Zadání 2. série 36. ročníku

Žlabem na vodu obdélníkového průřezu o šířce $d =10\,\mathrm{cm}$ teče voda. Na její hladinu spadne malý list, který se začne pohybovat rychlostí $60\,\mathrm{cm\cdot s^{-1}}$. Výška vody ve žlabu je $h=1{,}3\,\mathrm{cm}$. Odhadněte, jak dlouho bude trvat nabrat $50\,\mathrm{l}$ vody do připraveného vědra. Komentujte použité předpoklady proudění v porovnaní s reálnou situací.

Uprostřed řeky stojí na voru o zanedbatelné hmotnosti jeřáb a přemisťuje krabice stavebního materiálu o hmotnosti $m$ z jednoho břehu na druhý. V jednom kroku jeřáb naloží materiál na jedné straně řeky, otočí se na druhou stranu, tam materiál vyloží a otočí se zpět. Určete nejmenší hodnotu úhlu, o který se může během jednoho kroku vor vychýlit oproti původní pozici. Jeřáb aproximujme homogenním válcem o hmotnosti $M_{\mathrm{j}}$ a poloměru $r$ a otáčecím ramenem tvaru tenké tyče o délce $kr$. Rychlost řeky i „tření“ mezi vorem a vodou zanedbejte.

Pták Fykosák sleduje, jak se kolem něj v jeho inerciální vztažné soustavě po rovnoběžných trajektoriích pohybují konstantními nerelativistickými rychlostmi dva hmotné body. Stejně jako on najděte odpověď na otázku, jestli se pro nějakého jiného inerciálního pozorovatele můžou tyto trajektorie protnout. Pokud ano, je možné, aby se dané hmotné body při správných počátečních podmínkách srazily v tomto průsečíku? Je to konzistentní s tím, že podle Fykosáka se pohybují paralelně?

Mějme tenký magnet uzavřený uprostřed tenké duté tyče o délce $l$. Materiál tyče je schopný magnetické pole odstiňovat. Těsně za konci tyče je tok magnetického pole roven $\Phi$. Vypočítejte velikost a směr magnetické indukce v rovině kolmé na tyč procházející jejím středem v závislosti na vzdálenosti $r$ od tyče.

Jaké parametry musí mít planeta, aby si udržela atmosféru srovnatelnou se Zemí? Jaké podmínky jsou nutné, aby takovou atmosféru získala?

Naměřte závislost hladiny intenzity zvuku vydávaného vaším reproduktorem/mobilem/počítačem na vzdálenosti od zdroje. Určete také závislost hladiny intenzity na nastavení výstupní hlasitosti (tzv. volume). Nezapomeňte data fitovat.

1. Najděte si molekulu betakarotenu a zkuste spočítat, jakou by měla mít barvu, respektive na jaké vlnové délce absorbuje. Použijte jednoduchý model nekonečné potenciálové jámy, ve které jsou „uvězněny“ $\pi$ elektrony z dvojných vazeb, tedy za každou dvojnou vazbu dva elektrony. Absorpce pak odpovídá takovému přechodu, že elektron přeskočí z nejvyšší obsazené hladiny na první neobsazenou. Srovnejte s experimentální hodnotou. Proč hodnota z našeho modelu nevychází tak, jak bychom chtěli? (5b)
2. Zkusme zlepšit náš model. Při studiu některých látek, především kovů či polovodičů, zavádíme efektivní hmotnost elektronu. Místo toho, abychom složitě popisovali prostředí, ve kterém se elektrony pohybují, se tváříme, že elektrony jsou lehčí nebo těžší než ve skutečnosti. Jakou by musely mít hmotnost, aby nám vyšla správná experimentální hodnota? Uveďte ji v násobcích hmotnosti elektronu. (2b)
3. Pokud vyrobíme mikroskopické kuličky (nanočástice) selenidu kademnatého ($\ce{CdSe}$) o velikosti $2{,}34\,\mathrm{nm}$. Rozzáří se po ozáření UV světlem jasně zelenou barvou na vlnové délce $536\,\mathrm{nm}$. Když je zvětšíme na velikost $2{,}52 nm$, posune se vlnová délka vyzařovaného světla do žluté oblasti s vlnovou délkou $570\,\mathrm{nm}$. Jakou velikost kuliček bychom potřebovali, aby vyzařovaly oranžově na vlnové délce $590\,\mathrm{nm}$? (3b)

   Nápověda $\ce{CdSe}$ je polovodič, má tedy plně obsazený elektronový pás, pak (úzký!) zakázaný pás a nakonec prázdný vodivostní pás. Tedy musíme uvažovat, že vyzařovaný foton odpovídá přeskoku z vodivostního pásu, kde jsou zase stavy známé z nekonečné potenciálové jámy, do obsazeného pásu. Všechny energie vyzařovaných fotonů tedy budou posunuty o neznámou konstantní hodnotu odpovídající šířce zakázaného pásu.

Bonus Nakonec pro ty, které by mrzelo, kdyby si nezaintegrovali – 1s orbital atomu vodíku má sféricky symetrickou vlnovou funkci s radiálním průběhem $\psi(r) = \frac{e^{-r/a_0}}{\sqrt{\pi}a_0^{3/2}}$, kde $a_0=\frac{4\pi \epsilon_0\hbar^2}{me^2}$ je Bohrův poloměr. Protože orbitaly jakožto funkce tří prostorových proměnných by se nám špatně vykreslovaly, raději zobrazujeme oblast, ve které se bude elektron s velkou pravděpodobností vyskytovat. Jaký je poloměr sféry centrované na jádře, ve které se elektron bude vyskytovat s pravděpodobností $95\,\mathrm{\%}$?