2. Série 2. Ročníku

Výběr série

Série

1. ... loď ve vaně( bodů)

Může bitevní loď plavat ve vaně? Máme samozřejmě na mysli dostatečně velkou vanu nebo dostatečně malou loď. V každém případě je okolo lodě celkem málo vody. Mějme konkrétně loď s hmotností 100 tun a vanu, ve které je 1 m³ vody.

2. ... dvě kuličky( bodů)

Uvažujme tělísko o hmotnosti $m$ nacházející se v klidu v gravitačním poli velmi těžké kuličky, jejíž velikost lze zanedbat, s hmotností $M$ » $m$. Zkuste spočítat nebo odhadnout dobu, za kterou tělísko dopadne na kuličku, je-li mezi nimi na začátku vzdálenost $R$. Zkuste navrhnout fyzikální situaci odpovídající této sestavě.

3. ... jak rychlá je lokomotiva?( bodů)

Na obrázku je letecký snímek parních lokomotiv s oblaky páry pohybujících se rovnoměrně po přímých rovnoběžných kolejích. Rychlost první lokomotivy je $v$_{1} = 50 km ⁄ h, rychlost druhé $v$_{2} = 70 km ⁄ h. Směry rychlostí jsou vyznačeny na obrázku. Jaká je rychlost třetí lokomotivy?

4. ... výška sloupce vzduchu( bodů)

V barometrické trubici je sloupec vzduchu. Při teplotě $t$_{0} = 10° C je výška sloupce $l$_{0} = 10 cm. Jaká bude jeho výška při teplotě $t$ = 30° C?

E. ... homole( bodů)

Sypeme-li přášek (suchý písek, mouku apod.) volně na jedno místo, vznikne kužel s vrcholovým úhlem $α$. Co lze o tomto úhlu pokusně zjistit? Umíte výsledek nějak zdůvodnit?

S. ... vektory( bodů)

figure

Dvě soustavy

* Mějme zadané dvě soustavy souřadnic pomocí vektorů $**e**$_{$x$}, $**e**$_{$y$} a $**e**$_{$x$}$′$, $**e**$_{$y$}$′$ a společného počátku P. Vzájemnou polohu soustav máme zadanou pomocí souřadnic $a$_{$xx$}, $a$_{$xy$}, $a$_{$yx$}, $a$_{$yy$} vektorů $**e**$_{$x$}$′$, $**e**$_{$y$}$′$ vůči bázi $**e**$_{$x$}, $**e**$_{$y$}. $**e**$_{$x$}$′$ = $a$_{$xx$}$**e**$_{$x$} + $a$_{$xy$}$**e**$_{$y$}$,

e$_{$y$}$′$~=~$a$_{$yx$}$e$_{$x$}~+~$a$_{$yy$}$e$_{$y$}$.$ Odvoďte transformační vztahy mezi souřadnicemi $x$, $y$ a $x′$, $y′$ v~závislosti na koeficientech $a$_{$xx$}, $a$_{$xy$}, $a$_{$yx$}, $a$_{$yy$} (tj. předpis, jak z $x$ a $y$ vypočítat $x′$ a $y′$ a naopak).

Jelikož obě soustavy mohly být obecné (nepravoúhlé, bez stejných jednotek), bylo potřeba k zadání vzájemného vztahu soustav udat čtyři koeficienty $a$_{$xx$}, $a$_{$xy$}, $a$_{$yx$}, $a$_{$yy$}. Pokud budou obě soustavy kartézské (pravoúhlé s jednotkovým měřítkem), tak musí být délky vektorů $**e**$_{$x$}, $**e**$_{$y$} resp. $**e**$_{$x$}$′$, $**e**$_{$y$}$′$ jednotkové a vektory musí být na sebe kolmé. K udání vzájemné polohy pak stačí zadat vzájemný úhel $φ$. Jak souvisí v tomto případě koeficienty $a$_{$xx$}, $a$_{$xy$}, $a$_{$yx$}, $a$_{$yy$} s úhlem $φ$?