5. Série 27. Ročníku

Výběr série

Série

1. ... natlakovaná žirafa(2 body)

Porovnejte krevní tlak v hlavě dospělé žirafy a dospělého člověka. Systolický tlak na úrovni srdce je u člověka $p$_{h1} = 120 mmHg a u žirafy $p$_{g1} = 280 mmHg, hustota krve obou živočichů je $ρ$ = 1 050 kg·m³. Uvažujte pouze případ, kdy člověk i žirafa stojí. Rychlost proudění krve v těle považujte za konstantní.

2. ... uranová hvězda(2 body)

Představme si, že ve hvězdách neprobíhá termojaderná fúze, nýbrž štěpná jaderná reakce. Odhadněte, jak dlouho by taková hvězda dokázala vyzařovat, jestliže na počátku svého životního cyklu sestává pouze z uranu 235, její hmotnost i zářivý výkon jsou přibližně konstantní a odpovídají současným hodnotám pro Slunce.

3. ... ta jemná nádoba(3 body)

Mějme válcovou nádobu, jež zaujímá objem $V$ = 1 l. Nádoba je uzavřena vzduchotěsným pohyblivým pístem, který má nezanedbatelnou hmotnost $M$. Dále víme, že nádoba je vodorovnými přepážkami rozdělena na $n$ komor a v $i$-té komoře (číslováno odshora) je 2^{$i$}$a$ částic, kde $a$ je blíže neurčená konstanta. Přepážky nejsou k nádobě připevněny, přesto nedovolují, aby si komory, v nichž je ideální plyn, vyměňovaly teplo nebo částice. Celý systém je v rovnováze. Poté zdvojnásobíme hmotnost pístu a počkáme, až se náš systém opět ustaví v rovnováze. Jak se změní objem, který plyn v nádobě zaujímá? Atmosferický tlak neuvažujte.

4. ... trojúhelníkový odporníček(4 body)

figure

Určete odpor trojúhelníku vytvořeného z odporového drátu mezi svorkami A a B, které vidíte na obrázku. Jedna strana malého trojúhelníčku (ze kterých se skládá velký trojúhelník) má odpor $R$_{0}. Odpor přívodních vodičů neuvažujte.

5. ... hlídání dětí(5 bodů)

Mějme houpačku zavěšenou na dvou svislých lanech délky $l$ = 1.5 m na vodorovné tyči o poloměru $r$ = 4 cm. Dítěti sedícímu na houpačce udělíme v dolní úvrati takovou rychlost $v$_{0}, aby dítě vykonalo celou otočku kolem horizontální tyče a lana byla během namotávání stále napnutá. Zároveň chceme, aby počáteční rychlost byla nejmenší možná. Určete rozdíl úhlové rychlosti $ω$_{1} houpačky s dítětem po návratu do dolní úvrati a počáteční úhlové rychlosti $ω$_{0}.

Nápověda    Pro výpočet odstředivého zrychlení můžete uvažovat, že se dítě pohybuje lokálně po kružnici.

P. ... fyzika v plamenech(5 bodů)

Na jakých fyzikálních (a chemických) parametrech závisí teplota, kterou hoří nějaká konkrétní látka? Jak? Určete tuto teplotu pro nějakou konkrétní látku.

E. ... gumipuk(8 bodů)

Závaží o hmotnosti $m$ na gumičce délky $l$_{0} je zavěšeno v pevném bodě o souřadnicích $x$ = 0 a $y$ = 0. Z osy $x$, která je horizontálně, závaží pouštíme. Jaká bude závislost nejnižšího dosaženého bodu na poloze na ose $x$?

S. ... struna(6 bodů)

* Uvažujme otevřené struny a omezme se jen na tři prostorové rozměry.

Namalujte, jak vypadá

	  * struna volně se pohybující v~časoprostoru,
	  * struna připevněná oběma konci k~D2-bráně,
	  * struna natažená mezi D2-bránou a~D1-bránou.

Jaké jsou možnosti, kde mohou struny končit v~případě konfigurace tří
rovnoběžných D2-brán?
  * Vyberte si jednu z~funkcí~

$$\mathcal{P}_{\mu}^{\tau}$$

nebo~

$$\mathcal{P}_{\mu}^{\sigma}$$ definovanou v první části seriálu a najděte

její explicitní tvar (tj.~přímo závislost na~

$$\dot{X}^{\mu}$$ ).

Ukažte, že podmínky~

$$\vect{X}'\cdot \dot{\vect{X}}=0$$

a~

$$|\dot{\vect{X}}|^2=-|\vect{X}'|^2$$ opravdu vedou

na~zjednodušení uvedené v~textu.
  * Najděte spektrum energií harmonického oscilátoru.

	  * Energie harmonického oscilátoru je dána Hamiltoniánem
	

$$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m} \frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2\,.$$

	Druhý člen je očividně potenciální energií zatímco první dává
	po~dosazení~

$$\hat{p}=m\hat{v}$$ kinetickou energii. Definujme lineární

	kombinaci~

$$\hat{\alpha}=a\hat{x} \mathrm{i} b\hat{p}$$

	a~

$$b$$ , tak aby měl Hamiltonián tvar

$$\hat{H}=\hbar \omega \left(\hat{\alpha} ^{\dagger}\hat{\alpha} \frac{1}{2}\right)\,,$$

	kde 

$$\hat{\alpha} ^{\dagger}$$

	  * Ukažte ze znalosti kanonických komutačních relací pro~

$$\hat{x}$$

	a~

$$\hat{p}$$ , že platí

$$\left[\hat{\alpha},\hat{\alpha}\right]=0\,,\quad\left[\hat{\alpha} ^{\dagger},\hat{\alpha} ^{\dagger}\right]=0\,,\quad\left[\hat{\alpha} ,\hat{\alpha} ^{\dagger}\right]=1\,.$$

	
	  * Ve spektru oscilátoru bude určitě stav s~minimální energií odpovídající
	nejmenšímu možnému kmitání. Označme ho~

$$|0\rangle$$ . Tento stav musí

	splňovat~

$$\alpha |0\rangle =0$$ . Ukažte, že je jeho energie

	rovna~

$$\hbar\omega/2$$ ,

	tj.~

$$\hat{H}|0\rangle=\hbar\omega/2|0\rangle$$ . Dále

	ověřte, že pokud by bylo~

$$\alpha |0\rangle \neq 0$$ , pak máme spor s tím, že

	má~

$$|0\rangle$$ minimální energii, tj. <img src=„https://latex.codecogs.com/gif.latex?\hat{H}\alpha |0\rangle=E\alpha

	|0\rangle">, kde nyní je~

$$E<\hbar\omega/2$$ . Všechny vlastní stavy

	Hamiltoniánu můžeme potom psát jako~

$$\left(\alpha^{\dagger}\right) ^n|0\rangle$$

	pro~

$$n=0,1,2,\dots$$ taková,

	že~

$$\hat{H}\left(\alpha^{\dagger}\right) ^n|0\rangle=E_n\left(\alpha^{\dagger}\right)^n|0\rangle$$

Tip   Použijte komutační relace pro  $$\hat{\alpha}^{\dagger}$$ .