3. Série 27. Ročníku

Výběr série

Termín odeslání poštou: -
Termín uploadu: -

(2 body)1. zatmění

Kolem hvězdy obíhá po kruhové dráze planeta a kolem ní obíhá taktéž po kruhové dráze měsíc, a to v rovině jejího oběhu. Víme, že při zatmění slunce je úhlová velikost měsíce stejná jako úhlová velikost slunce, pozorováno z planety (tj. měsíc slunce přesně zakryje). Dále ještě víme, že při zatmění měsíce naopak planeta přesně zakryje měsíc. Určete, jaký je poměr poloměrů planety $R$ a měsíce $r$, jestliže je vzdálenost planety od hvězdy mnohem větší než vzdálenost měsíce od planety $L$ a ta je zase řádově větší než rozměry $R$, $r$.

Mirek prohledával archivy Всероссийской астрономической олимпиады.

(2 body)2. Středozemní moře

Jak rychle v průměru teče voda Gibraltarským průlivem, když umožňuje střídání přílivu a odlivu ve Středozemním moři? Potřebné údaje si najděte na internetu a nezapomeňte citovat!

Lukáš byl překvapen výškou přílivu.

(4 body)3. pohárkovo vanová

Vezměme prázdný válcový kelímek. Otočme ho dnem vzhůru a tlačme ho pod klidnou vodní hladinu. Jak vysoký bude vzduchový sloupec v kelímku v závislosti na jeho ponoření?

Karel se inspiroval tím, jak si dříve hrával s kelímkem ve vaně.

(4 body)4. Ani k stáru, ani k stáru...

Balón i s košem má hmotnost $M$. Koš balónu se ponoří do přehrady a nateče do něj voda. Nyní trochu přitopíme a zvýšíme vztlak balónu na $Mg+F$. Koš má tvar hranolu se čtvercovou podstavou o hraně $a$ a je ponořený do hloubky $H$. Otvory v koši tvoří $p≪1$ z celkové plochy koše, o kterém předpokládáme, že je prázdný (kromě vody). Zanedbejme viskozitu vody a vlastní objem koše. Jak rychle se bude koš vynořovat v závislosti na hloubce ponoření?

Bonus: Za jak dlouho se vynoří?

Nápověda: Střední rychlost výtoku vody z části koše nad hladinou je rovna 2/3 maximální rychlosti výtoku.

Napadla Lukáše při sledování filmu Vratné lahve.

(5 bodů)5. mig-mig!

Chudák hladový kojot chce ulovit proradného ptáka Uličníka a přichystal na něj následující past: na pevné lano přiváže 500tunovou kovadlinu, přehodí ji přes větev tak, aby visela nad silnicí, a bude čekat. Kolikrát musí lano kolem větve obtočit, jestliže chce kovadlinu udržet ve vzduchu pouze vlastní vahou? Předpokládejte, že hmotnost lana je vůči hmotnosti kojota zanedbatelná.

Mirek vždy fandil kojotovi.

(5 bodů)P. solární pohon

Mohlo by letadlo létat na solární pohon?

Dominika s Honzem a Michalem chtěli odletět to teplých krajin.

(8 bodů)E. viskozoidní

Každá kapalina má svou specifickou viskozitu. Pokuste se doma vyrobit průtokový viskozimetr a změřit relativní viskozitu několika vhodných tekutin (alespoň tří) vůči vodě. Vaše výsledky porovnejte s údaji vyhledanými na internetu.

Kiki při navažování v lékárně štvalo, jak všechno teče jinak.

(6 bodů)S. Aplikační

 

  • V textu seriálu jsme využili přibližný vztah pro √( 1 + $h)$, kde $hje$ malá hodnota. Zkoumejte, jak přesná je to aproximace. Jak moc se může $h$ lišit od nuly, aby se aproximovaná a přesná hodnota lišily o méně než deset procent? Podobnou aproximaci můžeme provést pro libovolnou rozumnou funkci pomocí tzv. Taylorova rozvoje. Pokuste se na internetu najít Taylorův rozvoj například pro funkce cos$h$ a sin$h$ kolem bodu $h=0$, zanedbejte členy vyšší než $h$ a najděte přibližnou mezní hodnotu $h$, kdy se aproximovaná a přesná hodnota liší o 0.1.
  • Uvažujme vlnovou rovnici pro klasickou strunu ze seriálu a nechť je struna pevně upevněna na jednom konci v bodě [ $x;y]=[0;0]$ a na druhém konci v bodě [ $x;y]=[l;0]$. Pro jaké hodnoty $ω,α,aabje$ výraz

$$y(x,t)=\sin ({\alpha} x)\left [a\sin {({\omega} t)} b\cos {({\omega} t)}\right ]$$

řešením vlnové rovnice? Tip Dosaďte do pohybové rovnice a využijte okrajové podmínky.

  • V minulém díle seriálu jsme porovnávali hodnoty akce pro různé trajektorie částice. Nyní vypočtěte hodnotu Nambu-Gotovy akce pro uzavřenou strunu, která od času 0 do času $t$ stojí na místě v rovině ( $x¹,x)$ a má tvar kruhu o poloměru $R$. Máme tedy

$$X({\tau} , {\sigma} )=(c{\tau} , R\cos {{\sigma} }, R\sin {{\sigma} },0)$$

pro $σ∈<0,2π>$. Načrtněte dále, jak vypadá světoplocha této struny (na poslední, nulovou komponentu zapomeňme) a jak vypadají čáry konstantního $τ$ a $σ$.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz