koncem doklouzala přesně pod závěs.

jako triviální úlohu do fyziklání vymyslel Lukáš

5. Série 23. Ročníku - 4. drtivý odpad

Všichni dobře víme, že se 21. prosince 2012 na své cestě ke Slunci srazí se Zemí asteroid (pohybuje se ve stejné rovině jako Země). Uvažme, že se pohybuje po protáhlé eliptické dráze s hlavní poloosou délky 4 AU a vedlejší poloosou dlouhou 0,2 AU. Lidstvo bylo moc zaneprázdněno, a tak se problém začal řešit až 1. prosince 2012. Po jaké dráze musí udatná světová autorita vystřelit raketu s jadernou hlavicí, aby včas odvrátila konec světa?

napadlo Honzu Humplíka

5. Série 23. Ročníku - P. tunelářská

Kryštof se vydal na cestu vlakem a spokojeně usnul. Když se probudil v tunelu, cítil, že jej nějaká síla táhne směrem na jednu stranu. Ve vlaku bylo sice světlo, ale ven neviděl. Vzpomněl si, že je v zatáčkách trať klopená a uvědomil si, že i když si pamatuje původní směr jízdy, vůbec neví, na kterou stranu vlak zatáčí. Nepozná totiž rozdíl mezi stavem, kdy vlevo zatáčející vlak jede dostatečně pomalu a výsledná síla míří směrem do zatáčky, a situací, kdy je vlak dostatečně rychlý, zatáčí vpravo a síla směřuje ven ze zatáčky. Navrhněte experiment, který Kryštofovi pomůže tuto situaci vyřešit. Čím víc variant, tím lepší bodové hodnocení.

cestou metrem napadlo Kryštofa

4. Série 23. Ročníku - 3. smrtící kolotoč

figure

Na kůl o poloměru $r$ zabodený do země je lanem délky $l$ přivázané závaží hmotnosti $m$. Lano je napnuté a závaží leží na zemi. Lukáš se rozběhne a nakopne závaží kolmo na lano tak, že bude mít rychlost $v$. Lano se po tomto rázu začne navíjet na kůl. Spočítejte, jak se musí měnit koeficient smykového tření mezi závažím a zemí v závislosti na vzdálenosti od kůlu, aby při navíjení zůstala rychlost závaží konstantní.

po lunaparku zatoužil Lukáš L.

4. Série 23. Ročníku - 4. Terka skáče

Terka skáče z metrové zídky. Na začátku má ruce natažené zvednuté nad hlavu, během pádu ruce ale spouští. O kolik takto zmenší svou rychlost při dopadu? Kvalifikovaně odhadněte hmotnost, zrychlení a rychlost Terčiných rukou, jakožto i další potřebné parametry jejího těla, a úlohu vyřešte.

honilo se hlavou Terce při seskoku padákem

3. Série 23. Ročníku - 4. pane Wurfl, ale na Měsíci

figure

Pana Broučka při měsíční příhodě pronásledovala Etherea, kterou lze připodobnit hmotnému bodu. Pan Brouček ale, potom co si objednal vepřové se zelím, se jí zbavil tím, že ji uvěznil mezi dvěma pevně uchopenými pálkami ve vzdálenosti $l$, které jsou každá natočena o nějaký úhel, a Etherea mezi nimi skákala jako pingpongový míč tak, že se odrazila vždy ve stejné výšce. Aby ji potrápil strachem, vložil doprostřed síť výšky $h$. Pan Brouček je důmyslný šibal, a tak chtěl, aby (stejně jako v ping-pongu) na každé polovině spadla aspoň jednou na zem. Vypočtěte, s jakou frekvencí v závislosti na všemožných parametrech (natočení pálek, počáteční rychlost míčku, úhel, …) Etherea létá, a kdy je tato frekvence nejvyšší. Předpokládejte, že pohyb je rovinný a při odrazu od překážky (od Měsíce nebo od pálky) se akorát mění rychlost na opačnou; celý pohyb probíhá ve vakuu.

ll

3. Série 23. Ročníku - E. kroky

Postavte dlouhé domino a hurá do toho! Změřte rychlost padání pro známé rozměry kvádříků a proměnnou vzdálenost mezi nimi. Ustálí se vůbec rychlost?

vzpominka na Berlin

3. Série 23. Ročníku - P. aljeja, niti! Jsou shnilé

figure

Zkoumejte dvojitý uzel, kterým jsou spojena dvě vlákna o poloměru $r$ a součiniteli klidového tření $f$. Jakou silou musíme tahat za konce vláken, aby se uzel „proklouzl“? Dosaďte typické hodnoty pro nitky a zjistěte, zda se přitom nepřetrhne vlákno.

jmi

1. Série 23. Ročníku - 2. lano na klínech

figure

Na dvou klínech (viz obrázek) je položeno lano tak, že se uprostřed nedotýká podložky. Situace je osově souměrná. Vypočítejte, jaká jeho maximální část může takto viset ve statické rovnováze.

Bonus: pro jaký úhel nakloněných rovin je tento poměr největší?

S nití si rád hraje Aleš.

4. Série 22. Ročníku - 3. vlček neboli káča

Inženýři v NASA chtějí využít setrvačníků jako zdroje energie pro družice. Poraďte jim, jakou maximální energii mohou uložit do rotujícího válce o poloměru $r$. Na jakou maximální úhlovou rychlost $ω$ lze roztočit setrvačník, než praskne?

Na podobný problém narazil Robin.

4. Série 22. Ročníku - 4. šachovnice

Jistě znáte pohádku o chytrákovi, který si udělal legraci z krále tím, že mu dal za úkol na políčka šachovnice vyskládat postupně 1, 2, 4, 8, 16, …, 2^{63} zrníček rýže po řádcích zleva doprava). Většinou se ale nedodává, že se chytrák velmi podivil, když král šachovnicový stolek nechal přinést. Spočtěte, kde byl vypodložen, aby zrníčka nespadla. Zrníčka jsou hmotné body umístěné ve středu polí. (Přesněji řečeno nás zajímá poloha těžiště šachovnice s rýží.)

Několik vagónů rýže si objednal Jakub Michálek.

4. Série 22. Ročníku - S. Foucaultovo kyvadlo a rotace Země

figure

  1. Foucaultovo kyvadlo do písku nakreslilo při dvou různých demonstracích dva odlišné obrazce, oba jsou na obrázku. Rozhodněte, co způsobilo jiný tvar a také jak dlouhé by muselo být kyvadlo, aby tyto obrazce mohly na podlaze pařížské katedrály vzniknout. Kolikacípé jsou hvězdy/květy ve skutečnosti?
  2. Jaký tvar bude mít hladina v kbelíku s vodou, který klidně stojí na rovném stole?
  3. Ukažte, že vztah

$$δf=f_{+}-f_{-}=\frac{4ωS}{λ_{0} P}$$ pro frekvenční rozdíl (frekvenci rázů) dvou protiběžných paprsků v laserovém gyroskopu platí pro jeho libovolný rovinný tvar – tedy nejen kruhový.

K procvičení probrané látky zadali autoři seriálu.

3. Série 22. Ročníku - 4. vánoční řetěz

figure

Jakub se o přednášce nudil, z batohu si vytáhl řetízek, chytil jej na dvou místech mezi prsty a začal s ním točit úhlovou rychlostí $ω$ jako na obrázku. Marek to uviděl a zeptal se Jakuba, jaký tvar má rotující řetízek. Co mu Jakub odpověděl, když zanedbal vliv tíhového pole?

Na přednášce vymyslel Jakub Michálek.

6. Série 21. Ročníku - 3. hadí polévka

figure

Když je hadí maso uvařené, kuchaři z něj připravují hadí polévku v měděných hrncích, které mají tvar polokoule o průměru $40\,\jd{ cm}$. Hrnec s polévkou dávají potom vychladit do nedalekého jezera. Když ho nechají plavat, ponoří se o $10\,\jd{ cm}$. K bodu na okraji hrnce je připevněn řetízek. Pokud za řetízek zatáhneme a zvedneme tak okraj hrnce o $10\,\jd{ cm}$, nateče do hrnce voda?

Sbírka od Dalimila Mazáče.

6. Série 21. Ročníku - S. na přání

Pokuste se o řešení libovolného problému z šesté kapitoly seriálu.

Zadal autor seriálu Marek Pechal.

4. Série 21. Ročníku - 2. zahřívání koule

V této úloze budeme studovat vliv teploty na moment setrvačnosti kovového tělesa. Pro tento účel necháme tělesem procházet pevnou osu, kolem které se bude otáčet. Jak se změní moment setrvačnosti $J$ tělesa při zvýšení jeho teploty o $ΔT$, je-li koeficient teplotní roztažnosti kovu $α$. Pokud si nevíte rady, zkuste uvažovat kouli nebo válec.

V Havránkovi se úloha líbila Pavlu Motlochovi.

4. Série 21. Ročníku - E. valivý odpor

Pečlivě experimentálně prověřte, zda valivý odpor válce závisí na jeho poloměru či ne.

Různé názory v knihách objevil Jano Lalinský.

3. Série 21. Ročníku - 2. výtah až do nebe

Určete, jaké fyzikální vlastnosti musí mít materiál závěsného lana výtahu, který spojuje povrch Země a oběžnou geostacionární dráhu. Je vůbec takový materiál na Zemi dostupný?

Zadal Aleč Podolník.

1. Série 21. Ročníku - 4. zachraňte pivo

Nákladní automobil jedoucí rychlostí $v$ veze láhve piva. Řidič si náhle všiml, že po ujetí vzdálenosti $d$ ho čeká nebezpečná zatáčka, která má poloměr $R$. Vžijte se do řidiče a vymyslete, jakou taktiku zvolit při brzdění, jestliže počet rozbitých láhví piva je úměrný největšímu zrychlení a vy jich chcete rozbít co nejméně. Zbytek piv můžete za odměnu vypít.

Vymyslel Marek Pechal při jízdě narvanou 112kou.

6. Série 20. Ročníku - 1. tři válce děda Vševěda

figure

Zjistěte, za jakých podmínek bude soustava tří válců na obrázku 1 v rovnováze. Hustota materiálu válců je $ρ$, spodní válce mají poloměr $R$, horní válec má poloměr $r$. Součinitel tření je mezi všemi povrchy stejný.

Zadal Honza Prachař, aby prověřil vaše znalosti ze statiky soustavy tuhých těles.

5. Série 20. Ročníku - 2. kapitán Kork opět zasahuje

Deník kapitána Korka: „Hvězdný čas 51824,2. Budoucnost hvězdné flotily je znovu ohrožena. Romulani se nás pokoušejí zničit. Zaútočila na nás jejich nová bitevní loď typu Karusel s laserovým otáčivým dělem. Doktor Spok rozhodl, že není možno se s nimi utkat a musíme zaujmout výhodnější postavení co nejdále od nepřítele. Náš palubní vědecký pracovník bohužel ale zrovna spí a my ho nechceme budit. Jsme zřejmě odsouzeni k záhubě …“

Poraďte kapitánovi, jaký manévr má provést, aby unikl jisté zkáze. Hvězdná loď Enterprise má tvar koule o poloměru $R$, na začátku je ve vzdálenosti $r_{0}$. Dělo Karuselu se otáčí úhlovou rychlostí $ω$ a střílí vždy do míst, kde jeho laserový senzor zjistí přítomnost Enterprise. Jakou nejmenší rychlostí se může Enterprise pohybovat, aby Karuselu ještě unikla?

Úloha z hlavy Jardy Trnky. Volné pokračování úlohy III.4 ze 17. ročníku.

5. Série 20. Ročníku - 4. exhumace dárečku od Buffala

Buffalo Bill se už roky snaží polapit Jessieho Jamese, známého banditu. V městečku Clay County mu konečně přišel na stopu. Strhla se přestřelka. Buffalo si všiml sudu plného petroleje na vozíku mezi sebou a Jessiem. „Jak dostat sud k Jessiemu, abych ho mohl zapálit,“ rozmýšlí Bill.

Jessie prostřelil sud v 9/10 výšky a ze sudu začal stříkat petrolej. Buffalo se trefil přesně do poloviny sudu a střílí znovu. Vyřešte, s jakým počátečním zrychlením se bude pohybovat vozíček v závislosti na tom, kam se Bill trefí podruhé. Předpokládejte, že hybnost kulky je nulová, a tření zanedbejte.

Do jaké výšky by se musel Buffalo trefit, aby petrolej stříkal nejdále?

Znovu zadaná úloha V.1 z 18. ročníku, protože tehdejší řešení je špatně. Přílepek od Honzy Hradila.

4. Série 20. Ročníku - 1. nakupujeme minerálky

Určitě jste si v super(hyper)marketu všimli, že plastová láhev oblíbeného nápoje se při rozjetí pohyblivého pásu pokladny začne otáčet a k pokladní ji často musíte postrčit až rukou. Proč to tak je?

Zkuste analyzovat následující modelový případ. Láhev je položena na pás osou kolmo na směr pohybu pásu a láhev i pás jsou v klidu. Náhle se pás rozjede konstantní rychlostí $v=10\, \jd{cm\cdot s^{-1}}$. Jakou výslednou rychlostí se bude pohybovat láhev? Nejdříve analyzujte, jak se budou chovat různé idealizace – jako třeba tuhý válec. Pak si uvědomte, že láhev je plná nápoje, který se nerad otáčí. Pro jednoduchost uvažujte viskozitu nápoje za nulovou, pak se zamyslete nad tím, jak do hry vstoupí viskozita.

Úlohu vymyslel Jano Lalinský na nákupu v TESCU.

4. Série 20. Ročníku - 4. Kochova vločka

figure

Určete moment setrvačnosti Kochovy vločky zhotovené z homogenního plechu vzhledem k ose kolmé na její rovinu a procházející jejím středem. Uvažujte, že vločka má hmotnost $m$ a průměr $a$.

Poznámka: Kochova vločka je útvar vzniklý iterativním lepením vždy třikrát menších rovnostranných trojúhelníků na strany předchozího útvaru (viz obrázek). Průměrem Kochovy vločky rozumíme vzdálenost vrcholů jejích protějších cípů.

Problém si s chutí vyřešil Marek Pechal.

4. Série 20. Ročníku - E. vytřete nám zrak

Změřte, jak závisí součinitel smykového tření mezi dvěma vámi vybranými materiály na velikosti stykové plochy a na hmotnosti smýkajícího se tělesa. Nezapomeňte nám napsat, s čím a jak jste měřili.

Úloha napadla Honzu Prachaře při čtení Feynmanoých přednášek z fyziky.

3. Série 20. Ročníku - 2. přistání na Titanu

V pátek 14. ledna 2005 na povrchu Titanu hladce přistála sonda Huygens, pojmenovaná po objeviteli Titanu. Mateřská sonda Cassini ji nesla k Saturnu 7 let. Jedná se dosud o nejvzdálenější přistání umělé sondy v dějinách.

Přistávací modul o čisté hmotnosti (bez paliva) $m$, vybavený reaktivním motorem, se vznášel v klidu nad povrchem měsíce (gravitační zrychlení je zde $g)$. Měl k dispozici palivo o hmotnosti $M$ a zásobu energie o velikosti $E_{0}$, kterou využíval k urychlování paliva (rychlost a množství paliva vypuzovaného z motoru lze libovolně měnit). Jaká je maximální doba, po kterou se sonda mohla vznášet v konstantní výšce? Poraďte řídícímu středisku, jakým způsobem by mělo naprogramovat rychlost a množství vypuzovaného paliva, aby této maximální doby dosáhli.

Úlohu vymyslel Marek Pechal.

3. Série 20. Ročníku - P. akrobat na lyžích

Jistě znáte lyžařskou disciplínu akrobatické skoky. Lyžař po rozjezdu z kopce najíždí na můstek a skáče do vzduchu. Před dopadem zvládne skokan provést několik vrutů a salt. Vysvětlete, jak to lyžař dělá – co musí udělat, aby se začal otáčet tak, jak chce. Jak vyvrátíte tvrzení, že podle zákona zachování momentu hybnosti se musí skokan po celou dobu skoku otáčet kolem stejné osy a stejnou rychlostí?

Problém vrtal hlavou Honzy Prachaře při sledování zimní olympiády.

1. Série 20. Ročníku - 2. srážka s asteroidem

Určete, jaký úhel po srážce svírala trajektorie asteroidu a vědecké lodi. Před srážkou byl kulový asteroid v klidu a měl stejnou hmotnost jako loď. Uvažte, že loď chrání štíty, které mají kulový tvar.

Úlohu navrhla Zuzka Safernová.

3. Série 19. Ročníku - 1. dotyk koule a válce

figure

Koule a válec o stejném poloměru a stejné hmotnosti jsou vyrobené z různých materiálu a leží na nakloněné rovině tak, že se vzájemně dotýkají. Určete, za jakých podmínek zůstanou ležet v klidu.

Řešil Petr Sýkora při TJUFu.

1. Série 19. Ročníku - 3. Armagedon

Poplach! Rudá světla indikují smrtelnou hrozbu. Směrem k Zemi se řítí meteoroid o známém průřezu $S$ a tepelné kapacitě $c$. Určete, o kolik se zvýší jeho teplota během průletu atmosférou.

Předpokládejte, že se jeho rychlost stačí před dopadem ustálit a že se zahřívá rovnoměrně. Sami odhadněte, jaká část energie se spotřebuje na ohřátí vzduchu v atmosféře. Zamyslete se, jak je tento model realistický. Nakonec rozhodněte, zda bude mít meteoriod vyšší či nižší teplotu, pokud namísto vzduchem poletí vakuem, jež má nulovou tepelnou kapacitu.

Upravená úloha Kájinkova padajícího kulového kladívka.

1. Série 19. Ročníku - E. tvrdost kuliček

Až budete jedno podzimní odpoledne hrát s kamarády kuličky, uzměte svým přátelům jednu z nich a mrštěte s ní o tvrdý povrch. Posléze si udělejte značku ve výšce, do které kulička vyskočí, a změřte ji. Z naměřených hodnot určete koeficient odrazivosti kuličky (poměr energie kuličky před odrazem a po něm).

Podobná metoda se používá pro třídění tvrdosti ložiskových kuliček; málo tvrdé kuličky nepřeskočí bariéru a odstraní se.

Lenka

6. Série 18. Ročníku - 4. nezastavitelný chodec

Vraťte se na chvíli do Atén na loňské olympijské hry a určete, jaká je teoretická maximální rychlost chodce. Chodec nebude diskvalifikován, pokud se každý rozhodčí (pozorovatel) shodne na tom, že alespoň jedna noha chodce stojí v každém okamžiku na zemi.

Kdo jiný, než Matouš.

4. Série 18. Ročníku - 2. za nití

Váleček o malém poloměru $r$ a hmotnosti $m$ se kutálí z nakloněné roviny a na jejím konci přejde hladce do vodorovného pohybu po podložce. Přitom na sebe namotává nit o délkové hustotě $ρ$. V jaké vzdálenosti od konce nakloněné roviny se váleček zastaví? Dále znáte výšku nakloněné roviny $h$ a její sklon $α$. Tření zanedbávejte.

8. ročník 1.kolo

3. Série 18. Ročníku - P. věž z vozíčků

figure

Určete zrychlení prvního a stého vozíčku odspodu na obrázku 3. Vozíčků je nekonečně mnoho, na obrázku jsou zakresleny jen první čtyři. Spodní vozíček má hmotnost $m$, další vozíček, který po něm jezdí, a závaží, se kterým je spojen, má hmotnost $m/2$. Podobně další vozíček a závaží má hmotnost $m/4$, atd. Předpokládejte, že jsou závaží připevněná k vozíčkům, tj. že se ve svislém směru neodchylují. Tření mezi jednotlivými vozíčky zanedbejte.

O úloze se zmínil Honza Houštěk.

2. Série 18. Ročníku - 3. vrtulník

Aby se helikoptéra mohla vznášet, musí mít její motor výkon $P$. Jaký výkon $P'$ musí mít helikoptéra, která je přesnou poloviční kopií původní helikoptéry, aby se také vznášela? Předpokládejte, že rotor má 100% účinnost.

Úloha byla převzata z MFO v Kanadě.

1. Série 18. Ročníku - 3. mistr zedník

figure

Zedník staví cihly na sebe do výšky jako schody podobně jako na obrázku. Snaží se je postavit co nejvíce do dálky a ví, že jich může použít, kolik chce. Poraďte mu, jak to má provést, aby se „dostal“ co možná nejdále, i když nesmí používat maltu.

Na úlohu si vzpomněl Jarda Trnka, když doma stavěl příčku.

6. Série 17. Ročníku - 1. třesk

Střílíme střelou s počáteční rychlostí $\textbf{v}_{0}$ z výšky $h$ nad povrchem Země na kovovou stěnu ve vzdálenosti $L$. Pod jakým úhlem $α$ (viz obrázek) máme střílet, abychom co nejdříve slyšeli náraz?

6. ročník 2. série

6. Série 17. Ročníku - 3. padající komín

Silný vítr dul do stěn komínu. Přitom vychýlil komín ze svislé polohy. Komín začal padat a v určitém místě se rozlomil. Pokuste se určit, kde ke zlomu došlo.

Životní zkušenost Jardy Trnky, kdysi jim spadl komín.

6. Série 17. Ročníku - 4. potopa na Utodu

Planeta Utod o hustotě $ρ$ je pokryta mořem z kapaliny hustoty $ρ'$. Výška hladiny je $h$, poloměr planety $R$. Vyšetřete stabilitu planety.

Volné pokračování slezských havířů od Pavla Augustinského.

5. Série 17. Ročníku - 1. mašššinka

Máme rotující desku, která se otáčí úhlovou rychlostí $\omega $ kolem své osy a na niž nepůsobí žádné vnější momenty sil. Směrem do jejího středu jede lokomotiva o hmotnosti $m$ po kolejích připevněných k desce. Deska mění svou rychlost otáčení. Určete původ, velikost a směr momentu síly, který tuto změnu způsobí.

Na zkoušce z Fyziky dostal Honza Prachař.

5. Série 17. Ročníku - E. bobřík míření

Jaro začíná a je pravý čas začít sportovat. Mezi mnohé sportovní aktivity patří mimo jiné tenis. A my vám vycházíme vstříc! Vašim úkolem je zjistit, jakou rychlost musí mít tenisový míček, aby rozbil okno. Nezapomeňte provést dostatek měření, abyste mohli vaše zjištěná data statisticky zpracovat.

Jarda Trnka vyčetl ze sbírky P. Kapicy.

5. Série 17. Ročníku - P. zpomalující Měsíc

Přesnými měřeními je dokázáno, že rychlost oběhu Měsíce kolem Země klesá a jeho vzdálenost od Země se zvětšuje. Zamyslete se nad tím, jaká síla to způsobuje.

Během debaty o měsících Merkuru navrhl Honza Houštěk.

4. Série 17. Ročníku - 3. cihla na klínu

Na obrázku je soustava dvou těles. Těleso o hmotnosti $m$, které je přivázáno ke zdi ideálním lanem, leží v klidu na malém klínu o hmotnosti $M$. Tření mezi tělesy je nulové a klín se pohybuje bez odporu. Určete zrychlení klínu.

Z emailové konference MFO zná Honza Prachař. Název po dlouhém přemýšlení zplodil Kájínek.

4. Série 17. Ročníku - E. Kolumbovo vejce

Roztočte vajíčko na špičce a změřte frekvenci, při které tato poloha přestane být stabilní (tj. vajíčko se začne točit ve vodorovné poloze). Použijte běžné slepičí vejce natvrdo uvařené. Můžete se pokusit i o teoretický model a srovnat ho s vašimi výsledky. Dobrou chuť!

Napadlo Lenku.

4. Série 17. Ročníku - P. kolotoč

Představme si rotující vodorovný disk. V jeho středu je zavěšené kyvadélko, jak je znázorněno na obrázku. Protože na něj působí odstředivá síla, odchýlí se o úhel $\alpha$ od svislého směru. Určete tento úhel, pokud je délka kyvadélka $1\, \jd{m}$ a frekvence jeho otáčení $1\, \jd{Hz}$.

Navrhl Honza Houštěk inspirován starou úlohou z FO.

3. Série 17. Ročníku - 2. cvrnkání kuliček

Organizátoři FYKOSu hráli kuličky. Po chvíli si všimli, že když se trefí do prázdné kulové jamky, kulička na dně kmitá kolem rovnovážné polohy. Určete frekvenci těchto malých kmitů. Jamka má poloměr $R$, poloměr kuličky je $r$ a její hmotnost je $m$. Smykové tření mezi kuličkou a povrchem jamky je dostatečně veliké, aby při kutálení nedocházelo k prokluzování. Nápověda: je-li $φ$ malé, můžete použít rovnost sin $φ=$ tg $φ=$ $φ$ a použít analogii s pohybem závažíčka na pružince.

Zadal Honza Prachař inspirován na cvičeních z Fyziky I.

3. Série 17. Ročníku - E. Země je kulatá

Určete, na které rovnoběžce se nachází vaše bydliště. Navrhněte co nejvíce metod a alespoň dvě realizujte.

Vymyslel Honza Prachař při úvahách o kulatosti Země.

2. Série 17. Ročníku - 1. souboj lodí na Bajkalu

Nákladní loď Chruščov vezoucí velký náklad uhlí se pohybuje rychlostí $18\, \jd{km\cdot h^{-1}}$. Zdatní sovětští topiči začnou přehazovat uhlí rychlostí $31\, \jd{t\cdot min^{-1}}$ na kolemjedoucí rychlejší loď Sojuz, která pluje rychlostí $54\, \jd{km\cdot h^{-1}}$. Výkon rychlejší lodi je $400\, \jd{kW}$. Obě lodi se pohybují rovnoběžně a jsou dostatečně dlouhé. Na jaké hodnotě se ustálí rychlost Sojuzu? Aby bylo možné náklad dobře překládat, musí se rychlosti obou lodí vyrovnat. Jak toho dosáhneme? Uhlí je přehazováno kolmo na pohyb lodí a má zanedbatelnou rychlost vůči Chruščovu. Odporová síla je u obou lodí stejná a nezávisí na jejich hmotnosti ani rychlosti.

Inspirován návrhem Káji Tůmy vymyslel Honza Prachař.

2. Série 17. Ročníku - 3. kulička filuta

Mějme kuličku, která se volně pohybuje po drátové spirále popsané rovnicí $r = Cφ;$ $r$ je vzdálenost od středu a $φ$ je úhel otočení. Počáteční poloha kuličky je $r_{0}$. Spirála rotuje kolem osy procházející jejím středem a kolmé na její rovinu úhlovou rychlostí $ω$ v záporném směru (tj. po směru hodinových ručiček, v opačném směru, než ve kterém roste $φ$). Zjistěte závislost rychlosti kuličky $v$ na $r$.

Jedna řešitelná úloha mezi Jardovými nápady, vybral on sám.

1. Série 17. Ročníku - 1. plovající špunt

Máme vědro s vodou a v něm na dně rukou držíme korkový plovák. Takto pustíme vědro ze střechy budovy a zároveň pustíme plovák. Kde se bude plovák nacházet těsně předtím, než vědro narazí na zem? Budova je vysoká $30\, \jd{m}$.

Úlohu zadal Michael Komm.

6. Série 16. Ročníku - P. elektromagnetický paradox

Na dielektrický disk volně se otáčející kolem své osy přilepíme závit supravodivého drátu v němž teče proud $I_{0}$. Dále kolem tohoto závitu symetricky přilepíme elektricky nabité kuličky o náboji $q$. Celý disk poté začneme pomalu zahřívat. V jistém okamžiku přestane být drát supravodivý, takže v něm přestane téct proud a změní se magnetický tok přes závit. V důsledku toho vznikne podle Faradayova zákona okolo tohoto závitu elektrické pole, které bude působit na přilepené náboje, takže se celý disk začne otáčet. Na druhou stranu musí zůstat podle zákona zachování hybnosti v klidu. Tak kde je v předcházejících úvahách chyba?

3. Série 16. Ročníku - 1. vítr na dálnici

V autoškole každého upozorňují na nebezpečí bočního větru při vjezdu ze závětří na otevřené prostranství. Zejména nebezpečné je to prý na dálnici při velké rychlosti.

Uvažujte konstatní rychlost bočního větru a spočtěte, jak se mění síla působící z boku v závislosti na rychlosti auta. Tvar auta předpokládejte takový, abyste úlohu dokázali vyřešit. Diskutujte vliv větru na následný pohyb vozidla.

3. Série 16. Ročníku - 2. železniční most

Chrabrý rudoarmějec vjel tankem na železniční most, jehož konstrukce, nad ním se tyčící, je schématicky znázorněna na obr. Vaším úkolem je popsat, jak moc budou při přejezdu namáhány jednotlivé části mostu. Pokud jsou meze pevnosti všech tyčí v tahu stejné jako meze v tlaku, určete maximální hmotnost tanku, který po mostě může přejet. Můžete uvažovat, že tank je oproti mostu malý.

2. Série 16. Ročníku - 2. malý velký problém

Hvězdný koráb se skládá ze dvou kabin o hmotnosti $M$ , mezi nimiž se nalézá spojnice délky $2l$ (koráb tedy vypadá trochu jako činka). Jedna z kabin byla zasažena malým (hmotnost $m << M$), ale pekelně rychlým (rychlost $u$) meteoritem. Po této fatální kolizi se loď začala pohybovat a také rotovat (úhlovou rychlost rotace označme $\omega$). Jak daleko od nezasažené kabiny onen meteorit proletěl? Můžete předpokládat, že rychlost zbytků po meteoritu vzhledem ke kabině je zanedbatelná v porovnání s rychlostí $u$.

6. Série 15. Ročníku - 1. lamborghini

Odhadněte, jak velkou vertikální silou je nadlehčováno, jede-li rychlostí $320 \,\jd{km\cdot h^{-1}}$. Pozor, toto není experimentální úloha!

3. Série 15. Ročníku - 1. obr a trpaslík

Obr s trpaslíkem se přetahují o lano, které je omotané kolem stomu zakořeněného tak pevně, že ho ani obr nedokáže vytrhnout nebo zlomit. Přetrhnout lano se mu také nepodaří.

Velký zlý obr je přesně $666$-krát silnější než trpaslík. Kolikrát musí být lano omotané kolem stromu, aby přetahování nikdo nevyhrál? Koeficient tření mezi lanem a stromem odhadněte.

Napadlo Pavla Augustinskeho a Honzu Houšťka.

3. Série 15. Ročníku - 2. valčík

Odhadněte celkovou kinetickou energii páru tančícího vídeňský valčík.

Úlohu objevila Lenka Zdeborová.

2. Série 15. Ročníku - 1. výtah

Mějme výtah o hmotnosti $m$, který je pověšen na laně přes pevnou kladku. Za druhý konec lana tahá silou $F$ člověk, který stojí v onom výtahu. Jeho hmotnost je $M$. Spočtěte zrychlení výtahu.

Napadlo Karla Koláře.

1. Série 15. Ročníku - 1. špulka

Na špulce je navinutá nit. Za nit táhneme ve vodorovném směru konstantní silou $F$. Vnější poloměr je $R$ a poloměr válce, na kterém je navinuta nit je $r$. Jaké je zrychlení špulky a jaký má směr? Koeficient tření je dost velký na to, aby špulka neprokluzovala. Znáte rozměry, hmotnost a moment setrvačnosti špulky.

Úloha ze soustředění FO podle Lenky a Honzy.

6. Série 14. Ročníku - E. zase domino

Proměřte rychlost padání dominových kostek z problémové úlohy pro různé podmínky. Můžete např. změřit závislost na vzdálenosti, hmotnosti či výšce kostek. Pokud budete řešit i problémovou úlohu, nezapomeňte porovnat vaši teorii s experimentem.

Inspirace problémovou úlohou.

6. Série 14. Ročníku - P. domino

Určitě už jste si někdy hráli s dominem, tedy kvádry postavenými v řadě za sebou, které po shození prvního z nich lavinovitě padají. Pokuste se odhadnout rychlost, kterou se tato vlna šíří, a jak tato rychlost závisí na rozměrech a hmotnosti kvádrů, vzdálenosti kvádrů. Popište podrobně model, který ve svých úvahách použijete, a posuďte, nakolik odpovídá realitě.

Problém, který organizátorům již dlouho vrtal hlavou.

6. Série 14. Ročníku - S. principy mechaniky

* Pomocí principu virtuálních prací nalezněte rovnovážnou polohu systému na obrázku, pokud navíc na konec tyče zavěsíme závaží o hmotnosti $M$.

* Dokažte tvrzení, které jsme při řešení pohybu Huygensova kyvadla použili pro pohyb po cykloidě, totiž, že velikost rychlosti pohybu vyšetřovaného bodu je rovna $2 \frac{\d z}{\d t}$.

Zadali autoři seriálu Honza Houštěk a Lenka Zdeborová.

4. Série 14. Ročníku - 4. zvířátko

Představte si zvířátko, jehož charakteristický rozměr je $L$. Odhadněte, jak na $L$ závisí vzdálenost, kterou je schopné urazit po poušti. A jak závisí na $L$ jeho rychlost běhu po rovině a do kopce? Určete také, jak závisí na velikosti zvířátka výška jeho výskoku.

Nápověda: Uvažte, že $s=vt$. Dále např. uveďme, jak závisí hmotnost zvířátka na $L$: Víme, že $m=\rho V$, kde $\rho$ uvažujme konstantní a $V$ je úměrné $L^{3}$, tedy $m\sim \rho L^{3}\sim L^{3}$, hmotnost zvířátka tedy závisí přímo úměrně na $L^{3}$.

Úlohu vypátral Jan Prokleška.

4. Série 14. Ročníku - P. míček ve vodě

Máme trubku ve tvaru písmene V, jedno rameno je svislé a na konci otevřené, druhé s ním svírá ostrý úhel a je na konci (nahoře) zatavené. Trubka je téměř plná vody a v zataveném rameni nahoře plave míček. Vymyslete způsob, jak dostat míček ven tak, aby voda nevytekla. Nesmíte ji vypustit, svislé rameno musí zůstat pořád svislé a do trubky nesmíte nic strkat.

Úlohu vymyslel Karel Kouřil.

4. Série 14. Ročníku - S. draci

 

  • Vžijte se do role prince, který se chystá useknout drakovi hlavu.

Má dlouhý těžký meč. Jakým místem meče má vést úder, aby ho náraz nepraštil do ruky? Meč můžete považovat za homogenní, nebo navrhnout lepší model.

  • Vymyslete co nejreálnější model, jak draci chrlí oheň. (Slovem nejreálnější nemyslíme návrhy jako „Drak má v žaludku PB–láhev“ a podobné.)

Pokud nevěříte, že draci existují, můžete místo toho vymyslet, jak poznat směr rotace turbíny ve vysavači (aniž byste ho rozebírali).

  • Napište nám své návrhy na obsah dalších dílů seriálu.

Zadali autoři seriálu Lenka Zdeborová a Honza Houšťek.

3. Série 14. Ročníku - 1. rotující koule

Nad vodorovnou podložkou se nachází homogenní koule o poloměru $R$, která rotuje úhlovou rychlostí $\omega_{0}$ kolem vodorovné osy. Jakou rychlostí $v_{0}$ ji musíme vrhnout ve vodorovném směru kolmém na osu rotace, aby se po sérii dopadů na podložku zastavila? Valivý odpor je nulový, nikoliv však smykové tření.

Modifikovaná úloha z 22. MFO na Kubě, zadal Honza Houštek.

2. Série 14. Ročníku - S. kmity

 

  • Určete periodu kmitů soustavy na obr. 3 Tyčka je nehmotná.
  • Mějme dvě stejná závažíčka hmotnosti $m$ spojené vláknem, které prochází dírou ve stolu (viz obr. 4). Závažíčko na stole obíhá bez tření kolem díry ve vzdálenosti $r$ od ní tak, že soustava je v rovnováze. Zjistěte, co se bude

dít, zataháme-li nepatrně za visící závaží.

  • Co má společného kiwi s kyvy?

Zadal autor seriálu Pavel Augustinský.

1. Série 14. Ročníku - 1. levitace

Představme si, že elektrický náboj zeměkoule začne najednou z ničeho nic růst. To znamená, že i vy se začnete nabíjet. Může to dojít tak daleko, že coulombovská síla vyrovná gravitační a vy se odlepíte od Země. Vysvětlete, proč není možné, aby se různě velká tělesa stejné hustoty odlepila ve stejný okamžik. Pro zjednodušení uvažujte, že všechna tělesa mají tvar koule.

Navrhl Miroslav Kladiva na motivy jedné ruské sbírky z FYKOSí knihovničky.

5. Série 13. Ročníku - 3. kyvadlo

Mějme rotační těleso o hmotnosti $m$. Na jeho ose zvolme body $A$ a $B$ vzdálené $d$. Zavěsíme-li těleso v bodě $A$, kývá se se stejnou periodou, jako když jej zavěsíme v bodě $B$. Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející těžištěm a kolmé na osu rotační symetrie je $J$. Určete všechny možné polohy těžiště tělesa vzhledem k bodům $AaB$.

5. Série 13. Ročníku - 4. letící tyč

Mějme v rovině dvě na sebe kolmé přímky $a$ a $b$. V přímce $a$ letí tyč délky $l=5\cdot 10^{7}\,\jd{m}$ rychlostí $v=6\cdot 10^{6}\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$ (tyč je s přímkou rovnoběžná a její střed na ní neustále leží). Vaším úkolem je určit, jaký bude průběh „viděné“ (viz dále) délky tyče v závislosti na její vzdálenosti od průsečíku přímek. Tyč pozorujeme z přímky $b$ v takové vzdálenosti od průsečíku, která je zanedbatelná vůči vzdálenosti tyče od průsečíku.

„Viděná“ délka tyče: k přímce $a$ přiložíme pravítko a letící tyč vyfotografujeme. „Viděnou“ délkou tyče pak rozumíme rozdíl hodnot krajních bodů tyče odečtených z pravítka z fotografie.

4. Série 13. Ročníku - 2. tyč pod napětím

Na konce homogenní tyče o průřezu $S=1\;\mathrm{cm}^{2}$ působí dvě síly $F_{1}=40 \,\jd{N}$ a $F_{2}=100 \,\jd{N}$ v opačných směrech (obě „od tyče“). Určete napětí v průřezu, který dělí tyč na dvě části v poměru $1:2$ (působiště síly $F_{2}$ je na konci kratší části).

3. Série 13. Ročníku - 1. asfaltoví holubi

Na pokusné střelnici se nachází vrhač asfaltových holubů. Ve vzdálenosti $d$ od něj stojí myslivec, snažící se zasáhnout letící cíl. Pod jakým úhlem $α$ musí namířit, aby se trefil, víme-li, že na zamíření potřebuje čas $τ$ (tj. čas od vrhu holuba do výstřelu)? Asfaltoví holubi jsou vrháni kolmo vzhůru rychlostí $v_{h}=25\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$, náboj opouští hlaveň rychlostí $v_{0}=400\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-1}$, vzdálenost $d=50\;\mathrm{m}$ a čas $τ=2\;\mathrm{s}$. Odpor prostředí zanedbejte.

3. Série 13. Ročníku - 4. my name is James Bond...

Představme si autíčko, které jede po letišti rovnoměrně přímočaře (vzhledem k letištní hale) rychlostí $v$. Kromě autíčka stojí na letišti sličná letuška (nestojí na přímce, po které se pohybuje autíčko). V okamžiku, kdy je autíčko letušce nejblíže (t.j. spojnice autíčko - letuška je kolmá na$v$), se řidič rozhodne, že dojede letušku navštívit. Autíčko dokáže v libovolném směru vyvinout zrychlení o maximální velikosti $a$. Za jaký nejkratší čas se autíčko dostane k letušce? Čas se počítá od okamžiku fatálního rozhodnutí. Předpokládejte, že auto u letušky nebude zastavovat ani přibržďovat.

(Nápověda: Uvažujte různé vztažné soustavy.)

2. Série 13. Ročníku - 3. cowboy

Oblíbenou zábavou jednoho fyzikálně nadaného cowboye je střílení z pistole do plechovek. Jednou mu někdo do plechovek nasypal písek. Vystřelená kulka, jak cowboy později zjistil, v písku uvízla. Měla mosazné jádro s olověným pláštěm, který se v písku celý roztavil. Co s toho vyplývá o hmotnosti písku v plechovce, když kulka letěla rychlostí $440 \,\jd{m/s}$, má hmotnost $10 \,\jd{g}$ a hmotnostní podíl olova a mosazi je $1:1$?

2. Série 13. Ročníku - 4. vláček motoráček

Železničáři v Lipce mají dlouhou chvíli a hrají si s vagóny. Mají k dispozici strašně dlouhý kopec na Kubovu Huť se sklonem $2 \text{%}$ (na $100 \,\jd{m}$ délky stoupne o $2 \,\jd{m}$). Předpokládejme, že kopec se najednou zvedá z roviny. Roztlačí-li dlouhou soupravu vagónků na rychlost $5\,\jd{m/s}$, souprava vyjede částečně na kopec (nevyjede tam celá) a zase sjede dolů. Určete čas, po který bude alespoň jedním kolem na kopci. Celková délka soupravy je $120 \,\jd{m}$.

1. Série 13. Ročníku - 2. brzdící vlak

Určete, jaký výkon dodává do elektrické sítě vlak o hmotnosti $m=800\,\jd{t}$, který pomocí elektrodynamických rekuperačních brzd (brzdy, které přemění kinetickou energii vlaku na energii elektrickou) zastaví z rychlosti $v=80\;\mathrm{km}\cdot \,\jd{h^{-1}}$ za $t=2\,\jd{min}$. Účinnost rekuperace uvažujte 50%.

1. Série 13. Ročníku - P. hrníček

Máme stolek a na něm hrníček. Chceme stolek přemístit o $10 \,\jd{m}$ dále. Navrhněte průběh zrychlení tak, aby hrníček nespadl a stolek se přemístil co nejrychleji (přičemž na konci pohybu se nebude hýbat ani hrníček ani stolek). Stůl má rozměry $1\,\jd{×}1 \,\jd{m}$ a hrníček je před pohybem umístěn ve středu. Součinitel klidového tření (mezi hrníčkem a stolem) je $f_{0}=0,19$, koeficient tření v pohybu je $f=0,10$, stůl se může pohybovat maximálně se zrychlením $a_{max}=5\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$. Veškerý pohyb (a tedy i zrychlení) se odehrává v rovině stolu, která je vodorovná.

5. Série 12. Ročníku - 2. dvě láhve

Dvě láhve, jednu plnou vody a jednu prázdnou, necháme kutálet po nakloněné rovině. Která se skutálí rychleji? Pokud ty samé láhve vyšleme se stejnou počáteční rychlostí po nakloněné rovině nahoru, která se dokutálí výše?

5. Série 12. Ročníku - 3. nákladní auto

figure

Nákladní auto bylo naloženo stejnými hladkými kládami. Před jejich vykládkou zastavilo tak, že pravými koly stojí o poznání výše než levými (příslušná přední a zadní kola jsou ovšem ve stejné výšce). Řekněme, že rovina nákladního prostoru svírá s horizontální rovinou úhel $φ$, viz obrázek. Po vykládce zbyly na autě tři klády tak, jak je na obrázku nakresleno plnou čarou. Na jakou hodnotu by se musel snížit úhel $φ$, aby se klády přeuspořádaly tak, že by ležely vedle sebe? Jakékoli tření zanedbejte.

4. Série 12. Ročníku - 1. hokejista

Hokejista jede po ledě jen po jedné brusli. Led, který má hustotu $0,9\,\jd{ g\cdot cm^{-3}}$ pod bruslí taje do hloubky $h=0,03\;\mathrm{mm}$. Nůž brusle je široký $d=2\;\mathrm{mm}$. Skupenské teplo tání ledu je $λ=3,3\cdot 10^{5}\, \jd{J.kg^{-1}}$. Spočtěte velikost třecí síly mezi bruslí a ledem. Tepelnou vodivost ledu zanedbejte.

4. Série 12. Ročníku - 3. tyč ve vodě

Tyč o hustotě $ρ_{1}$ a délce $l$ je za jeden konec pohyblivě připevněna k vodorovné hrazdě (tak, že se okolo ní může tyč volně otáčet), druhý konec volně visí. Pokud budeme pomalu spouštět hrazdu dolů, bude se tyč přibližovat k hladině vody ($ρ>ρ_{1}$) a začne se do ní ponořovat. Zjistěte závislost úhlu, který svírá tyč se svislým směrem, na výšce hrazdy nad hladinou.

3. Série 12. Ročníku - 1. plovoucí krychle

Krychle o hraně $a$ z materiálu o hustotě $\rho_{1}$ plave v kapalině o hustotě $ρ_{2}$. Určete, v jaké poloze se krychle ustálí.

3. Série 12. Ročníku - E. tloušťka

Změřte tloušťku lidského vlasu více metodami, výsledky a chyby jednotlivých metod porovnejte. Vzorek vlasu přiložen.

2. Série 12. Ročníku - E. koulení

Sežeňte si několik (cca 6) předmětů kulového tvaru. Může jít například o míček na pingpong, tenis, fotbalový míč, ocelovou kuličku, hliněnou kuličku… Změřte jejich momenty setrvačnosti. Navrhněte a proveďte další měření s jejichž pomocí budete moci určit, zda se jedná o dutou nebo plnou kouli.

2. Série 12. Ročníku - P. ve výtahu

U každého výtahu v mrakodrapu je jisté riziko, že se zpřetrhají všechna lana, na kterých visí. Abychom předešli případnému úrazu, můžeme výtah vylepšit: Spodní část výtahové šachty utěsníme tak, abychom zamezili úniku vzduchu. Také okolo kabiny výtahu dáme těsnění. Výtah, který se utrhne v horním patře mrakodrapu se zabrzdí o vzduchový polštář, který si pod sebou stlačí. Předpokládejte, že kabina vážící $1000\,\jd{ kg}$ se utrhla $87\,\jd{ m}$ vysoko a vzduchotěsná část výtahové šachty začíná $15\,\jd{ m}$ nad zemí. Jak vysoko nad zemí se kabina nakonec zastaví? Jak velké síly působí po dobu pádu na cestující? V případě výpočtu síly se spokojíme i s kvalifikovaným odhadem, přesný výpočet bude po zásluze odměněn.

1. Série 12. Ročníku - 2. brždění na motocyklu

Vzdálenost mezi osou předního a zadního kola motocyklu je $d=1,4\;\mathrm{m}$, jejich poloměr je $r=0,3\;\mathrm{m}$ a koeficient tření mezi pneumatikami a silnicí je $f=1$. Těžiště motocyklu je uprostřed mezi osami, ve výšce $h=0,8\;\mathrm{m}$ nad zemí. Spočtěte minimální brzdnou vzdálenost pro počáteční rychlost motocyklu $v=60\;\mathrm{km} \cdot \mathrm{h}^{-1}$, jestliže řidič používá

  • jen zadní brzdu
  • jen přední brzdu
  • obě brzdy

Zamyslete se nad získanými výsledky a zkuste je porovnat s vaší zkušeností.

1. Série 12. Ročníku - 4. roztržitý výletník

Roztržitý výletník zaparkoval své auto na kopci se sklonem $\alpha=10^{\circ}$ a zapomněl jej zabrzdit. Jaké maximální rychlosti auto dosáhne? Parametry auta jsou: hmotnost $m=1200\;\mathrm{kg}$, výkon $P=55\,\jd{kW}$, maximální rychlost na rovné silnici $v_{max}=140\;\mathrm{km} \cdot \mathrm{h}^{-1}$. Předpokládejte že, odpor automobilu je úměrný druhé mocnině rychlosti.

1. Série 12. Ročníku - P. planetka

Mějme ve volném prostoru planetku (pro jednoduchost uvažujme, že planetka je homogenní koule o hmotnosti $m$ a poloměru $R)$, na jejíž povrch připevníme raketový motor. Motor je pro ideální zařízení, které má nulovou hmotnost a bez ohledu na cokoli dokáže vyvíjet určitý tah $F$. Motor je upevněn k povrchu planetky a nemůže se od něho odpoutat. Upevněn je tak, aby vyvíjený tah měl směr tečný k povrchu (viz obrázek). Určete, alespoň kvalitativně, jak se bude planetka pohybovat po uvedení motoru v činnost.

6. Série 11. Ročníku - 3. kostka

figure

Když se pokusíme uchopit kostku tak, jak je naznačeno na obrázku, ne vždy se nám to povede. Určete podmínku, za které se to podaří.

6. Série 11. Ročníku - P. zastavení v zatáčce

Představte si, že jednou budou u nás vlaky jezdit opravdu rychle. Nechť rychlík zastaví v oblouku o poloměru $500\,\jd{ m}$, který je klopen pro rychlost $200\,\jd {km/h}$ (tzn. že na cestující v jedoucím rychlíku působí neustále síla jen kolmo dolů). A protože lidé jsou zvědaví, vykloní se všichni z oken na vnitřní straně oblouku, aby zjistili, co se děje. Vaším úkolem je zjistit, kolik lidí musí ve vlaku být, aby se překlopil.

Vlak je složen z 10 čtyřosých rychlíkových vozů o délce $25\,\jd{ m}$, šířce $3\,\jd{ m}$, výšce $4,2\,\jd{ m}$ a hmotnosti $40\,\jd{ t}$. Těžiště vozu je ve výšce $1,2\,\jd{ m }$ od hlavy kolejnice, rozchod koleji je $1738\,\jd{ mm}$. Spodní okraj otevřeného okna nechť je ve výšce $2,5\,\jd{ m}$.

5. Série 11. Ročníku - 4. cvičená opice

figure

Konstrukce atrakce

Novopečený majitel zoologické zahrady by měl rád v pavilonu opic následující atrakci. Na jednom ze dvou prkýnek spojených pantem je ve vzdálenosti $l$ od pantu připevněn miniaturní košíček a na konci prkýnka (ve vzdálenosti $L$ od pantu) je položen míček. Prkýnko je podepřeno banánem, a svírá se zemí úhel $θ$. K této „aparatuře“ přijde hloupá opice (zatím nebyl čas ji vycvičit), a vezme si banán.

Vyvrcholením atrakce by mělo být to, že odbrzděné prkénko se dá do pohybu a míček by měl sám spadnout do košíčku. Diskutujte, zda-li je to vůbec možné a pokud ano, spočtěte jaké musí být $l$ v závislosti na $L$ a úhlu $θ$.

5. Série 11. Ročníku - P. samopal

Rozhodněte jak těžkou krychli lze převrátit střelbou ze samopalu (či spíše menšího děla) o parametrech 50 střel za sekundu, rychlost střely $500\, \jd{m. s^{-1}}$, hmotnost střely $100\,\jd{ g}$. Krychle má hranu dlouhou $1\,\jd{m}$, po podložce neklouže.

4. Série 11. Ročníku - 1. soutěž jehlanů

Vezmeme dva jehlany stejných rozměrů se čtvercovou podstavou o délce podstavné hrany $a$ a výšce $v$. Kromě toho, že jejich rozměry jsou stejné, i jejich hmotnost je stejná. Jeden má drátěné hrany a druhý má plechové stěny. Postavíme je vedle sebe na podložku, kterou začneme naklánět. Který z modelů se dříve překlopí? Tření je tak velké, že jehlany po podložce nebudou klouzat.

3. Série 11. Ročníku - 1. jeřáb

Jeřáb může zdvihat břemeno pouze konstantní svislou silou $F$. Budeme jím zvedat ze země nekonečné lano o délkové hustotě $µ$. Jakou maximální rychlost jeho horní konec během pohybu dosáhne? Jakou maximální výšku dosáhne?

3. Série 11. Ročníku - 4. válec versus kvádr

Mějme homogenní válec a homogenní kvádr. Obě tělesa jsou vyrobena ze stejného materiálu a mají stejnou hmotnost. Hodíme je současně vedle sebe na stůl stejnou počáteční rychlostí $v_{0}$ (hodíme je rovnoběžně s rovinou stolu, svislá složka rychlosti při dopadu je nulová). Válec se na počátku neotáčí. Rozhodněte, které těleso se bude pohybovat rychleji, případně diskutujte fáze pohybu, kdyby se jejich vzájemná pozice s časem měnila. Uvažujte pohled jak silový, tak energetický. Uvažujte, že smyková třecí síla je charakterizovaná pouze součinitelem smykového tření, tj. základní model, kdy smyková třecí síla závisí pouze na normálové přítlačné síle. Valivé tření neuvažujte.

3. Série 11. Ročníku - E. fyzik hudebníkem

Změřte součinitel klidového tření mezi různými materiály (např. papír a dřevo). Při měření využijte gramofonu.

2. Série 11. Ročníku - 2. odraz

Gumová kulička o průměru $1\,\jd{ cm}$ dopadá na ocelovou desku z výšky dvou metrů. Odhadněte řádově, jak velké bude její průměrné zrychlení během odrazu.

1. Série 11. Ročníku - 2. zlaté sloupy

Dva identické zlaté sloupy výšky $200 \,\jd{m}$ a průřezu $1 \,\jd{dm^2}$ jsou umístěny vedle sebe. Jeden z nich je zavěšený a druhý stojí na podložce, oba mají stejnou teplotu $0 \,\C$. Oběma dodáme teplo $5\cdot 10^{6}\, \jd{kJ}$. Budou mít potom stejnou teplotu? Jestliže ne, odhadněte, o kolik se jejich teplota bude lišit. Potřebné údaje si najděte v tabulkách, tepelnou výměnu s okolím zanedbejte.

1. Série 11. Ročníku - 3. slepičí problém

Slepice se po obědě (12:00) chce dostat do kurníku. Neumí však létat, a jelikož žebřík po stěně kurníku klouže, začne bezradně běhat kolem něj. V kolik hodin se do kurníku dostane, když každou hodinu běhání shodí $40\,\jd{g}$ a ve 14 hodin hodlá snést vajíčko? Ve 12:00 váží slepice $m=1,7\;\mathrm{kg}$, vajíčko má hmotnost $m_{v}=30\,\jd{g}$ a žebřík $M=5\;\mathrm{kg}$. Výška kurníku nad dvorkem je $h=0,85\;\mathrm{m}$, sklon žebříku $α=25°$, součinitel smykového tření mezi kurníkem a žebříkem i mezi dvorkem a žebříkem je stejný: $f=0,7$.

1. Série 11. Ročníku - 4. grant strýčka Skrblíka

figure

Zlepsovak 1

figure

Strýček Skrblík se jednou doslechl o perpetuech mobile a vytušil příležitost, jak ještě více zbohatnout. Vypsal grant na vymýšlení „věčných strojů“, ale jediní, kdo se přihlásili, byli jeho synovci. Přinesli strýčkovi následující tři nápady:

  • Základem prvního perpetua je válec, který je dutý, vodotěsný a je upevněn v ose na valivých ložiscích. Obrázek nám objasní funkčnost stroje. Na obě části válce sice působí tíhová síla $G$, ale část $B$ je vůči části $A$ válce nadlehčována vztlakovou silou $V$ dle Archimédova zákona. Válec se bude otáčet a jeho rotační energii převedeme na elektrickou energii.
  • Pokud zahřejeme kapalinu, zvětší svůj objem. Zároveň víme, že kapalina je nestlačitelná. Proto budeme kapalinu zahřívat a ochlazovat, změnu jejího objemu převedeme na mechanickou energii a tu na energii elektrickou. Část takto obdržené energie využijeme na zahřívání kapaliny (ochlazení kapaliny zajistí okolní prostředí, odborně „lázeň“). Zbytek energie roztočí stroje ve Skrblíkových továrnách.

* Do nádoby s vodou je zasunuta kapilára. Díky kapilárním jevům voda naplní celou kapiláru a z horního zahnutého konce odkapává dolů, jak je to vidět na obrázku. Dole je umístěna vodní turbína, která je roztáčena padající vodou, a tak může konat práci.

Strýček se nadšeně pustil do výroby těchto strojů, jaké však bylo jeho zklamání, když zjistil, že ani jediný z nich nefunguje. Od té doby už o žádných „perpetech“ nechce ani slyšet.

Na vás teď je, drazí řešitelé, abyste se pokusili vysvětlit, proč žádný z nápadů synovců strýčka Skrblíka nemůže fungovat jako perpetuum mobile.

1. Série 10. Ročníku - 1. stojánek na víno

figure

Firma Strýček Skrblík s. r. o. zaplavila domací i zahraniční trhy geniálním výrobkem – dřevěným stojánkem na víno, jehož podobu si můžete prohlédnout na obrázku. Bude tento stojánek funkční? Závisí stabilita systému stojánek–láhev vína na velikosti a tvaru láhve či na množství moku v láhvi obsaženém? A pokud ano, tak jak?

4. Série 9. Ročníku - 3. stvoření hvězd

Podle jedné z teorií vznikají hvězdy z oblaku mezihvězdné látky (kosmického prachu) smršťováním pod vlivem gravitačních sil. Určete dobu, za jakou se může zformovat hvězda z obrovského kulového oblaku kosmického prachu o hustotě $ρ=2\cdot 10^{–17}\;\textrm{kg}\cdot \textrm{m}^{–3}$. Můžete předpokládat, že se během smršťování částečky hmoty nepředbíhají a na začátku smršťování měly nulové rychlosti (oblak nijak nerotoval, nebyly v něm víry apod.). Zanedbejte také rozměry vzniknuvší hvězdy vůči počáteční velikosti oblaku.

2. Série 9. Ročníku - 3. válcovací stolice

figure

Dva stejné válce o poloměru $R$, jejichž osy jsou rovnoběžné a leží ve vodorovné rovině ve vzdálenosti $a$, rotují opačnými směry. Na tyto válce položíme vodorovně desku délky $2a$ o hmotnosti $m$ tak, že přečnívá vpravo více než vlevo (viz obr. 2). Mezi deskou a válcem působí tření s koeficientem $μ$. Co se bude dít s deskou,

  • pokud jsou obvodové rychlosti stejně veliké,
  • pokud je obvodová rychlost levého válce dvakrát větší než obvodová rychlost pravého?

5. Série 8. Ročníku - 3. Ondrova stavebnice

Malý Ondra je na svůj věk velice zvídavý chlapec a místo hraní si s autíčky studuje takřka fyzikálně svět. Ve své stavebnici nalezl dřevěnou kouli a válec o stejném průměru i ze stejného materiálu a jal se dělat pokusy. Vhrnul kouli a válec (bez roztočení, viz obrázek) rychlostí $v_{0}$ po podlaze a sledoval, na jaké rychlosti $v$ se pohyb těles ustálí. Byl velice překvapen, když zjistil, že jedno z těles je rychlejší než druhé. Rozeberte teoreticky jeho „experimentální“ zjištění a určete konečné rychlosti těles. Uvažujte pouze smykové tření s koef. $μ$, valivé tření zanedbejte.

5. Série 8. Ročníku - P. co ten skokan pořád chce

Chceme-li demonstrovat metodu řešení soustavy rovnic na našem skokanovi, budeme muset přidat další podmínku: dejme tomu, že první dopad na prkno se mu zdál příliš tvrdý; rozhodl se tedy rozkývat prkno natolik (změnit amplitudu kmitů), aby druhá srážka s prknem proběhla se zanedbatelnou vzájemnou rychlostí. Tedy jak hodnota Funkce, tak Derivace (uvedená v minulém díle) byla v okamžik srážky rovna nule. Vašim úkolem je najít potřebnou amplitudu $A_{n}$ a dobu druhého skoku $T_{n}$ (odráží se opět dole).

4. Série 8. Ročníku - 4. válec kontra zeď

figure

Dřevěný válec o poloměru $R$ a hmotnosti $m$ se valil po podlaze rychlostí $v$ do okamžiku, kdy se zarazil o zeď. O jaký úhel se ještě válec pootočí, než se úplně zastaví? Koeficient tření mezi válcem a stěnou resp. podlahou je $μ$.

3. Série 8. Ročníku - E. grant strýčka Skrblíka

Vašim milovaným strýčkem vám byl zadán úkol zjistit, zda jeho památeční rodinná lžička jest skutečně z ryzího hliníku. Vaše experimentální vybavení je však poněkud skromné: kromě uvedené lžíce dostanete k dispozici závaží o známé hmotnosti, dlouhé pravítko, provázek a dva hřebíky, které můžete zatlouct do zárubně dveří. Navíc zde ještě stojí kbelík plný vody. Navrhněte, výpočty podložte a hlavně proveďte měření, při kterém co nejpřesněji s pomocí jmenovaných pomůcek určíte hustotu materiálu lžičky. Uskutečněte dostatečné množství měření a na základě alespoň nějakých kalkulací také odhadněte věrohodnost vámi obdrženého výsledku.

Nápověda: Pokuste se srovnat hmotnost lžíce a závaží zavěšováním na provázek, který jste (s mírným průvisem) natáhli mezi zárubní dveří.

2. Série 8. Ročníku - P. problém liftboye

Liftboy v mrakodrapu si pověsil na stěnu svého výtahu přesné kyvadlové hodiny, aby viděl, kdy mu končí pracovní doba. Doba pohybu výtahu se zrychlením vzhůru a dolů je stejná. Zrychlení taktéž. Co si myslíte: bude mít chlapec pracovní dobu delší, kratší nebo stejnou?

6. Série 7. Ročníku - 3. bycikl

Bicykl je neobvyklý tím, že jeho přední kolo je menší než zadní. Diskutujte, zda závisí výkon, který můžeme získat z alternátoru, na umístění na předním či zadním kole, případně na konkrétní poloze.

6. Série 7. Ročníku - 4. kámen

figure

O kámen, vystupující do výšky $h$ nad hladinu vody, se jedním koncem opírá tenká deska délky $l$, která je částečně ponořena do vody. (viz obr. 3) Při jakém minimálním koeficientu tření mezi deskou a kamenem bude deska v rovnováze? Hustota dřeva je $ρ$, hustota vody $ρ_{0}$.

5. Série 7. Ročníku - 1. závod láhví

Položíte-li na nakloněnou rovinu dvě láhve, jednu prázdnou a jednu plnou, která z nich se bude kutálet rychleji (jsou to téměř válcové nádoby, osa symetrie kolmo na spádnici)? Pohyb na nakloněné rovině uvažujte bez tření a podkluzování. Přechází-li rovina v hrubší vodorovnou plochu, která z nádob po ní dojede dál? A uvedeme-li je na úpatí nakloněné roviny prudce do pohybu směrem vzhůru, která vyjede výše?

5. Série 7. Ročníku - 3. tyč o stůl opřená

figure

Část parket v obývacím pokoji je tak naleštěna, že po ní předměty kloužou se zanedbatelným třením. Pokoušíme se zde svisle postavit dvoumetrovou dřevěnou tyč, ale když už se nám to skoro podaří, dolní konec podklouzne a tíhová síla uvede tyč do pohybu. Padá volně tak, že její dolní konec klouže po podlaze. Jak musela minimálně být vzdálen deska stolu ve výšce 1 m, aby do ní tyč neuhodila (hrana stolu je kolmo na rovinu pádu tyče)?

Kdyby stůl stál naopak na druhé straně, jak by musel být daleko, aby tyč pod něj právě zajela (příčka mezi nohami stolu je ve výšce 0,5 m – viz obr. 1). Problém, zvláště jeho druhou část, je možné (a snadnější) řešit graficky, ať už s použitím počítače, nebo bez něj.

4. Série 7. Ročníku - 3. nešikovný cyklista

Roztržitý cyklista nezpozoroval, že v plné rychlosti najel do betonové zídky stojící kolmo k jeho dráze. Jakou nejvyšší rychlostí mohl jet, když nedošlo k deformaci ráfku.

4. Série 7. Ročníku - E. moment setrvačnosti smetáku

V této experimentální úloze je našim záměrem, abyste si všichni své navržené postupy také prakticky vyzkoušeli. Vymyslete a proveďte co nepřesnější metodu měření momentu setrvačnosti kuchyňského smetáku (s dlouhou násadou a příčkou na konci) vzhledem k ose rovnoběžné s násadou i ke kolmé na ni (procházející těžištěm). Pokuste se odhadnout přesnost vašeho měření.

3. Série 7. Ročníku - 1. hrabeme se v motoru

Při provozu zážehového motoru automobilu dochází k opotřebení vnitřních stěn válců. Zdůvodněte, v kterých místech válce bude jeho opotřebení největší. A jak je tomu u jiných pístových strojů, např. kompresoru?

1. Série 7. Ročníku - 2. gramofonová přenoska

Raménko s gramofonovou přenoskou je uchyceno v čepu a vyváženo závažím. Pokuste se zdůvodnit proč je celá soustava uspořádána tímto způsobem. Navrhněte velikost a umístění závaží, je-li hmotnost přenosky 15 g, tuhost jehly ve vertikálním směru 80 N\cdot m^{−1} a její vzdálenost od čepu je asi 200 mm, víte-li, že maximální přípustná síla, jíž může jehla tlačit na desku je 0,02 N. Hmotnost ramena přenosky zanedbejte.

1. Série 7. Ročníku - 4. korálek

figure

Na tyči zanedbatelné hmostnosti o celkové délce $4a$ jsou navlečeny ve vzdálenosti $a$ od osy otáčení dvě koule o hmotnosti $m$ (viz obr. 3). Na obou koncích tyče jsou umístěny dokonale pružné odrazné destičky. Tyč je roztočena na úhlovou rychlost $ω_{0}$, a poté jsou uvolněny obě koule. Za předpokladu, že se tyč nadále pohybuje volně a bez tření, určete:

  • Po jaké trajektorii se budou pohybovat obě kuličky vzhledem k pozorovateli v inerciální soustavě.
  • Jak se bude měnit úhlová rychlost soustavy $ω$ v závislosti na čase.
  • Jak by se změnili výsledky předešlých úloh, kdybychom udržovali (např. pomocí motoru) úhlovou rychlost stále na hodnotě $ω_{0}?$

5. Série 2. Ročníku - 1. závažíčko na kouli

Na vrcholu koule poloměru $R$ leží závažíčko, které se v čase nula začne pohybovat. V jaké výšce a kdy se oddělí od povrchu koule?

3. Série 2. Ročníku - 2. klubíčko

Klubíčko s koncem připeněným k začátku nakoněné roviny se kutálí bez tření s podložkou a přitom se rozmotává. Co se při tom děje s energií klubíčka?

4. Série 1. Ročníku - 3. šílená Země

Jak by byl dlouhý den, kdyby se Země otáčela takovou rychlostí, že by se na rovníku kompenzovala odstředivá síla se silou gravitační? Jaké důsledky by tyto podmínky měly pro pohyb těles v různých zeměpisných šířkách (např. pro střelu pohybující se rychlostí $3000\; \textrm{m}\cdot \textrm{s}^{ -1}$ na dráze $6\; \textrm{km}$ ve směru poledníku)? Měla by Země tendenci se deformovat? Jak a proč? Uveďte další zajímavé důsledky.

2. Série 1. Ročníku - 4. pružiny

figure

Model pružin

Pohrajme si s dvěma stejně dlouhými, ale různě tuhými pružinami. (Jejich tuhosti označíme $k_{1}$ a $k_{2}$.) Když je spojíme (viz obrázek), chovají se dohromady jako jediná pružina? Jaká je tuhost $k_{výsl}$ této „výsledné“ pružiny při spojení vedle sebe a jaká při spojení za sebou?

2. Série 1. Ročníku - E. domino

K této úloze budete potřebovat kostičky domina. Postavte si řadu těchto kostiček za sebou. Ťuknete-li lehce do krajní kostičky, začne padat, porazí druhou, ta třetí… Vidíme, že řadou kostiček bude probíhat „vlna“. Experimentujte s touto soustavou.

Změřte rychlost šíření této vlny v závislosti na vzdálenosti kostiček. Zkuste měnit další podmínky vašeho experimentu (např. nakloňte rovinu, na níž kostičky stojí, změňte materiál podložky – hladký, drsný – atd.). Není-li pro vás dostupné domino, zkuste použít třeba krabičky od sirek či jiné vhodné objekty.

Snažte se výsledky fyzikálně komentovat, eventuelně i teoreticky vysvětlit.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner

Partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz