Zadání 3. série 36. ročníku

Danka připojila zahradní hadici s vnitřním průměrem $1{,}5\,\mathrm{cm}$ na vodovodní kohoutek na koleji a druhý konec položila na okraj okna na 8. poschodí ve výšce $23\,\mathrm{m}$ nad zemí. Jaký objemový průtok vody by musel kohoutek mít, aby se Dance podařilo postříkat proudem vody lidi stojící pod kolejí ve vodorovné vzdálenosti $9\,\mathrm{m}$ od budovy, kteří ruší noční klid? Může se to Dance podařit, pokud voda stříká vodorovně a nefouká vítr?

Bonus Kde nejdále mohou stát tito lidé, aby na ně Danka hadicí dostříkla, pokud je objemový průtok kohoutku $0{,}4\,\mathrm{l\cdot s^{-1}}$? Danka teď může konec hadice natočit tak, aby voda stříkala pod libovolným úhlem vůči vodorovné rovině.

Protože naše Slunce jednou exploduje, bude potřeba zorganizovat stavbu evakuační lodi, v níž alespoň $0{,}000~001\,\mathrm{\%}$ lidstva získá možnost uniknout. Pro únik si vyberou hvězdu Tau Ceti vzdálenou $12\,\mathrm{ly}$. Podaří se jim sestrojit motory, které za velmi krátký čas zrychlí loď na cestovní rychlost $v = 0{,}75 c$. Bohužel, právě v polovině vzdálenosti k cíli zpozorují jak explozi Slunce, tak explozi Tau Ceti. Jak dlouho před touto strašlivou scénou exploze nastaly v soustavě spojené s lodí? A kdy v soustavě, ve které jsou Slunce i Tau Ceti nehybné? Předpokládejte, že se vzdálenost mezi oběma hvězdami nemění.

Mějme kytaru naladěnou při pokojové teplotě. O kolik půltónů (při temperovaném ladění) se přeladí jednotlivé struny, pokud se přesuneme k táboráku, kde bude o $10\,\mathrm{^\circ\mskip-2mu\mathup{C}}$ chladněji? Bude kytara stále znít naladěně? Vzdálenost mezi body upevnění strun je $d = 65\,\mathrm{cm}$. Struny mají hustotu $\rho = 8~900\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, Youngův modul pružnosti $E = 210\,\mathrm{GPa}$ a teplotní roztažnost $\alpha = 17\cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}}$.

Jaké jevy mohou ovlivnit měření tíhového zrychlení pomocí kyvadla? Odhadněte, kolik platných cifer by musel obsahovat váš výsledek, abyste je naměřili. Uvažujte i jevy, které běžně zanedbáváte.

Třením nabijte předmět a poté proměřte závislost jeho samovolného vybíjení na čase. Určete elektrickou vodivost vzduchu. Uvažujte, že velikost náboje se mění jako \begin{equation*} Q = Q_0 \mathrm{e}^{-\frac{\sigma}{\epsilon}t} \,, \end{equation*} kde $Q_0$ je počáteční náboj, $\epsilon$ je permitivita vzduchu a $\sigma$ je hledaná vodivost.

Nápověda: Zavěste na tenké dlouhé vlákno malý kovový předmět (např. matičku). Třením nabijte brčko a přeneste část náboje na předmět. Měl by se od brčka začít odpuzovat. Z jejich vzájemné vzdálenosti pak určíte součin nábojů a poté vodivost.

1. Podobně jako v seriálu vytvořte pomocí Hückelovy metody matici hamiltoniánu pro molekulu cyklobutadienu a ověřte, že její vlastní čísla jsou $\alpha+2\beta$, $\alpha$, $\alpha$, $\alpha-2\beta$. Načrtněte do diagramu, jaké jsou energie vzniklých orbitalů a jak by je obsadily elektrony. $(4~b)$

   Bonus: Jaký je zásadní rozdíl v charakteru těchto orbitalů a jejich obsazení oproti molekule benzenu, kterou jsme si ukázali v seriálu? Jaké to má pro molekulu cyklobutadienu důsledky? $(2~b)$

2. Zkuste se vrátit k molekule betakarotenu a znovu spočítat, na jaké vlnové délce by měla absorbovat, tentokrát pomocí Hückelovy metody. Kolik by musel být parametr $\beta$, aby vyšla experimentální hodnota?

   Alternativa Pokud narazíte na problém s diagonalizací hamiltoniánu, proveďte úlohu s molekulou hexa-1,3,5-trienu. Experimentální hodnota absorpce je v tomto případě na vlnové délce $250\,\mathrm{nm}$.

    $(4~b)$

3. Co se stane s molekulou (stačí taková, která má jen jednoduché vazby), pokud pomocí UV světla excitujeme elektron ze $\sigma$ do $\sigma^\ast$ orbitalu? $(2~b)$