6. Série 18. Ročníku

Výběr série

1. ... fotoefekt( bodů)

Na katodu fotočlánku dopadá ze rtuťové výbojky světlo o vlnové délce 546,1 nm a k potlačení proudu vznikajícího díky fotoelektrickému jevu je potřeba napětí $U$_{1} = 1,563 V. Dopadá-li na katodu světlo o vlnové délce 404,7 nm, je potřeba napětí $U$_{2} = 2,356 V. Vypočítejte hodnotu Planckovy konstanty $h$.

2. ... jak vyrobit černou díru( bodů)

Pokud stlačíme hvězdu (či jakékoliv jiné těleso) na kouli o poloměru $r$_{g}, zhroutí se nenávratně do černé díry. Tzv. Schwarzschildův poloměr $r$_{g} si lze v klasické analogii představit jako poloměr tělesa o hmotnosti $M$, z jehož povrchu lze uniknout pouze rychlostí světla (úniková rychlost je $c$).

Na základě znalosti hmotnosti hvězdy $M$ určete Schwarzschildův poloměr $r$_{g} a kritickou hustotu hvězdy $ρ$, při které se přemění v černou díru. Příklad řešte obecně a poté konkrétně pro Zemi, Slunce a jádro galaxie o hmotnosti 100 miliard Sluncí.

3. ... sonda NASA(0 bodů)

figure

Jet Propulsion Laboratory v Kalifornii vyvíjí pro NASA nový typraketových pohonů. Pohonná jednotka využívá hybnost $α$-částic při rozpadu nuklidu fermia $~^{257}_{100}Fm_{157}$, jehož hmotnost je $m_{Fm}$ a poločas rozpadu $T$. Druhým produktem přeměny je nuklid kalifornia $~^{253}_{98}Cf_{155}$. Hmotnost $α$-částice je $m_{α}$, hmotnost nuklidu kaliforniaje $m_{Cf}$, přeměnou se uvolní energie $E$. Předpokládejte, že každá $α$-částice opouští raketu ve stejném směru.

Vesmírná sonda s popsaným pohonem je na počátku v klidu, její hmotnost je $M$, hmotnost pohonné látky je také $M$. Určete rychlost sondy $v$ po přeměně poloviny hmotnosti nuklidů fermia.Výslednou hodnotu dopočítejte i číselně pro hodnoty $E = 1,106·10^{-12}~J$, $M = 4 kg$ a $T = 100,5 dní$, ostatní hodnoty najdete v tabulkách.

4. ... nezastavitelný chodec( bodů)

Vraťte se na chvíli do Atén na loňské olympijské hry a určete, jaká je teoretická maximální rychlost chodce. Chodec nebude diskvalifikován, pokud se každý rozhodčí (pozorovatel) shodne na tom, že alespoň jedna noha chodce stojí v každém okamžiku na zemi.

P. ... výlet na Stonehenge(0 bodů)

figure

Představte si, že v raketě prolétáváte nad Stonehenge. Ten je tvořen kameny ve tvaru kvádrů rozmístěných do vrcholů pravidelného dvanáctiúhelníku (viz obrázek 2) o poloměru 200. Letíte nad osou $x$ ve výšce $z~$= 50 a díváte se vodorovným směrem. Když jste v bodě o souřadnicích  ( $-~$200$, $0 ) , resp. ( 0$, $0 ) , uvidíte svět přesně tak, jak je zobrazen na obrázku 6, přičemž oba máte shodné oči (tzn. např. stejný zorný úhel). Z obrázků přibližně určete poměr rychlosti rakety a rychlosti světla.

E. ... chyťte foton( bodů)

Změřte rychlost světla ve vakuu. Provést to můžete libovolným způsobem, použijte třeba i mikrovlnnou troubu.

S. ... Hamiltonův formalismus( bodů)

Langrangián částice v elektromagnetickém poli je$L~$=$~$½ $mv$²$~-~qφ~$+$~q**v**~·~**A**~$= ½ $m$ · ∑_{$i~$= 1}^{3} $v$_{$i$}²$~-~qφ~$+$~q$ · ∑_{$i~$= 1}^{3} $v$_{$i$} $A$_{$i$}$~,$

kde $φ$ je elektrický potenciál a $**A**$ magnetický vektorový potenciál.

  • Určete zobecněné hybnosti částice $p$_{$i$} příslušející rychlostem $v$_{$i$}.
  • Napište Hamiltonovu funkci (v proměnných ($x$_{$i$}$, p$_{$i$})!).
  • Řešte Hamiltonovy rovnice, je-li $**A**~$= 0 a $φ~$=$~-~Ex$_{1}.