4. Série 7. Ročníku

Výběr série

Série

1. ... vláček( bodů)

Dlouhá vlaková souprava délky $l$ jede po dráze, která z vodorovného úseku přechází ve svah se sklonem $a$. V okamžiku, kdy se vlak zastavil, byla na svahu přesně polovina vagónů. Jaká byla doba, za kterou vyjely tyto vagóny na svah. Tření zanedbejte.

2. ... kužel( bodů)

Hmotný bod se v tíhovém poli Země pohybuje po vnitřku kuželové plochy s vrcholovým úhlem $2α$, jejíž osa symetrie má svislý směr (viz obr. 1). V čase $t$ = 0 se částice nachází ve výšce $z$_{0} a má rychlost $v$_{0}. Tato rychlost má směr tečny ke kružnici na průniku kužele s vodorovnou rovinou $z$ = $z$_{0}.

  • Obíhá-li částice v konstantní výšce $z$_{0}, dokažte, že velikost rychlosti je určena pouze touto výškou a nezávisí na úhlu $α$.
  • Při obecném pohybu určete body obratu $z$_{1} a $z$_{2}, tj. maximální a minimální výšku, do které částice vystoupí.

Diskutujte trajektorii částice v soustavě spojené s částicí a soustavě spojené se Zemí. Tření neuvažujte.

3. ... nešikovný cyklista( bodů)

Roztržitý cyklista nezpozoroval, že v plné rychlosti najel do betonové zídky stojící kolmo k jeho dráze. Jakou nejvyšší rychlostí mohl jet, když nedošlo k deformaci ráfku.

P. ... čočka( bodů)

Čočka je věc natolik známá, že si asi každý myslí, že zde již žádné problémy nejsou. Opak je pravdou. Čočky mají spoustu vad a jedna z nich je způsobena závislostí indexu lomu na vlnové délce. V praxi se vyrábějí takové čočky, aby pokud možno lámaly světlo všech vlnových délek stejně. Takové čočky se vyrábějí z více materiálů a požadavkem je, aby několik zadaných vlnových délek prošlo stejně. Vaším úkolem bude navrhnout takovou plosku-vypouklou čočku (plochá je u 1. materiálu).

  • Máte 2 materiály o indexu lomu $n$ a dvě zadané vlnové délky $λ$_{1} ,$λ$_{1}:

<table> <tr><th> </th><th>1. materiál</th><th>2. materiál</th></tr> <tr><td>$λ$_{1}</td><td>$n$_{1,1}</td><td>$n$_{1,2}</td></tr> <tr><td>$λ$_{2}</td><td>$n$_{2,1}</td><td>$n$_{2,2}</td></tr> </table> Z těchto materiálů navrhněte plosko-vypouklou čočku (tj. najděte vhodné poloměry křivosti ploch při daném pořadí materiálů) o optické mohutnosti $D$. Čočka bude ve vzduchu, tj. $n$ = 1.

  • Jelikož lidské oko je citlivé hlavně na tři barvy (červená, zelená a modrá), je velmi důležitá tato úloha: Máte 3 materiály s indexy lomu

<table> <tr> <th>barva</th> <th>tavený křemen</th> <th>Schott K3</th> <th>Eastman Kodak – 110</th> </tr> <tr> <td>červená</td> <td>1,454</td> <td>1,512</td> <td>1,689</td> </tr> <tr> <td>zelená</td> <td>1,459</td> <td>1,518</td> <td>1,697</td> </tr> <tr> <td>modrá</td> <td>1,470</td> <td>1,533</td> <td>1,718</td> </tr> </table> Nalezněte příslušné poloměry křivosti $r$_{1}, $r$_{2}, $r$_{3}. (Pořadí materiálů je 1., 2., 3. a čočka je plochá u 1.).

  • Pokuste se napsat obecný postup řešení (rovnici a algoritmus řešení) tohoto problému pro $x$ vlnových délek pomocí matic. (Tento postup je např. velmi vhodný u b).)

E. ... moment setrvačnosti smetáku( bodů)

V této experimentální úloze je našim záměrem, abyste si všichni své navržené postupy také prakticky vyzkoušeli. Vymyslete a proveďte co nepřesnější metodu měření momentu setrvačnosti kuchyňského smetáku (s dlouhou násadou a příčkou na konci) vzhledem k ose rovnoběžné s násadou i ke kolmé na ni (procházející těžištěm). Pokuste se odhadnout přesnost vašeho měření.

S. ... zase paradoxy( bodů)

* Po objasnění problému rytířů pro vás nebude obtížné vysvětlit následující paradox. Tyč délky $d$, která se pohybuje vysokou rychlostí (ve směru své délky) vodorovně těsně nad zemí, prolétá nad ústím kanálu, jehož klidová délka je taktéž $d$. V klidu by tyč do kanálu přesně zapadla, za pohybu se ale situace komplikuje. Z hlediska kanálu (klidová soustava) se tyč zkracuje, takže by měla hladce propadnout (tyč letí tak nízko, že nemůže kanál jednoduše přeletět a přitom jsou všechny její body stále ve stejné výšce), naopak pro tyč se zkrátil kanál a tedy nepřichází v úvahu, že by se do něj vešla. Jak to tedy dopadne?

  • Opusťme již pozorování jen v jednom směru a podívejte se kolem sebe. Přeneste se do automobilu jedoucího značnou (tedy relativistickou) rychlostí dlouhou ulicí. Uvážíte-li relativistické efekty a konečnou rychlost šíření světla, jak se změní podoba ulice, okolních domů i silnice v dálce?