4. Série 25. Ročníku

Výběr série

Série

1. ... schody z Chrudimi(2 body)

Eskalátory v metru na náměstí Míru mají $n$ schodů a pohybují se rychlostí $v$. Spočtěte, kolik schodů ve skutečnosti vyšlapete, pokud po nich jdete rychlostí $v$_{1}: a) po směru jízdy, b) proti směru jízdy. Při pohybu proti směru uvažujte, že $v$_{1} > $v$.

2. ... gatling(2 body)

figure

Stroj byl původně navržen pro distribuci semen do země, ale ukázal se jako mnohem užitečnější pro distribuci olova do nepřátel (rotační kulomet). Spočítejte, kde vzhledem k hlavni Gatlingu hrozí nebezpečí zasažení kulkou. Ráže je $d$, počet hlavní $n$, vzdálenost osy hlavně od osy hřídele je $r$, otáčky všech hlavní jsou $f$, kadence výstřelů je $F$ a úsťová rychlost střel $v$.

3. ... kámen letí(3 body)

Hodíme kulatý kámen o hmotnosti $m$ z výšky $h$ nad hladinou do rybníka o hloubce $d$. Přibližně za jak dlouho spadne na dno? Jak se výsledek změní, když kámen nebude kulatý, ale placatý?

4. ... stavinoha(4 body)

Model rakety má motůrek, jenž dává konstantní tah, dokud má palivo o počáteční hmotnosti $m$_{p}. Prázdná raketa váží $m$_{0} a motor palivo spaluje lineárně s časem. Do jaké výšky může raketa vyletět, letí-li v homogenním gravitačním poli a zanedbáme-li odpor vzduchu?

5. ... únik plynu(4 body)

Spočtěte, kolik procent své hmotnosti za rok ztratí zemská atmosféra, pokud uvážíte, že končí 10 km nad zemí, po celé své výšce má konstantní tlak (stejný jako u hladiny moře), je tvořena ideálním plynem o teplotě 300 K, splňuje Maxwellovo rychlostní rozdělení a gravitace se v jejím objemu nijak neprojevuje.

P. ... účet za topení(5 bodů)

V některých bytovkách se teplá voda ohřívá centrálně pro všechny její obyvatele. V zásobníku je během dne udržována konstantní teplota vody. Šetřiví obyvatelé však ohřev na noc vypínají, voda tedy do rána vystydne a poté se opět musí ohřát. Odhadněte (na základě vyhledaných údajů), kolik energie se tímto ušetří, a navrhněte obyvatelům lepší způsoby, jak ušetřit při zachování komfortu.

E. ... už to bublá!(8 bodů)

Změřte účinnost rychlovarné konvice. Údaj o příkonu naleznete obvykle na samolepce zespodu konvice. Výkon určíte tak, že zjistíte, o kolik stupňů Celsia se zahřál daný objem vody za jednotku času. Pokuste s se minimalizovat chybu měření a popište, jak jste se toho snažili dosáhnout.

Varování   Rozhodně sami nepoužívejte voltmetr a ampérmetr u takto vysokého napětí a proudu.

S. ... serial(6 bodů)

* Spirální galaxie můžeme velmi hrubě popsat logaritmickou spirálou $r$ ( $φ$ ) = $r$ ( 0 ) exp$~(~φ$ tan Φ ) $,$ kde $r$ a $φ$ jsou polární souřadnice a Φ je úhel otevření odpovídající úhlu, který svírá kolmice k průvodiči s tečnou ke spirále (úhel otevření roste ve směru hodinových ručiček, vyjadřujeme jej v radiánech, přičemž hodnota může nabývat více než 2π). Zvažme Φ = 10$°$. Odvoďte vztah pro poměr vzdáleností dvou sousedních závitů téhož spirálního ramene od centra galaxie. Jak by se poměr změnil, kdyby ramena byla čtyři (rovnoměrně rozložená). Vyjádřete vzdálenost pro sousední ramena v $r$ ( 0 ) = 8 kpc.

  • Uvažujte nekonečný vesmír s konstantní hustotou hvězd a bez extinkce. Vyjádřete vztahy pro integrální

a diferenciální počet hvězd v závislosti na zdánlivé hvězdné velikosti. Co se stane, bude-li zdánlivá hvězdná velikost velká?

  • Bonus Jaká je pravděpodobnost, že dvě hvězdy se nám v galaxii promítnou za sebe?

Uvažujte osamocené hvězdy, ne dvojhvězdy.