Vyhledávání úloh podle oboru

Změřte závislost hmotnosti hydrogelové kuličky na době ponoření do vody a na koncentraci soli rozpuštěné ve vodě.

Poznámka: Hydrogel vám má přijít společně se zadáním série. Pokud jste v tomto ročníku ještě žádnou úlohu neřešili, ale chcete hydrogel také dostat, ozvěte se nám.

Občas nastane stav, kdy je nominální hodnota mincí nižší, než jejich výrobní náklady. Mějme dvě mince vyrobené ze slitiny zlata a stříbra. První má průměr $d_{1}=1\;\mathrm{cm}$, druhá $d_{2}=2\;\mathrm{cm}$, obě mají tloušťku $h=2\;\mathrm{mm}$. Menší mince při ponoření do nádoby se rtutí klesne ke dnu, zatímco větší mince se začne vynořovat. Ponoříme-li do rtuti obě mince, menší na větší, budou se v kapalině vznášet. Určete, kolik hmotnostních procent stříbra obsahuje větší mince, jestliže menší je celá zlatá.

Bonus: Jak se změní výsledek úlohy, pokud menší mince může obsahovat i stříbro?

Zlatá koule má na vzduchu hmotnost $m_{1}=96,\! 25\; \textrm{g}$. Při ponoření do vody je vyvážena závažím o hmotnosti $m_{2}=90,\! 25\; \textrm{g}$. Rozhodněte, zda je předmět dutý. Pokud ano, určete objem dutiny. Hustota zlata je $ρ_{Au}=19,\! 25\; \textrm{g}\cdot \mathrm{cm}^{-3}$, hustota vody $ρ_{H_{2}O}=1,\! 000\; \textrm{g}\cdot \mathrm{cm}^{-3}$. Tíhové zrychlení je $g=9,\! 81\; \mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$.

Všichni moc dobře víme, že je dobře zařízeno zásobování Zeměplochy vodou. A nikdo z nás nepotřebuje vědět jak. Co kdyby se ale stalo něco závažného a magie by přestala dobře fungovat? Za jak dlouho by se ocitla Zeměplocha bez vody? Pro jednoduchost můžete uvažovat pesimistickou situaci, kdy by nikdo vodu nijak nezadržoval. Dobře víte, že Zeměplocha má průměr $d=10000\;\mathrm{km}$, panuje na ní homogenní tíhové zrychlení $g≈10\;\mathrm{m}\cdot \mathrm{s}^{-2}$ a je dokonale kruhová. Opravdový celkový objem a rozložení vody na Zeměploše ve skutečnosti nikdo stejně nezná, takže můžete uvažovat, že voda homogenně pokrývá Zeměplochu, která je rovná a voda má výšku $H=5\;\mathrm{m}$ (to je hodně pesimistické, protože by pak všechno muselo stát pod vodou, nebo na kůlech nad vodou). Cílem úlohy je nalézt uspokojivě přibližný model, který dává dobrý odhad hledaného času – nečekáme přesné řešení.

Bylo by možné plavat v bazénu, kdyby se voda v něm chovala jako dokonale nestlačitelná kapalina, jejíž viskozita se limitně blíží nule? Jak by se pohyb plavce odlišoval od plavání v běžné vodě? Co by se dělo s energií soustavy plavec a bazén v případě, že voda z bazénu může vytékat přes okraj? Na počátku je hladina vody zarovnaná s okrajem.

Jakou hmotnost má zemská atmosféra? Jakou část hmotnosti Země tvoří? Pro potřeby výpočtu znáte pouze hmotnost Země $M_{Z}$ a poloměr $R_{Z}$ Země, gravitační zrychlení $a_{g}$ na povrchu Země, hustotu vody $ρ$ a víte, že blízko povrchu Země v hloubce $h_{1}=10\;\mathrm{m}$ má hydrostatický tlak hodnotu zhruba jedné atmosféry $p_{a}=10^{5}\, \jd{Pa}$.

Nápověda: Jedná se o jednoduchou úlohu. Nejde nám o dokonale přesné řešení, ale o kvalifikovaný odhad podložený výpočtem.

Nakreslete do obrázku proudnice. Do obou otvorů s šipkou vtéká stejné množství vody, všechna voda pak vytéká jediným, třetím otvorem. Proudění je ustálené a probíhá dostatečně pomalu, abychom ho mohli považovat za nevířivé. Při kreslení dbejte na pravidla, jimiž se tvar proudnic řídí a tato pravidla napište jako komentář k obrázku. Neočekáváme, že bude problém spočítán.

Poznámka: Kreslete do většího obrázku dostupného z webu.

Vysvětlete, proč a jak se odehrají následující situace:

• V cisterně tvaru kvádru s vodou plove na hladině míček. Popište pohyb míčku, začne-li se cisterna rozjíždět s konstantním zrychlením dostatečně malým, aby voda nepřetekla přes okraj.
• V cisterně tvaru kvádru naplněné vodou se vznáší balonek naplněný vodou. Popište pohyb balonku, začne-li se cisterna rozjíždět s konstantním zrychlením dostatečně malým, aby voda nepřetekla přes okraj.
• V uzavřeném autobusu se vznáší u stropu balonek. Popište jeho pohyb, začne-li se autobus rozjíždět s konstantním zrychlením.

Náry si vždy přál mít loďku, a tak si jednoho krásného dne pořídil jednu ve tvaru kvádru bez horní podstavy (jako vana) s vnějšími rozměry $a$, $b$, $c$ a tloušťkou stěny $d$, která byla vyrobena z voňavého dřeva o hustotě $ρ$ (větší než hustota vody). Druhého krásného dne loďku spustil na vodu, ale zjistil, že má na dně dírku, kterou voda přitéká s průtokem $Q_{1}$. To bylo nemilé, a protože je mužem činu, začal počítat, za jak dlouho se mu do loďky začne valit voda vrchem. Stejnou otázku klade i tato úloha. Zvažte i situaci, kdy by Náry o hmotnosti $m$ v loďce seděl a mezi výpočty zoufale vyléval vodu svou botou s průtokem $Q_{2}$. Loďka je celou dobu vodorovně.

Porovnejte krevní tlak v hlavě dospělé žirafy a dospělého člověka. Systolický tlak na úrovni srdce je u člověka $p_{h1}=120\;\mathrm{mm}Hg$ a u žirafy $p_{g1}=280\;\mathrm{mm}Hg$, hustota krve obou živočichů je $ρ=1050\;\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$. Uvažujte pouze případ, kdy člověk i žirafa stojí. Rychlost proudění krve v těle považujte za konstantní.