5. Série 29. Ročníku

Výběr série

1. ... už to teče(2 body)

Tenký drát s odporem $R$ = 100 mΩ a délkou $l$ = 1 m, který je připojen ke zdroji stejnosměrného napětí $U$ = 3 V, obsahuje ve svém objemu $N$ = 10^{22} volných elektronů, kterými přispívá k toku elektrického proudu. Určete, jak velkou průměrnou (přesněji střední) rychlostí se elektrony v drátu pohybují.

2. ... mnohočásticová(2 body)

Mějme nádobu, která je pomyslně rozdělena na dvě shodné disjunktní oblasti A a B. V nádobě je $n$ částic, z nichž se každá nachází s pravděpodobností 50 % v části A a s pravděpodobností 50 % v části B. Určete, s jakou pravděpodobností bude v části A $n$_{$A$} = 0,6$n$, resp. $n$_{$A$} = 1 + $n$ ⁄ 2 částic. Řešte pro $n$ = 10 a $n$ = $N$_{A}, kde $N$_{A}$~≈~$6 · 10^{23}  je Avogadrova konstanta.

3. ... egyptská brána(3 body)

figure

Ve starověkém Egyptu uměli vyrobit bránu, ale ještě neznali mříže, tak brány zavírali nilany (vápencovými kameny). Na obrázku vidíte 150 otroků o hmotnosti $m$ = 60 kg, kteří právě velmi pomalu otevírají bránu zavřenou nilanem o hmotnosti $M$ = 8 t. Nilan přesně (vzduchotěsně) pasuje do konstrukce nad bránou ve tvaru kvádru, která má vnitřní rozměry $a$ = 3 m, $b$ = 0,5 m a $c$ = 3 m. Uvnitř konstrukce je na počátku tlak $p$_{0} = 100 kPa a teplota $T$_{0} = 300 K a je umístěna ve výšce $H$ = 3 m. Určete, jak vysoko jsou otroci schopni vlastní vahou nilan zdvihnout, jestliže se teplota vzduchu nemění.

4. ... bezpečná jízda(4 body)

Máme auto, které se blíží kolmo ke zdi. Řidič, který v autě jede, by se ale chtěl přibližovat ke zdi bezpečně. Jaký by muselo mít auto průběh rychlosti, aby vzdálenost od auta ke zdi v každý okamžik odpovídala dráze, kterou by auto s okamžitou rychlostí v té chvíli urazilo za $T$ = 2 s?

5. ... Rolling Stones(5 bodů)

Na nakloněné rovině stojí koule s nehomogenním rozložením hustoty. Známe úhel sklonu nakloněné roviny $α$, poloměr koule $R$ a vzdálenost $t$ těžiště koule od jejího středu. Pokud si označíme střed koule $S$, bod dotyku koule s rovinou $D$ a těžiště koule $T$, pak definujeme úhel $φ$_{0} = $∠DST$ jako úhel před začátkem pohybu. Těžiště se navíc nachází v rovině určené úsečkou $DS$ (normálou k rovině) a směrem z kopce dolů. V závislosti na těchto parametrech podrobně rozeberte, jak se bude dál vyvíjet pohybový stav koule. Koule na rovině neprokluzuje.

P. ... metrová(5 bodů)

Jak všichni víme, v jeskyních střední Evropy je docela zima, okolo 4 °C. Proč je v metru docela teplo celý rok? Uvolňuje se více tepla z přítomných lidí, nebo spíše z technického zázemí?

E. ... fotografická(7 bodů)

Pomocí digitálního fotoaparátu změřte frekvenci střídavého proudu v síti. Postačí i chytrý telefon s vhodnou aplikací, která umožní nastavit přesnou hodnotu expozičního času.

S. ... přirozeně proměnná(6 bodů)

* Použijte vztah pro entropii ideálního plynu $S$ ( $U,V,N$ )  z řešení třetí seriálové úlohy

$$S(U, V, N) = \frac{s}{2}n R \ln \left( \frac{U V^{{\kappa} -1}}{\frac{s}{2}R n^{\kappa} } \right) nR s_0$$

a vztah pro změnu entropie

$$\mathrm{d} S = \frac{1}{T}\mathrm{d} U \frac{p}{T} \mathrm{d} V - \frac{\mu}{T} \mathrm{d} N$$

a vypočítejte chemický potenciál jako funkci $U$, $V$ a $N$. Upravte dále na funkci $T$, $p$ a $N$.

Pomůcka: Přečtěte si o derivacích a malých změnách v druhém díle seriálu. Nyní by už mělo být zřejmější, že koeficienty jako 1 ⁄ $T$ před d$U$ spočítáte jako parciální derivaci $S$ ($U,V,N$)  podle $U$. Nezapomeňte na užitečný vztah  ln$~(~a$ ⁄ $b$ ) = ln$~a~-~$ln$~b~$ a že $n$ = $N$ ⁄ $N$_{A}.

Bonus: Vyjádřete tímto způsobem i teplotu a tlak jako funkce $U$, $V$ a $N$. Eliminujte závislost tlaku na $U$, abyste dostali stavovou rovnici.

  • Je chemický potenciál ideálního plynu kladný, nebo záporný ($s$_{0} považujte za zanedbatelné)?
  • Co se bude dít s plynem v pístu, pokud je plyn napojený na rezervoár s teplotou $T$_{r}? Píst se může volně pohybovat a z druhé strany na něj nic nepůsobí. Popište, co se bude dít, pokud dovolíme jen kvazistatické procesy. Kolik práce takto dokážeme extrahovat? Platí, že se takto minimalizuje volná energie?

Pomůcka: Na výpočet práce se vám může hodit vztah

$$\int _{a}^{b} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln \frac{b}{a}.$$

  • Entalpii jsme definovali jako $H$ = $U$ + $pV$, Gibbsovu energii jako $G$ = $U~-~TS$ + $pV$. Jaké jsou přirozené proměnné těchto potenciálů? Jaké termodynamické veličiny dostaneme derivacemi těchto potenciálů podle svých přirozených proměnných?
  • Vypočítejte změnu grandkanonického potenciálu d$Ω$ z jeho definičního vztahu $Ω$ = $F~-~$μ$N$.