2. Série 28. Ročníku

Výběr série

1. ... Svatá Anna chladna z rána(2 body)

V chladném ranním oparu odcházíte z domu a zahradní branka funguje tak, jak má – na zmáčknutí kliky se otevře, po zavření a puštění kliky zůstane zavřená, zaklapnutá. Odpoledne se vracíte a říkáte si, který lump zase nezavřel… A ejhle, ono zavřít nejde. Ani po stisknutí kliky nezaleze ocelový jazýček natolik, aby prošel kolem hliníkového rámu. Branka je také z hliníku. Kde je problém? Co zapomněl výrobce při navrhování branky uvažovat? Navrhněte, jaké rozměry by měla mít branka při 20 °C, jestliže uvažujeme, že teplota během roku neklesá pod −30 °C a nepřesahuje 50 °C.

2. ... poživačná buňka(2 body)

Odhadněte na základě znalostí pouze makroskopicky měřitelných veličin, počtu buněk v lidském těle a počtu částic v látkovém množství jednoho molu, kolik molekul kyslíku „spotřebuje“ denně jedna lidská buňka. Potřebné údaje k výpočtu si nalezněte a svoje zdroje nezapomeňte citovat.

3. ... nedočkavé jádro(4 body)

Jádro bismutu ^{209}Bi sedí nedočkavě v pokoji na místě. V jednom okamžiku to nevydrží a rozpadne se. Zůstane nám z něj jádro thalia ^{205}Tl a od něho letí pryč $α$ částice. Jakou rychlostí by se pohybovala $α$ částice, pokud by se energie uvolněná při rozpadu přeměnila pouze na její kinetickou energii? Jakou rychlostí se bude $α$ částice pohybovat ve skutečnosti? Výsledky porovnejte. Klidové hmotnosti atomů jsou $M$ = $m$_{^{209}Bi} = 208,980 399 u, $M′$ = $m$_{^{205}Tl} = 204,974 428 u, $m$ = $m$_{^{4}He} = 4,002 602 u. Nezapomeňte ověřit, jestli není potřeba používat relativistické vztahy.

4. ... Boeing(4 body)

Uvažujte pneumatiku válcovitého tvaru o poloměru $R$ s vnitřním otvorem o poloměru $r$ šířky $d$ huštěnou na tlak $p$. Pneumatiku zatížíme silou $F$. Při tomto zatížení se změní tvar pneumatiky z válce na válcovou úseč se stejným vnitřním i vnějším poloměrem. Předpokládejte, že se teplota pneumatiky zatížením nezmění. Určete plochu styku pneumatiky s vozovkou.

5. ... gravitační manévry(5 bodů)

Máme družici, která obíhá Slunce po eliptické dráze. Pokud zmenšíme rychlost v afelu $v$_{a} na 4⁄5 původní rychlosti (tj. na 4⁄5$v$_{a}), jak se změní rychlost družice v periheliu? Vyjádřete novou rychlost za pomoci původní rychlosti $v$_{p} a parametrů elipsy (hlavní poloosa $a$ a relativní excentricita $ε$).

P. ... problém obchodního cestujícího(5 bodů)

Když se začínaly prosazovat digitální mobilní telefony, byl často problém se příjmem hovorů v automobilu. Nyní se to nejvíce týká vlaků. Jaké faktory ovlivňují přenos dat v GSM síti a jak mohou ovlivnit dostupnost signálu operátora? Jak by se proti tomu dalo bojovat?

E. ... vodní rozpad(8 bodů)

V jaké hloubce pod vodovodním kohoutkem se rozpadá pramínek vody na kapičky? Jak to závisí na průtoku vody?

S. ... numerická(6 bodů)

* Délkové veličiny zadáváme v metrech, časové v sekundách a hmotnostní v kilogramech. Úhlovou rychlost $Ω$ zadáváme v radiánech za čas. Když vezmete ze seriálu rovnice pro pohyb míče, nachází se v nich ale ještě tři parametry: $α$, $β$, $γ$. Jaké jsou jejich rozměry?

  • Uvažujte volný pád míče s $Ω$ = 0 a $v$_{$x$} = 0. Existuje pak konečná rychlost $v$_{$z$}^{t}, při které se vyrovná třecí síla a tíhové zrychlení a pád míče už nezrychluje.
  • Určete tuto rychlost pomocí parametrů z rovnic pohybu pro míč.
  • Obraťte tuto rovnost tak, aby vyjadřovala $β$. $v$_{$z$}^{t} se dá dobře měřit a pro fotbalový míč o hmotnosti $m$ = 0,5 kg je typicky okolo 25 m·s^{ −1}. Kolik je pak $β$?
  • Vyjádřete si počáteční $v$_{$x$} a $v$_{$z$} pomocí úhlu výstřelu $φ$ při fixní počáteční rychlosti $v$ = 10 m·s^{ −1}. Sepište program podle seriálu a vyzkoušejte měnit počáteční podmínky a parametry následovně
  • Zvolte nějaké kladné $β$, vypněte rotaci $Ω$ = 0 a zjistěte, zda je úhel výstřelu, pod kterým doletí míč nejdál, menší nebo větší než 45°. Svoje zjištění demonstrujte pomocí grafů letu.
  • Zvolte nenulové kladné $α$ s numerickou hodnotou v daných jednotkách stejnou jako $β$, $γ$ = 0,01 (v daných jednotkách) a $Ω$ = ± 5 rad·s^{ −1}. Jak se v daných případech změní optimální úhel výstřelu?
  • Bonus    Jak byste tedy nejdále dohodili krikeťákem? Je náš model pro tuto úvahu dostatečný?