Zadání 1. série 22. ročníku

Dvě závaží o hmotnostech $m$ a $M$ jsou spojena pružinou o tuhosti $k$ a leží na hladké podložce (tření můžeme zanedbat). Tělesu $m$ udělíme rychlost $v$ (viz obrázek). Jaká bude nejkratší vzdálenost mezi tělesy a kdy jí dosáhnou?

Jeden pirát má za odměnu dostat pytel zlaťáků. Ale kapitán lodi je lakomý a chce mu to zkomplikovat. Přetavili zlato do válce. A k tomu ještě odlili druhý, velikostně stejný válec z mosazi. Protože uprostřed zlatého je vzduch, váží oba stejně a jsou stejně velké. Jak si má dotyčný pirát vybrat, aby pak nelitoval?

Kačenka se rozhoupává na houpačce následujícím způsobem. Při největší výchylce houpačky se přikrčí, a když je houpačka v nejnižším bodě, opět se postaví. Tyto pohyby neustále opakuje. Poměr vzdálenosti těžiště Kačenky od osy otáčení při pokrčení a při stání je $2^{1⁄12} ≈ 1,06$. Kolikrát se Kačenka zhoupne, než se amplituda houpání zdvojnásobí?

Na nepřehledných křižovatkách či v ostrých zatáčkách někdy bývá vypuklé zrcadlo. Snadno si všimneme, že zrcadlo zkresluje jak vzdálenost, tak i rychlost přijíždějících aut. Naši vzdálenost od zrcadla označíme $d$, vzdálenost přijíždějícího auta od zrcadla $L$, jeho skutečnou rychlost $v$ a poloměr křivosti zrcadla $R$.

Na základě toho, co vidíme v zrcadle, určete, jak daleko se nám přijíždějící auto jeví? Jakou zdánlivou rychlostí se přibližuje? A jak se liší skutečná doba, za kterou přijíždějící auto vjede do křižovatky, od doby, kterou odhadneme z jeho zdánlivé vzdálenosti a zdánlivé rychlosti? Zvolte si rozumné hodnoty parametrů a rozhodněte, zda může být tento rozdíl dob nebezpečný.

Rok 2009 je vyhlášen jako Mezinárodní rok astronomie a připomíná 400 let používání dalekohledů lidstvem. Vraťme se o čtyři staletí zpět, kdy byl dalekohled již k dispozici, ale klasická fyzika ještě v plenkách. V otázce uspořádání světa spolu soupeřily Koperníkův heliocentrický názor a Ptolemaiův geocentrický systém. Navrhněte experiment, resp. pozorování, které mezi oběma představami dokáže rozhodnout. Dostatečně okomentujte, jaký výsledek lze očekávat a co z něj plyne v prospěch či neprospěch uvažovaných uspořádání. Vlastní pozorování není nutné, i když vhodné. Navíc vysvětlete, proč jsou v geocentrickém modelu Slunce a Země spojeny úsečkou?

Změřte rozdíl hustot čerstvého a zkaženého vejce a zjistěte i její časovou závislost! Pokuste se také vysvětlit své výsledky a zvažte užití statistického zpracování.

Tip. Vejce se rychle zkazí například na sluníčku.

// //

1. Jaké by musely nastat podmínky, aby Galileův pokus nevyšel? Šikmá věž v Pise je vysoká $h =55\, \jd{m}$, předpokládejte, že obě koule mají poloměr $R = 8\, \jd{cm}$ a že jedna koule je vyrobena z olova o hustotě $ρ = 11300\, \jd{kg\cdot m^{ − 3}}$. Jakou hustotu by musela mít druhá koule, aby rozdíl v časech dopadu obou koulí byl větší než $ΔT = 0,3\, \jd{s}$?

1. S jakou přesností ověřuje původní Eötvösovo měření rovnosti poměru gravitační a setrvačné hmotnosti pro neutrony a protony, pokud ve dřevě tvoří neutrony 50 procent hmotnosti, zatímco v platině 60 procent hmotnosti? Zanedbejte hmotnost elektronů a vazebné energie.

1. Ověřte užívaný předpoklad o tom, že v Budapešti je $g_{s}$ v porovnání s $g$ zanedbatelné.