1. Série 30. Ročníku

Výběr série

1. ... s rumem či bez?(3 body)

Do kuchyňského kastrolu, který prakticky nevede teplo, vložíme tři látky: vodu, ocel a rum. Voda má hmotnost $m_{v}=0,5 \jd{kg}$, teplotu $t_{v} = 90 \jd{°F}$ a měrnou tepelnou kapacitu $c_{v} = 1 \jd{kcal·kg^{-1}·K^{-1}}$. Ocelový váleček má hmotnost $m_{o} = 200 \jd{g}$, teplotu $t_{o} = 60 \jd{°C}$ a měrnou tepelnou kapacitu $c_{o} = 0,260 \jd{kJ·kg^{-1}·°F^{-1}}$. Rum má hmotnost $m_{r}=100\,000\jd{mg}$, teplotu $t_{r}~= 270 \jd{K}$ a měrnou tepelnou kapacitu $c_{r} = 3,5 \jd{J·g^{-1}·°C^{-1}}$. Jakou teplotu (ve stupních Celsia) bude mít soustava po ustálení tepelné rovnováhy?

2. ... brzdná(3 body)

Petr rád jezdí po rovině na kole rychlostí $v=10 \jd{m·s^{-1}}$ a jeho chytré kolo hlásí, že Petrův výkon je $P = 100 \jd{W}$. Po nehodě se zkřivily ráfkové brzdy, které teď na kolo působí třecí silou $F_{t} = 20\jd{N}$ u obvodu. Po jakou dobu $t′$ musí teď Petr jet na kole rychlostí $v$, aby vykonal stejnou práci jako předtím za čas $t$?

3. ... hopsa hejsa(5 bodů)

Mějme ideální hopík dokonalé odrazivosti a zanedbatelných rozměrů. Tento hopík hodíme z nekonečných schodů, kde jeden schod má výšku $h$ a délku $l$. Odrazy probíhají beze tření. Popište závislost nejvyšší dosažené výšky (měřeno od prvního schodu) hopíku po $n$-tém odrazu na počátečních parametrech.

4. ... něco je tu nakřivo(6 bodů)

Pozorovatel se nachází na lodi na otevřeném moři ve výšce $h$ nad hladinou. Je vzdálen $d$ od vodorovného zábradlí a to v takové poloze, že dívá-li se kolmo na zábradlí, splývá dolní okraj zábradlí s horizontem. Podívá-li se ale na zábradlí ve vzdálenosti $l$ na stranu od kolmice, vidí, že se obzor nachází o $s±s_{s}$ pod dolním koncem zábradlí. Určete poloměr Země.

5. ... na procházce(7 bodů)

Katka si vyšla ráno před přednáškou na procházku, aby vyvenčila svého potkana. Vyšla s ním na rovný palouk, a když byl potkan ve vzdálenosti $x_{1}=50\jd{m}$ od ní, hodila mu míček rychlostí $v_{0}=25\jd{m·s^{-1}}$ pod úhlem $α_{0}$. V okamžiku výhozu potkan vyběhl směrem ke Katce rychlostí $v_{1} = 5 \jd{m·s^{ -1}}$. Nalezněte obecnou závislost úhlu $φ$ na čase, kde $φ(t)$ označuje úhel mezi vodorovnou rovinou a spojnicí potkana a míčku, a vykreslete tuto závislost do grafu. Na základě grafu určete, zda je možné, aby míček zakryl potkanovi Slunce, jenž se nachází ve výšce $φ_{0}=50\jd{°}$ přímo před potkanem. Počítejte s tíhovým zrychlením $g=9.81 \jd{m·s^{-2}}$ a pro zjednodušení uvažujte, že házíme z nulové výšky.

P. ... nebe padá na hlavu(8 bodů)

Už jste se někdy zamysleli nad tím, proč mraky nespadnou na zem, když jsou z vody, která má přece výrazně větší hustotu než vzduch? Dešťové kapky dopadnou na zem v řádech minut, tak proč ne i mraky? Zkuste tuto skutečnost fyzikálně objasnit. Veškerá svá tvrzení podložte výpočtem.

E. ... Pechschnitte(12 bodů)

Padá krajíc namazanou stranou dolů? Zkoumejte experimentálně tento Murphyho zákon s důrazem na statistiku! Záleží na rozměrech krajíce, složení a typu vrstvy? K experimentálním výsledkům hledejte teoretická zdůvodnění. Pro vaše měření použijte toastový chléb.

S. ... náhodná(10 bodů)

 

  • Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná veličina, rozdělení náhodné veličiny, realizace náhodné veličiny, střední hodnota, rozptyl, histogram).
  • Vygenerujte grafy hustot pravděpodobnosti (případně pravděpodobností nabývání jednotlivých hodnot) všech v seriálu popsaných rozdělení náhodných veličin pro různé typy parametrů daného rozdělení a popište, jaký má změna parametru/ů vliv na tvar hustoty pravděpodobnosti (případně pravděpodobností nabývání jednotlivých hodnot).
  • Vygenerujte z přiložených dat histogramy a pokuste se určit, ze kterého rozdělení tato data pocházejí.
  • Definujme si náhodnou veličinu $X$ jako výsledek hodu „férovou“ šestistěnnou kostkou (všechna čísla padají se stejnou pravděpodobností). Určete rozdělení náhodné veličiny $X$ a dále spočítejte E$X$ a var$X$.

Bonus: Uveďte příklad dvou náhodných veličin, které mají stejnou střední hodnotu i stejný rozptyl, ale mají různá rozdělení. Pro práci s daty a vykreslování grafů použijte výpočetní prostředí R. Pro vyřešení těchto úkolů postačí drobně upravit přiložený skript, ve kterém je pomocí komentářů v kódu vysvětlena potřebná syntaxe jazyka R.

statistická fyzika