Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze úloh FYKOSu odjakživa

astrofyzika (80)biofyzika (18)chemie (20)elektrické pole (68)elektrický proud (71)gravitační pole (78)hydromechanika (138)jaderná fyzika (40)kmitání (53)kvantová fyzika (29)magnetické pole (39)matematika (85)mechanika hmotného bodu (279)mechanika plynů (81)mechanika tuhého tělesa (210)molekulová fyzika (69)geometrická optika (74)vlnová optika (60)ostatní (158)relativistická fyzika (36)statistická fyzika (20)termodynamika (141)vlnění (48)

vlnová optika

(10 bodů)3. Série 36. Ročníku - S. kvanta orbitalů

  1. Podobně jako v seriálu vytvořte pomocí Hückelovy metody matici hamiltoniánu pro molekulu cyklobutadienu a ověřte, že její vlastní čísla jsou $\alpha +2\beta $, $\alpha $, $\alpha $, $\alpha -2\beta $. Načrtněte do diagramu, jaké jsou energie vzniklých orbitalů a jak by je obsadily elektrony. $(4~b)$
    Bonus: Jaký je zásadní rozdíl v charakteru těchto orbitalů a jejich obsazení oproti molekule benzenu, kterou jsme si ukázali v seriálu? Jaké to má pro molekulu cyklobutadienu důsledky? $(2~b)$
  2. Zkuste se vrátit k molekule betakarotenu a znovu spočítat, na jaké vlnové délce by měla absorbovat, tentokrát pomocí Hückelovy metody. Kolik by musel být parametr $\beta $, aby vyšla experimentální hodnota?
    Alternativa: Pokud narazíte na problém s diagonalizací hamiltoniánu, proveďte úlohu s molekulou hexa-1,3,5-trienu. Experimentální hodnota absorpce je v tomto případě na vlnové délce $250 \mathrm{nm}$. $(4~b)$
  3. Co se stane s molekulou (stačí taková, která má jen jednoduché vazby), pokud pomocí UV světla excitujeme elektron ze $\sigma $ do $\sigma ^\ast $ orbitalu? $(2~b)$

Mikuláš znovu naděloval, tentokrát dokonce skoro ve správnou roční dobu.

(10 bodů)2. Série 36. Ročníku - S. počítáme kvanta

  1. Najděte si molekulu betakarotenu a zkuste spočítat, jakou by měla mít barvu, respektive na jaké vlnové délce absorbuje. Použijte jednoduchý model nekonečné potenciálové jámy, ve které jsou „uvězněny“ $\pi $ elektrony z dvojných vazeb, tedy za každou dvojnou vazbu dva elektrony. Absorpce pak odpovídá takovému přechodu, že elektron přeskočí z nejvyšší obsazené hladiny na první neobsazenou. Srovnejte s experimentální hodnotou. Proč hodnota z našeho modelu nevychází tak, jak bychom chtěli? (5b)
  2. Zkusme zlepšit náš model. Při studiu některých látek, především kovů či polovodičů, zavádíme efektivní hmotnost elektronu. Místo toho, abychom složitě popisovali prostředí, ve kterém se elektrony pohybují, se tváříme, že elektrony jsou lehčí nebo těžší než ve skutečnosti. Jakou by musely mít hmotnost, aby nám vyšla správná experimentální hodnota? Uveďte ji v násobcích hmotnosti elektronu. (2b)
  3. Pokud vyrobíme mikroskopické kuličky (nanočástice) selenidu kademnatého $\ce {CdSe}$ o velikosti $2{,}34 \mathrm{nm}$. Rozzáří se po ozáření UV světlem jasně zelenou barvou na vlnové délce $536 \mathrm{nm}$. Když je zvětšíme na velikost $2{,}52 \mathrm{nm}$, posune se vlnová délka vyzařovaného světla do žluté oblasti s vlnovou délkou $570 \mathrm{nm}$. Jakou velikost kuliček bychom potřebovali, aby vyzařovaly oranžově na vlnové délce $590 \mathrm{nm}$? (3b)
    Nápověda: $\ce {CdSe}$ je polovodič, má tedy plně obsazený elektronový pás, pak (úzký!) zakázaný pás a nakonec prázdný vodivostní pás. Tedy musíme uvažovat, že vyzařovaný foton odpovídá přeskoku z vodivostního pásu, kde jsou zase stavy známé z nekonečné potenciálové jámy, do obsazeného pásu. Všechny energie vyzařovaných fotonů tedy budou posunuty o neznámou konstantní hodnotu odpovídající šířce zakázaného pásu.

Bonus: Nakonec pro ty, které by mrzelo, kdyby si nezaintegrovali – 1s orbital atomu vodíku má sféricky symetrickou vlnovou funkci s radiálním průběhem $\psi (r) = \frac {e^{-r/a_0}}{\sqrt {\pi }a_0^{3/2}}$, kde $a_0=\frac {4\pi \epsilon _0\hbar ^2}{me^2}$ je Bohrův poloměr. Protože orbitaly jakožto funkce tří prostorových proměnných by se nám špatně vykreslovaly, raději zobrazujeme oblast, ve které se bude elektron s velkou pravděpodobností vyskytovat. Jaký je poloměr sféry centrované na jádře, ve které se elektron bude vyskytovat s pravděpodobností $95 \mathrm{\%}$? (+2b)

Předčasná Mikulášská nadílka.

(10 bodů)6. Série 35. Ročníku - S. laserujeme

  1. Jak velká musí být apertura prostorového filtru, jestliže jsme pro jeho sestavení použili čočku o průměru $40 \mathrm{cm}$ a ohniskové vzdálenosti $4 \mathrm{m}$? Laserový svazek s gaussovským profilem má na vstupu průměr $30 \mathrm{cm}$ a vlnovou délku $1~053 nm$. Poloměr ohniska (tedy parametr $\sigma $) gaussovského svazku můžeme vypočítat podle vzorce

\[\begin{equation*} r = \frac {2}{\pi }\lambda \frac {f}{D} , \end {equation*}\] kde $D$ je průměr svazku, $f$ je ohnisková vzdálenost čočky a $\lambda $ je vlnová délka laseru.

  1. Jakou energii musí mít laserový svazek, který je fokusován na povrch palivové peletky o poloměru $1 \mathrm{mm}$, aby byla dosažena intenzita v ohnisku $10^{14} W.cm^{-2}$? Poloměr ohniska je $25 \mathrm{\micro m}$ a délka pulzu $10 \mathrm{ns}$. Kolik svazků celkem potřebujeme, abychom rovnoměrně pokryli povrch peletky? Jaká je jejich celková energie?
  2. Jakou energii musí mít laserový, fokusovaný tak, že na povrchu peletky nemá ohnisko, ale průměr svazku odpovídá průměru peletky? Chceme s ním dosáhnout stejné intenzity, jako v předchozím případě. Předpokládejte, že takový svazek máme jeden a že je schopný homogenně ozářit celou peletku „ze všech stran“.

(10 bodů)5. Série 35. Ročníku - S. stabilizujeme

  1. Jakou intenzitu musí mít laser o vlnové délce $351 \mathrm{nm}$, aby prostřednictvím ablace povrchu palivové peletky stabilizoval Rayleighovu-Taylorovu (RT) nestabilitu? Předpokládejte, že rozhraní ablátoru s DT ledem je vlnité s vlnovou délkou
  1. $0,2 \mathrm{\micro m}$,
  2. $5 \mathrm{\micro m}$.
  1. Jak se změní intenzita laseru, pokud na peletku aplikujeme ještě magnetické pole o velikosti $5 \mathrm{T}$?
  2. Co dalšího může napomoci minimalizovat RT nestabilitu?

(10 bodů)4. Série 35. Ročníku - S. svítíme

  1. V jaké vzdálenosti od povrchu terče (předpokládejte, že je z uhlíku a pro laser o vlnové délce $351 \mathrm{nm}$) se nachází kritický povrch a v jaké vzdálenosti dochází ke vzniku dvouplazmonového rozpadu, pokud je charakteristická délka plazmatu1) $50 \mathrm{\micro m}$? Dále předpokládejte
  1. exponenciální pokles hustoty plazmatu s rostoucí vzdáleností od terče,
  2. lineární pokles hustoty plazmatu s rostoucí vzdáleností od terče.
  1. Jakou musí mít elektrony energii, aby prošly od kritického povrchu ke skutečnému povrchu terče? Pro dosah elektronů v uhlíkovém plazmatu využijte empirický vztah $R = 0{,}933~4 E^{1{,}756~7}$, kde $E$ je v $\mathrm{MeV}$ a $R$ je v $\mathrm{g.cm^{-2}}$.
  2. Na jaké délce se elektrony v elektrickém poli plazmové vlny urychlí na tyto energie?
  3. Jaké vlnové délky rozptýleného světla můžeme pozorovat v případě stimulovaného Ramanova rozptylu pro laser o vlnové délce $351 \mathrm{nm}$?
1)
Hustota plazmatu $n_e$ v závislosti na vzdálenosti od terče se typicky vyjadřuje jako funkce $n_e = \f {f}{\frac {x}{x_c}}$, kde $x$ je vzdálenost od terče a $x_c$ je tzv. charakteristická delka plazmatu, která představuje škálovací parametr od terče.

(12 bodů)3. Série 35. Ročníku - E. až moc sladký čaj

Změřte stáčení polarizační roviny v závislosti na koncentraci cukru v roztoku.

Káťa nemá ráda slazený čaj.

(10 bodů)2. Série 35. Ročníku - S. stlačujeme

Jakou energii musí mít laserový impuls trvající $10 \mathrm{ns}$, aby jím vytvořená rázová vlna byla schopná ohřát plazma na teplotu, při níž může dojít k termojaderné fúzní reakci? Jakou hustotu bude mít stlačené palivo? Poznámka: Přepokládejte, že počáteční plazma je jednoatomový ideální plyn.

(10 bodů)6. Série 34. Ročníku - S. nabitá struna

Uvažujte napnutou strunu o délkové hustotě $\rho $, která je navíc rovnoměrně nabitá s délkovou nábojovou hustotou $\lambda $. Napětí ve struně je $T$. Struna se nachází v magnetickém poli o konstantní velikosti $B$, jež je ve směru struny v rovnovážné poloze. Vaším úkolem bude popsat několik aspektů kmitání této struny. Nejprve bude třeba sestrojit vlnovou rovnici. Zanedbejte indukční efekty (předpokládejte, že struna je perfektně izolující, a tedy nábojová hustota zůstává konstantní) a určete Lorentzovu sílu na jednotku délky pro malé oscilace struny v obou směrech kolmých na směr jejího napnutí. Tuto sílu použijte pro sestavení vlnové rovnice (ta dále obsahuje sílu plynoucí z napětí struny). Proveďte fourierovskou substituci a určete disperzní vztah v aproximaci malého pole $B$; konkrétně uvažujte členy do prvního řádu v $\beta = \frac {\lambda B}{k \sqrt {\rho T}} \ll 1$, kde $k$ je vlnové číslo. Určete dva polarizační vektory, tentokrát pouze do nultého řádu v $\beta $.

Nyní předpokládejte, že v určitém místě struny vytvoříme vlnu, která bude oscilovat pouze v jednom směru. V jaké vzdálenosti od původního bodu bude vlna stočená o devadesát stupňů?

Štěpán vzpomínal na třetí seriálovou úlohu.

(10 bodů)5. Série 34. Ročníku - S. rezonance a tlumení

  1. Na napnutém laně mohou existovat vlny ve výchylce $\f {u}{x, t}$ z rovnovážné polohy, které splňují vlnovou rovnici s tlumením

\[\begin{equation*} \ppder {u}{t} = v^2 \ppder {u}{x} + \Gamma \pder {u}{x}  , \end {equation*}\] kde $v$ je fázová rychlost a $\Gamma $ je tlumící koeficient. Proveďte fourierovskou substituci a určete disperzní vztah. Vyřešte jej pro vlnové číslo $k$. Jakou podmínku, vyjádřenou pomocí frekvence $\omega $, fázové rychlosti $v$ a koeficientu $\Gamma $, musí vlny splňovat, aby byly na laně pozorovány uzly (body, ve kterých lano zůstává v rovnovážné poloze, ale v jejichž okolí se pohybuje)?

  1. Uvažujte švihadlo, přichycené na jednom konci k nehybné stěně. Ve vzdálenosti $L$ od stěny jej chytneme do ruky a začneme s ním pohybovat nahoru a dolů, čímž v něm vytvoříme vlnění. Švihadlo s délkovou hustotou $\lambda $ udržujeme v napětí $T$ ve směru od stěny, výchylka tedy splňuje rovnici

\[\begin{equation*} \ppder {u}{t} = \frac {T}{\lambda } \ppder {u}{x}  . \end {equation*}\] Pro výchylku konce švihadla, se kterým pohybujeme, platí $\f {u_0}{t} = A \f {\cos }{\omega _0 t}$. Předpokládejte, že řešení lze zapsat ve formě dvou rovinných vln, pohybujících se v opačných směrech. Nalezněte takové řešení pouze s využitím zadaných parametrů, tj. $T$, $\lambda $, $L$, $A$ a $\omega _0$. Výsledné řešení má amplitudu rostoucí nade všechny meze pro určité frekvence. Určete jejich hodnoty a jim odpovídající vlnové délky.

Štěpán si hrál se švihadlem.

(5 bodů)4. Série 34. Ročníku - 3. křivá optika

Mějme bodový zdroj světla a rovinnou skleněnou desku s indexem lomu $n = 1,50$. V místě paty kolmice od zdroje na desku se uvnitř desky nacházejí vlnoplochy s poloměrem křivosti $R = 5{,}00 \mathrm{m}$. Jaká je skutečná vzdálenost zdroje a desky?

Dodo je pěkný křivák.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Pořadatel MSMT_logotyp_text_cz

Generální partner neuron-logo.jpg

Partner

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz