5. Série 28. Ročníku

Výběr série

1. ... tuhost pana Plancka(2 body)

Možná jste někdy slyšeli o takzvaných Planckových jednotkách, tj. jednotkách vyjádřených na základě fundamentálních fyzikálních konstant – rychlosti světla $c~≈~$3.00 · 10^{8} m·s^{ − 1}, gravitační&nbspkonstanty $G$ = 6.67 · 10^{-11} m³·kg^{ − 1}·s^{ − 2} a redukované Planckovy konstanty $ħ$ = 1.05 · 10&nbsp^{-34} kg·m²·s^{ − 1}. Takto bývá často zmiňován Planckův čas, Planckova délka a Planckova hmotnost. Co kdyby nás ale zajímala „Planckova tuhost pružiny“? Sestavte na základě rozměrové analýzy z $c$, $G$ a $ħ$ vzorec jednotky odpovídající tuhosti pružiny [ $k$ ] = kg·s^{ − 2}. Pro určení vzorce uvažujte, že neznámá a z rozměrové analýzy neurčitelná multiplikativní bezrozměrná konstanta je rovna 1.

2. ... slyším dobře, to nemohu říct(2 body)

Ve vzdálenosti $d$ = 5 m od bodového zdroje zvuku slyšíme zvuk o hladině intenzity $L$_{1} = 90 dB. V jaké vzdálenosti od zdroje je hladina intenzity tohoto zvuku $L$_{2} = 50 dB?

3. ... matfyzácká honička(4 body)

$N$ lidí se rozhodne hrát na honěnou, ale ne jen tak ledajakou. Na začátku se rozmístí do vrcholů pravidelného $N$-úhelníku o straně délky $a$. Hra poté probíhá tak, že každý honí (to znamená běží přímo za ním) svého souseda po pravé ruce (proti směru hodinových ručiček). Každý se přitom pohybuje rychlostí o konstantní velikosti $v$. Popište průběh hry (trajektorie, po kterých se hráči pohybují) a zjistěte, za jak dlouho hra skončí v závislosti na parametrech $N$, $a$, $v$.

4. ... lijavec(4 body)

Podzimní počasí je občas stejně rozmařilé, jako to jarní, a tak nás nezřídka může na cestě zastihnout nečekaný liják. Někteří šťastlivci s sebou nosí deštník. Odhadněte, jak velkým tlakem dokáže hustý déšť na deštník působit a porovnejte tíhovou sílu deštníku s tlakovou silou deště. Parametry deštníku vhodně zvolte.

5. ... plavala čočka po vodě(5 bodů)

Na hladině vody plove tenká bikonkávní (dvojvypuklá) čočka z lehkého materiálu. Poloměry křivosti obou povrchů jsou $R$ = 20 cm. Určete vzdálenost mezi obrazovým a předmětovým ohniskem čočky, jestliže index lomu vzduchu nad čočkou je $n$_{a} = 1, index lomu materiálu čočky je $n$_{l} = 1.5 a index lomu vody je $n$_{w} = 1.3.

Bonus   Předpokládejte, že se jedná o čočku tloušťky $T$ = 3 cm, uvnitř níž je symetricky umístěna vzduchová dutina tvaru bikonkávní čočky s poloměry křivosti $r$ = 50 cm a tloušťkou $t$ = 1 cm.

P. ... vycákaná(5 bodů)

Bylo by možné plavat v bazénu, kdyby se voda v něm chovala jako dokonale nestlačitelná kapalina, jejíž viskozita se limitně blíží nule? Jak by se pohyb plavce odlišoval od plavání v běžné vodě? Co by se dělo s energií soustavy plavec a bazén v případě, že voda z bazénu může vytékat přes okraj? Na počátku je hladina vody zarovnaná s okrajem.

E. ... sladíme(8 bodů)

Změřte závislost teploty tuhnutí vodného roztoku sacharózy na koncentraci za atmosférického tlaku.

S. ... mapovací(6 bodů)

* Ukažte, že pro libovolné hodnoty parametrů $K$ a $T$ můžete Standardní mapu ze seriálu vyjádřit jako

$$x_{n} = x_{n-1} y_{n-1},$$

$$\\ y_n = y_{n-1} K \sin(x),$$

kde $x, y$ jsou nějak přeškálovaná  d$φ$ ⁄ d$t~,φ$. Určete fyzikální rozměr $K, x, y$.

  • Podívejte se znova na model nakopávaného rotoru ze seriálu a vezměte tentokrát předávaný impuls $I$ ( $φ$ ) = $I$_{0}, po periodě $T$ pak $I$ ( $φ$ ) = $-~I$_{0}, po další zase $I$_{0} a takto dokola kopejte rotor tam a zpátky.
  • Napište mapu $φ$_{$n$}$,~$d$φ$ ⁄ d$t~$_{$n$} na základě hodnot $φ$_{$n~-~$1}$,~$d$φ$ ⁄ d$t~$_{$n~-~$1} před dvojkopem  ± $I$_{0}.
  • Bude zkonstruovaná mapa chaotická? Proč ne?
  • Vyřešte $φ$_{$n$}$,~$d$φ$ ⁄ d$t~$_{$n$} na základě nějakých počátečních podmínek $φ$_{0}$,~$d$φ$ ⁄ d$t~$_{0} pro libovolné $n$.
  • $Bonus:$ Zkuste podle ingrediencí ze seriálu navrhnout kopání, které $bude$ dávat chaotickou dynamiku. Dávejte ale pozor na to, že $φ$ je 2π-periodické a že by se vám  d$φ$ ⁄ d$t~$ nemělo vyšroubovat kopáním donekonečna.