6. Série 27. Ročníku

Výběr série

1. ... antijádro(2 body)

Máme dvě homogenní nerotující planety tvaru dokonalých koulí s vnějšími poloměry $R$_{Z}. První z nich je dokonalá koule o hustotě $ρ$ a na jejím povrchu je gravitační zrychlení $a$_{g}. Druhá je dutá do poloviny jejího poloměru a až pak je plná.

  • Pokud by obě planety byly ze stejného homogenního materiálu, na povrchu které planety bude větší gravitační zrychlení a jaký bude poměr mezi hodnotami gravitačního zrychlení na obou planetách?
  • Pokud by i na povrchu druhé planety bylo gravitační zrychlení $a$_{g}, jaká by musela být hustota druhé planety?

2. ... go west(2 body)

Již před více než sto lety měření geodetů potvrdila, že když plujeme lodí směrem na západ, ukazují gravimetry větší hodnoty tíhového zrychlení než při cestě na východ. Určete, jaký rozdíl naměříme na rovníku, jestliže nejprve provedeme měření v klidu a poté za konstantní rychlosti 20 uzlů v západním směru.

3. ... kule a šlupka(4 body)

Máme měděnou plnou kouli a měděnou tenkou kulovou slupku (tak tenkou, že můžete zanedbat její tloušťku). Obě mají při pokojové teplotě stejný poloměr. Jak se bude jejich poloměr měnit, když je začneme ohřívat? (Zapište závislost poloměru na teplotě a okomentujte ji.) U měděné slupky uvažujte, že má v sobě malé otvory, které vyrovnávají vnitřní a vnější tlak vzduchu.

4. ... nenasytný pavouk(4 body)

V tmavém koutě číhá pavouk, který právě polapil mouchu a postupně ji tráví za předpokladu, že trávení probíhá podle rovnice

$$ \mathrm{A} + \mathrm{B} \mathop{\rightleftharpoons}_{k_{-1}}^{k_1} \mathrm{AB} \stackrel{k_2}{\longrightarrow} \mathrm C + \mathrm B\,, $$

kde A je muší substrát, B jsou trávicí látky (neustále v dostatku) a C je produkt trávení. AB označuje nestabilní meziprodukt. Reakce je prvního řádu, tzn. rychlost je přímo úměrná koncentraci dané látky. Určete, za jak dlouho se pavouk vydá opět na lov, jestliže mu interoreceptory oznámí pocit hladu při poklesu koncentrace substrátu na 10 % původní hodnoty.

Nápověda   Použijte aproximaci stacionárního stavu meziproduktu.

5. ... toaleťák(4 body)

Roli s papírem uchytíme do ložiska (bez tření) a necháme odmotávat konec papíru (zanedbáme lepení vrstev na sebe, tření v ložisku a hmotnost ložiska). Jakou úhlovou rychlostí se bude otáčet rulička potom, co se odmotá všechen papír? Známe poloměr a hmotnost ruličky, délkovou hustotu papíru, jeho celkovou hmotnost a délku. Uvažujte, že se papír bude odmotávat do nekonečné hloubky. Bonus   Uvažujte, že papír dopadne na zem dříve, než se celý odmotá.

P. ... světlo přesně podle norem(5 bodů)

Navrhněte rozmístění světel nad stolem tak, abyste dodrželi normy pro osvětlení. K dispozici máte dostatečné množství kompaktních zářivek (lidově úsporných žárovek) se světelným tokem $P$ = 1 400 lm. Normy říkají, že pro běžné pracovní úkony má být osvětlení pracovní plochy $E$ = 300 lx. Zářivky můžete umístit do libovolných pozic na strop ve výšce $H$ = 2 m nad pracovní plochu. Pro jednoduchost uvažujte čtvercovou pracovní plochu o straně $a$ = 1 m a zářivku považujte za bodový izotropní zdroj záření. Odraz a rozptyl světla zanedbejte.

E. ... želatinová rychlost světla(8 bodů)

Určete rychlost světla v průhledném želatinovém dortu, který sami připravíte. Nezapomeňte popsat jeho složení.

Nápověda   Sežeňte si na to třeba laser nebo mikrovlnku.

S. ... seriálová(6 bodů)

* Jak bude vypadat spektrum otevřené struny na hmotnostní hladině $M$² = 2 ⁄ $α′$? Kolik máme možných stavů struny na této hladině?

  • Pokud bychom uvažovali interakci tachyonu s jinými strunami, zjistili bychom, že ho můžeme popsat přibližně jako částici pohybující se v nějakém potenciálu. Uvažujme model struny, která je upevněna na nestabilní D-bráně. Odpovídající potenciál tachyonu je určen vztahem

$$V(\phi)=\frac{1}{3\alpha'}\frac{1}{2\phi _0}(\phi-\phi _0)^2\left (\phi \frac{1}{2}\phi _0\right )\,,$$

kde  $$\alpha'$$

  • Teorie superstrun umožňuje popis fermionů. Pro jejich popis je však potřeba antikomutujících veličin. Pro ty se zavede namísto komutátoru antikomutátor vztahem

$$\{A,B\}=AB BA\,.$$

Najděte takové dvě  $$2\times 2$$