5. Série 8. Ročníku

Výběr série

Série

1. ... vesmírná katastrofa( bodů)

Tři planetky o stejné hmotnosti $M$ = 10^{26} g jsou umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka o straně $l$ = 100 Gm [gigametry]. Nemajíce počáteční rychlosti nezbývá jim než padat vstříc jisté záhubě. Určete, za jak dlouho se srazí (rozměry planetek zanedbejte).

2. ... obvod bez zdrojů( bodů)

Mějme velmi jednoduchý obvod složený ze $n$ stejných ideálních zdrojů o napětí $U$_{e} sériově zapojených do kruhu o poloměru $r$. Dráty je spojující mají stejnou délku a měrný odpor $ρ$ na jednotku délky (rozměry zdrojů zaned­bejte vůči obvodu kružnice). Jaké bude napětí mezi bodem $A$ uprostřed prvního a $B$ uprostřed $k$-tého drátu?

Na obrázku je nakresleno zapojení konkrétně pro $n$ = 12 a $k$ = 5.

3. ... Ondrova stavebnice( bodů)

Malý Ondra je na svůj věk velice zvídavý chlapec a místo hraní si s autíčky studuje takřka fyzikálně svět. Ve své stavebnici nalezl dřevěnou kouli a válec o stejném průměru i ze stejného materiálu a jal se dělat pokusy. Vrhnul kouli a válec (bez roztočení, viz obrázek) rychlostí $v$_{0} po podlaze a sledoval, na jaké rychlosti $v$ se pohyb těles ustálí. Byl velice překvapen, když zjistil, že jedno z těles je rychlejší než druhé. Rozeberte teoreticky jeho „experimentální“ zjištění a určete konečné rychlosti těles. Uvažujte pouze smykové tření s koef. $μ$, valivé tření zanedbejte.

4. ... kolik máme krve?( bodů)

Jednou z metod měření objemu kapaliny, jejíž objem se obtížně měří standardními metodami, je následující metoda: Pokusné osobě vpravíme do těla tekutinu o objemu $V$_{1} = 4 cm^{3} obsahující radioaktivní atomy ^{24}Na a o celkové aktivitě $A$_{1} = 2 500 s^{−1}. Jelikož poločas rozpadu sodíku 24 je $T$ = 15 hod., nemusíme se bát o zdraví měřené osoby. Po čase $t$ = 10 hod. odebereme vzorek krve o objemu $V$_{2} = 10 cm^{3} a aktivitě $A$_{2} = 2 s^{−1}. Jaké množství krve obsahuje náš pokusný „objekt“?

Poznámka: Pokud neznáte význam veličin psaných kurzívou, zkuste se podívat do nějaké základní učebnice jaderné fyziky.

P. ... co ten skokan pořád chce( bodů)

Chceme-li demonstrovat metodu řešení soustavy rovnic na našem skokanovi, budeme muset přidat další podmínku: dejme tomu, že první dopad na prkno se mu zdál příliš tvrdý; rozhodl se tedy rozkývat prkno natolik (změnit amplitudu kmitů), aby druhá srážka s prknem proběhla se zanedbatelnou vzájemnou rychlostí. Tedy jak hodnota Funkce, tak Derivace (uvedená v minulém díle) byla v okamžik srážky rovna nule. Vašim úkolem je najít potřebnou amplitudu $A_{n}$ a dobu druhého skoku $T_{n}$ (odráží se opět dole).

E. ... chladnutí kapalin( bodů)

Ve fyzice se často zkoumají tzv. relaxační procesy, tj. postupné ustálení určité fyzikální veličiny na nějaké hodnotě. V  termodynamice pod pojmem relaxační doba máme na mysli čas, za který nastane mezi sledovaným systémem a jeho okolím (s nějakou přesností, danou chybou měření nebo fluktuacemi) termodynamická rovnováha. Relaxační doba se samozřejmě mění od procesu, který sledujeme – při vyrovnání tlaků je to asi 10^{−16} s, při různých chemických dějích až měsíce či roky.

Vaším úkolem bude sledovat rychlost chladnutí dvou či více kapalin (např. voda a olej) za stejných okolních podmínek. Aby se vaše práce více podobala skutečnému fyzikálnímu experimentu, proložte naměřenými hodnotami funkci $f$($t$) = $A$ e$^{-Bt}~+~T$_{0} a zkuste interpretovat vypočtené konstanty nebo alespoň odhadněte, na čem by mohly záviset. Pro ty, kdo neví, co je to lineární regrese, je určen krátký odstavec o této metodě.

S. ... obyčejná( bodů)

Sestavte program pro iterační metodu a zvolte vhodnou konstantu $k$ pro fci $g$, abyste dostali vhodný interval okolo 1 splňující kontraktivnost. Ověřte lineární konvergenci a zkuste zjistit míru zrychlení při užití Aitkinova procesu.