2. Série 27. Ročníku

Výběr série

Termín odeslání poštou: -
Termín uploadu: -

(2 body)1. Twix

Tyčinka Twix obsahuje 32 % polevy. Jde o váleček průměru 10 mm. Neuvažujte polevu podstavy. Jak je poleva tlustá?

Bonus: Uvažujte lepší model tyčinky.

Lukáše překvapil objem.

(2 body)2. létavé dřevo

Máme dřevěnou kuličku ve výšce $h=1\;\mathrm{m}$ nad Zemí o poloměru $R_{Z}=6378\;\mathrm{km}$ a hmotnosti $M_{Z}=5,97\cdot 10^{24}\;\mathrm{kg}$. Kulička má poloměr $r=1\;\mathrm{cm}$ a je ze dřeva o hustotě $ρ=550\;\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}^{-3}$. Předpokládejte, že Země má náboj $Q=5C$. Jaký náboj $q$ by musela mít kulička, aby se mohla vznášet nad Zemí? Jak tento výsledek závisí na výšce $h?$

Karel přemýšlel, co zadat jednoduchého.

(4 body)3. týrání pístu

Máme nádobu o konstantním průřezu, která obsahuje ideální plyn a píst ve výšce $h$. Píst nejprve rychle (tzn. prakticky adiabaticky) stlačíme do výšky $h⁄2$, podržíme ho, než nastane tepelná rovnováha s okolím, a pak ho pustíme. Do jaké výšky píst vystoupá ihned? Do jaké výšky vystoupá za dlouhou dobu? Nakreslete $pV$ diagram.

Karel přemýšlel nad pístem.

(4 body)4. hvězdná velikost Měsíce

Je známo, že Měsíc v úplňku má zdánlivou hvězdnou velikost přibližně -12 mag a Slunce na denní obloze zase -27 mag. Pokuste se odhadnout, jakou hvězdnou velikost má Měsíc těsně před zatměním Slunce, pokud víte, že albedo Země činí 0,36 a albedo Měsíce 0,12. Předpokládejte, že světlo se po odrazu rozptyluje stejným způsobem na povrchu Země i Měsíce.

Janči byl oslepený.

(5 bodů)5. kelímek na vodě

Kužel obrácený podstavou vzhůru může držet ve vzduchu na stříkajícím proudu vody, který vychází ze země s konstantním hmotnostním průtokem a počáteční rychlostí $v_{0}$. V jaké výšce nad zemí se bude kužel v rovnováze vznášet?

Bonus: Vyšetřete stabilitu kužele v této poloze.

Radomír pil až do dna.

(4 body)P. Temelínská

Odhadněte, kolik jaderného paliva se spotřebuje v jaderné elektrárně na 1 MWh elektrické energie, kterou spotřebují lidé až v domácnosti. Srovnejte to se spotřebou paliva v tepelné elektrárně. Nezapomeňte uvažovat všechny možné ztráty.

Bonus: Uvažte i energii, která se spotřebuje při těžbě a přepravě potřebných surovin.

Karel přemýšlel nad ČEZem.

(8 bodů)E. kutululů

Máme nakloněnou rovinu, na které postrčíme míček, aby se začal kutálet bez prokluzování směrem nahoru po nakloněné rovině. Změřte závislost rychlosti míčku na čase a určete závislost ztráty energie na čase. Nakloněná rovina nechť svírá úhel s vodorovnou rovinou úhel $α10°$. Nezapomeňte popsat parametry vašeho míčku.

Karel se zamyslel nad výrokem koulelo se koulelo.

(6 bodů)S. akční

 

  • Jaký je fyzikální rozměr akce? (Jaké má tato veličina jednotky?) Má stejnou jednotku jako některá z fundamentálních konstant z první otázky k minulému dílu seriálu? Která?
  • $Od$ Nielse Bohra$ – Uvažujte pohyb hmotného bodu po kružnici s dostředivou silou

$$F_\;\mathrm{d} = m a_\mathrm{d} = \frac{\alpha}{r^2}\,,$$

kde $rje$ poloměr kružnice a $α$ nějaká konstanta. Pak

  • Spočítejte redukovanou akci $S_{0}$ pro jeden oběh po kružnici jako funkci jejího poloměru $r$.
  • Určete hodnoty $r_{n}$, pro které je hodnota $S_{0}$ přirozeným násobkem konstanty z podúlohy a).
  • Celková energie hmotného bodu je $E=T+V$. Pro tuto sílu je $V=-α⁄r$. Vyjádřete energie $E_{n}$ částic v závislosti na poloměrech $r_{n}$ za pomoci uvedených konstant.

Tip Jistě jste ve fyzice probírali pohyb po kružnici a odpovídající vztahy mezi pohybovými veličinami. Použijte je a pak se integrace akce po obvodu kružnice s konstantním $r$ podstatně zjednoduší (veličiny konstantní při integraci můžete před integrál vytknout). Nezapomeňte také, že samotný dráhový integrál „ničeho“ je prostě délka zintegrované dráhy.

  • Poslední podúloha může znít komplikovaně, ale je pouhým cvičením na derivaci a integraci jednoduchých funkcí. Vystačíte si se základními tabulkovými derivacemi a integrály. Ověřte, že plná akce $S$ pro volnou částici pohybující se z bodu [ 0$;0]$ do bodu [ 2$;1]je$ pro trajektorii odpovídající přímočarému pohybu (první případ) minimální, tedy je větší v ostatních dvou případech

$$\mathbf{y}(t)=\left(2t,t\right), \, \mathbf{y}(t)=\left(1-\cos{(\pi t)} \frac{1}{\pi}\sin{2\pi t}, t\right), \, \mathbf{y}(t)=\left( 2t, \frac{\;\mathrm{e}^t-1 t^2(t-1)}{\mathrm{e}-1}\right) \,,$$

kde e je Eulerovo číslo. Tip Nejprve spočtěte derivaci $\textbf{y}(t)$, dosaďte do výrazu pro akci a zintegrujte.