3. Série 18. Ročníku

Výběr série

Termín odeslání poštou: -
Termín uploadu: -

1. teplota na Zemi

Průměrná teplota na povrchu Země je $T$ = 287 K. Jaká bude nová průměrná teplota $T'$, pokud se střední vzdálenost mezi Zemí a Sluncem zkrátí o 1 %?

Část úlohy z 28. MFO v Kanadě.

2. pobřežní hlídka

figure

Plavčík stojící ve vzdálenosti $D$ od břehu moře náhle spatří topící se bujnou blondýnku, která doplavala do vzdálenosti $D$ od břehu (viz obr. 1). Poraďte mu, jak se k ní má co nejrychleji dostat, pokud jeho rychlost běhu je $v$ a rychlost plavání $v/2$. Vzdálenost okraje moře od plavčíka závisí na úhlu $\varphi$ se spojnicí plavčíka a blondýnky následujícím předpisem $$d(\phi) = \frac{D}{3}( 8\cos{\phi}- {2\sqrt{16\cos^2{\phi}-12\cos{\phi} -3}}-3)$$

3. nabitá krychle

Jaký je poměr hodnot elektrostatického potenciálu ve vrcholu a ve středu nevodivé rovnoměrně nabité krychle? Celkový náboj na krychli je $Q$ a délka strany krychle je $a$. Předpokládejte, že elektrický potenciál v nekonečnu je nulový.

Vymyslel Pavel Augustinský.

4. s větroněm přes kanál

figure

Jeden známý letec se rozhodl ve větroni přeletět kanál La Manche. V Calais se nechal vyvléci do výšky h = 3 km a z této výšky se přímým klouzavým letem vypravil do Anglie. Jako dobrý pilot ví, kterak při ustáleném letu vypadá závislost klesací rychlosti $v_{kles}$ na dopředné rychlosti $v_{dop}$ (viz grafna obr. 2). Poraďte mu, jak rychle má letět, aby doletěl co nejdál.

Když je ve třech čtvrtinách cesty do Anglie, začne od ostrovů fučet silný vítr o rychlosti 10 $ms^{-1}$. Rozhodněte, jak rychle má letět nyní, aby se dostal co nejdál. Jaká by musela být rychlost větru, aby mu znemožnila přistát na pevnině, případně aby mu umožnila návrat do Francie?

Úlohu vymyslel pilot Matouš Ringel.

P. věž z vozíčků

figure

Určete zrychlení prvního a stého vozíčku odspodu na obrázku 3. Vozíčků je nekonečně mnoho, na obrázku jsou zakresleny jen první čtyři. Spodní vozíček má hmotnost $m$, další vozíček, který po něm jezdí, a závaží, se kterým je spojen, má hmotnost $m/2$. Podobně další vozíček a závaží má hmotnost $m/4$, atd. Předpokládejte, že jsou závaží připevněná k vozíčkům, tj. že se ve svislém směru neodchylují. Tření mezi jednotlivými vozíčky zanedbejte.

O úloze se zmínil Honza Houštěk.

E. hustota vzduchu

Změřte hustotu vzduchu. Provést to můžete libovolnou metodou, nezapomeňte k vaší metodě uvést potřebnou teorii. Správný experimentální výsledek nesmí také postrádat určení chyby změřené hodnoty.

Navrhl Pavel Augustinský.

S. Lagrangeovy rovnice 1. druhu

 

  • Mějme hmotný bod zavěšený na nehmotném a nepružném vlákně. Zaveďte kartézskou souřadnicovou soustavu a v ní napište podmínku pro hmotný bod. * Napište Lagrangeovy rovnice 1. druhu pro hmotný bod z části a). Ukažte, že jsou ekvivalentní s rovnicí matematického kyvadla d^{2}$\varphi/dt^{2}$ + $g/l$ \cdot sin $\varphi$ = 0, kde $\varphi$ je úhlová výchylka z rovnovážné polohy. * Malé těleso je v klidu na vrcholu polokoule a začne klouzat dolů. Pomocí Lagrangeových rovnic 1. druhu určete, v jaké výšce se těleso odlepí od polokoule. ( Nápověda: Těleso se odlepí v okamžiku, kdy $\lambda$ = 0.)

Úlohu zadali autoři seriálu Honza Prachař a Jarda Trnka.