Zadání 6. série 39. ročníku

Martin na houpačku o délce závěsu $l = 2\,\mathrm{m}$ upevnil závaží a vypustil ji z vodorovné polohy. Jaká je hmotnost $m$, kterou Martin na houpačku zavěsil, jestliže se tento nehmotný závěs o nosnosti $T_{\mathrm{max}} = 1\,\mathrm{kN}$ přetrhl v okamžiku, kdy s vertikálou svíral úhel $\varphi=20 ^\circ $? Uvažujte, že jediná hmotná část je samo závaží; předpokládejte, že závěs houpačky je celou dobu napnutý.

Obě desky kondenzátoru provrtáme malou dírou na stejné úrovni. Poté desky přiblížíme velmi blízko k sobě a nabijeme na napětí $U$, abychom vytvořili nábojovou dvojvrstvu. Směrem do díry v deskách míří rychlostí $v$ elektron, pod úhlem $\alpha$ vůči normále a je blíže ke kladné desce. Pod jakým úhlem z díry vyletí na druhé straně? Jaký by byl úhel, kdyby na začátku mířil k záporné desce?

Jarda se k vytvoření palačinky rozhodl využít odstředivou sílu. Na hladkou symetrickou kruhovou pánvičku o poloměru $R$, která se otáčí úhlovou rychlostí $\omega$, rychle nalil na střed těsto hmotnosti $m$. To na začátku utvořilo váleček o výšce $h_0$ a poloměru $r_0$ ($h_0 \ll r_0 < R$). Povrchové napětí mezi těstem a okolní atmosférou je $\sigma_1$, mezi těstem a pánvičkou je $\sigma_2$; mezi pánvičkou a atmosférou je povrchové napětí zanedbatelné. Na rotaci pánvičky dodáváme energii s konstantním výkonem $P$. Uvažujte, že hned po nalití na pánev se vrstva těsta otáčela spolu s ní a gravitace způsobuje jenom to, že vrstva má vždy tvar válce, ale jinak můžeme polohovou potenciální energii zanedbat. Za jak dlouho od začátku otáčení dosáhne těsto okraje rotujícího kruhu?

Nadešel den, kdy Greta dosáhla svého největšího triumfu. Přesvědčila celou populaci čítající 8 miliard lidí, že je nutné se stávající situací klimatu něco dělat. Plán byl radikální: uspořádat masový pochod (běh) proti směru rotace Země, zastavit střídání dne a noci a tím uvrhnout jednu polokouli do věčného stínu pro maximální ochlazení.

Díky pokrokům v genovém inženýrství Greta nahradila celou populaci klony Usaina Bolta – každý váží $100\,\mathrm{kg}$ a dokáže vyvinout rychlost $45\,\mathrm{km\!\cdot\! h^{-1}}$. Dokáže lidstvo v této sestavě zastavit otáčení planety? Kolik takových „super-běžců“ by bylo ve skutečnosti potřeba? Uvažujte rovnoměrné rozprostření lidí po planetě.

Žárlivý soused Jardovi vždycky záviděl jeho krásnou a pečlivě udržovanou zahradu. Na své zarostlé zahradě proto nasbíral do kyblíku slimáky, a když přišla noc, tak je vysypal přímo uprostřed Jardova nejhezčího záhonu. Definujme lineární (definované na přímce) veličiny $z(x,t)$ a $s(x,t)$ popisující Jardův záhon. Veličina $z$ představuje zeleň na daném místě a na začátku (v době vysypání slimáků) je homogenní s hodnotou $z(x,0)=z_0$. Veličina $s$ je koncentrace slimáků na jednotku délky; ta má má ihned po vysypání z kyblíku hodnotu $s_0$ v úseku o délce $l$, jinde je nulová (Jarda všechny své slimáky už vysbíral).

Slimáci se ihned dali do práce – rychlost likvidace zeleně je rovna jejich koncentraci v daném bodě přenásobené koeficientem žravosti $\zeta$. Tok slimáků je roven součinu jejich mobility $\mu$ a gradientu koncentrace zeleně. Nakonec pro slimáky platí rovnice kontinuity a jejich koncentraci považujeme za spojitou veličinu. Jak bude záhon vypadat za čtyři dny, kdy se Jarda vrátí z výběru úloh? Jaké podmínky musí zadané konstanty ($z_0$, $s_0$, $\zeta$, $\mu$) splňovat, aby dávala úloha dobrý smysl?

Bonus: Co by se stalo, kdyby soused slimáky vysypal na kruhovou plošku uprostřed zahrady a úloha by tak byla rovinná?

Tato úloha má otevřené řešení, proto nezapomeňte uvést všechny použité zdroje.

Čím jsou dány současné hranice maximální síly magnetů? Zajímají nás permanentní magnety i elektromagnety. Své řešení podložte výpočty.

Určete hmotnost pružiny $m$ dynamickou metodou z periody jejích kmitů $T$. Měření proveďte pro různé hodnoty známé hodnoty hmotnosti závaží $M$.

Nápověda: Hmotnost pružiny se v její periodě uplatní jednou třetinou, tedy $T=2\pi\sqrt{( M+ m/3)/k}$, kde $k$ je tuhost pružiny.

Při vyřazování starých optických prvků se nám podařilo získat ešeletovou (echelle) mřížku s blazovacím úhlem $\alpha=70^\circ$ a 80 vrypy na milimetr. Mřížka má podél vrypů šířku $s=5\,\mathrm{cm}$ a příčně na vrypy délku $l=10\,\mathrm{cm}$. Chtěli bychom ji použít ke konstrukci ešeletového spektrografu s rozsahem vlnových délek $375$–$690\,\mathrm{nm}$ podle přiloženého schématu. Světlo přivedeme v bodě $A$ pomocí optického vlákna s průměrem $100\,\mathrm{\upmu{}m}$. Výstupní svazek o světelnosti $f\!/8$ se odrazí od levé strany kolimačního parabolického zrcadla $B$. Kolimovaný svazek dopadne na mřížku $C$. Po odrazu od mřížky a druhém odraze od kolimátoru $B$ je svazek odražen rovinným zrcadlem $D$ zpět na pravou stranu kolimátoru. Svazek, nyní opět rovnoběžný, je následně lomený hranolem $E$ z optického skla BK7 se směrem disperze kolmým na disperzi mřížky. Výsledný svazek je objektivovou čočkou $F$ zobrazený na čip kamery $G$, jenž je tvořen mřížkou $2048 \times 2048$ čtvercových pixelů o straně $a=13{,}5\,\mathrm{\upmu{}m}$. Určete

• ohniskovou vzdálenost $F$ a průměr kolimátoru $B$,

• délku základny hranolu $b$ a jeho vrcholový úhel $\beta$,

• ohniskovou vzdálenost objektivu $f$ a jeho průměr $d$.

Snažte se získat co největší rozlišovací schopnost, při které bude požadovaný vlnový rozsah plně pokrytý a celý vstupní svazek bude plně využit s co největší světelnou účinností. Jaké rozlišovací schopnosti takový přístroj dosáhne?

Bonus: Zkonstruujte výsledný ešelogram, tj. obraz zdroje obsahující všechny vlnové délky na čipu s vyznačením vlnových délek ve středu a na okrajích řádů.