4. Série 8. Ročníku

Výběr série

1. ... částice v magnetickém poli( bodů)

Nabitá částice vstupuje do prostředí, ve kterém na ni působí odporová síla. Směr této síly je opačný, než směr rychlosti částice, a její velikost je rychlosti přímo úměrná. Než se částice zastaví, urazí v prostředí dráhu $l$_{1 } = 10 cm. Je-li v prostředí navíc homogenní magnetické pole kolmé na směr rychlosti částice, pak se částice zastaví ve vzdálenosti $l$_{2} = 6 cm od místa, kde do prostředí vstoupila. V jaké vzdálenosti $l$_{3} od místa vstupu do prostředí se částice zastaví, když bude magnetické pole dvakrát menší?

2. ... jak asi táhne komín( bodů)

Vertikální roura výšky $h$ = 1 m s plochou podstavy $S$ = 50 cm^{2} je z obou stran otevřená. V dolní části roury se nachází ohřívač o výkonu $N$ = 100 W. Jaká bude rychlost proudění vzduchu v troubě? Lze předpokládat, že veškerý tepelný výkon ohřívače se spotřebuje na ohřátí vzduchu. Atmosférický tlak je $p$_{0} = 100 kPa, teplota okolního vzduchu $t$ = 20 °C. Molární tepelná kapacita vzduchu při konstantním objemu je $C$_{V} = 2,5 $R$, kde $R$ je plynová konstanta.

3. ... smyčky a smyčata( bodů)

V magnetickém poli jsme v rovině kolmé na jeho směr umístili smyčky následujících tvarů (viz obrázek) zhotovené z tenkého odporového drátu. Intenzita pole začne klesat konstantní rychlostí. Jaké proudy potečou v jednot­livých částech smyček?

4. ... válec kontra zeď( bodů)

Dřevěný válec o  poloměru $R$ a hmotnosti $m$ se valil po podlaze rychlostí $v$ do okamžiku, kdy se zarazil o zeď. O jaký úhel se ještě válec pootočí, než se úplně zastaví? Koeficient tření mezi válcem a stěnou resp. podlahou je $μ$.

P. ... sférická vada čočky( bodů)

Spojná čočka má mít tu vlastnost, že svazek paprsků jdoucích z nekonečna rovnoběžně s osou, se zobrazí do jednoho ohniska. Tak je tomu však jen v ideálním případě paprsků jdoucích blízko osy. Uvažujte reálnou čočku s jedním povrchem rovinným a jedním kulovým o poloměru $R$, její průměr jest $D$. V jakém bodě se protnou paprsky dopadající rovnoběžně s osou právě ve vzdálenosti $x$ od osy? Jak velká je oblast těchto bodů na ose? Řešte pro světlo dopadající ze zakulacené strany, případně i pro opačné nasměrování čočky.

S. ... tečná metoda( bodů)

Vezměte poslední popisovanou metodu tečen neboli Newtonovu, která určuje následující bod podle vzorce $c$ = $b$ − funkce($b$) ⁄ derivace($b$) – pro ty neznalé derivování uvádíme pro náš případ

derivace($t$) = −$gt$ + $v$ − 2$pA$/$T$ sin (2$pt$/$T$).

Řešte touto metodou zadanou úlohu a ověřte rychlost konvergence jak pro přesný odhad počátečního intervalu (0,88; 1,02), tak pro hrubý odhad (0; 10).

Zjistěte, jak závisí přesnost dosaženého výsledku na počtu kroků u všech popsaných metod (bisekce, regula falsi, metoda sečen a tečen), tedy ověřte, zda je zpřesňování lineární, kvadratické, či jiné. Je tato vlastnost ovlivněna volbou počátečního intervalu?