Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze úloh FYKOSu odjakživa

astrofyzika (76)biofyzika (18)chemie (19)elektrické pole (65)elektrický proud (69)gravitační pole (74)hydromechanika (133)jaderná fyzika (36)kmitání (48)kvantová fyzika (25)magnetické pole (36)matematika (83)mechanika hmotného bodu (255)mechanika plynů (79)mechanika tuhého tělesa (197)molekulová fyzika (61)geometrická optika (72)vlnová optika (53)ostatní (146)relativistická fyzika (35)statistická fyzika (20)termodynamika (131)vlnění (47)

vlnění

3. Série 35. Ročníku - 4. laskavý příboj

Blízko pobřeží je rychlost mořských vln ovlivněna přítomností dna. Předpokládejte, že rychlost vln $v$ je funkcí tíhového zrychlení $g$ a hloubky moře $h$. Platí $v = C g^\alpha h^\beta $. Určete pomocí rozměrové analýzy rychlost vln v závislosti na hloubce vody. Číslo $C$ je bezrozměrná konstanta, kterou touto metodou určit nedokážeme.

Kromě rychlosti vln ale koupajícího se Jindru ještě zajímá, z jakého směru k němu vlny dorazí. Definujme souřadnicovou soustavu, ve které hladina vody leží v rovině $xy$. Linie pobřeží má rovnici $y = 0$, oceán leží v polorovině $y > 0$. Hloubka vody $h$ je funkcí vzálenosti od pobřeží $h = \gamma y$, kde $\gamma = \const $. Na širém oceánu, kde je rychlost vln $c$ konstantní (není ovlivněna hloubkou), postupují rovinné vlny, jejichž čela svírají s osou $x$ úhel $\theta _0$. Najděte diferenciální rovnici \[\begin{equation*} \der {y}{x} = \f {f}{y} \end {equation*}\] popisující tvar čela vlny v blízkosti pobřeží, ale nepokoušejte se ji řešit, není vůbec triviální. Spočítejte, pod jakým úhlem narážejí čela vln na pobřeží.

Bonus: Vyřešte diferenciální rovnici a najděte tvar čel vln v blízkosti pobřeží.

6. Série 34. Ročníku - S. nabitá struna

Uvažujte napnutou strunu o délkové hustotě $\rho $, která je navíc rovnoměrně nabitá s délkovou nábojovou hustotou $\lambda $. Napětí ve struně je $T$. Struna se nachází v magnetickém poli o konstantní velikosti $B$, jež je ve směru struny v rovnovážné poloze. Vaším úkolem bude popsat několik aspektů kmitání této struny. Nejprve bude třeba sestrojit vlnovou rovnici. Zanedbejte indukční efekty (předpokládejte, že struna je perfektně izolující, a tedy nábojová hustota zůstává konstantní) a určete lorentzovskou sílu na jednotku délky pro malé oscilace struny v obou směrech kolmých na směr jejího napnutí. Tuto sílu použijte pro sestavení vlnové rovnice (ta dále obsahuje sílu plynoucí z napětí struny). Proveďte fourierovskou substituci a určete disperzní vztah v aproximaci malého pole $B$; konkrétně uvažujte členy do prvního řádu v $\beta = \frac {\lambda B}{k \sqrt {\rho T}} \ll 1$, kde $k$ je vlnové číslo. Určete dva polarizační vektory, tentokrát pouze do nultého řádu v $\beta $. Nyní předpokládejte, že vytvoříme v určitém místě struny vlnu, která bude oscilovat pouze v jednom směru. V jaké vzdálenosti od původního bodu bude vlna stočená o devadesát stupňů?

Štěpán vzpomínal na třetí seriálovou úlohu.

5. Série 34. Ročníku - S. rezonance a tlumení

  1. Na napnutém laně mohou existovat vlny ve výchylce $\f {u}{x, t}$ z rovnovážné polohy, které splňují vlnovou rovnici s tlumením

\[\begin{equation*} \ppder {u}{t} = v^2 \ppder {u}{x} + \Gamma \pder {u}{x}  , \end {equation*}\] kde $v$ je fázová rychlost a $\Gamma $ je tlumící koeficient. Proveďte fourierovskou substituci a určete disperzní vztah. Vyřešte jej pro vlnové číslo $k$. Jakou podmínku, vyjádřenou pomocí frekvence $\omega $, fázové rychlosti $v$ a koeficientu $\Gamma $, musí vlny splňovat, aby byly na laně pozorovány uzly (body, ve kterých lano zůstává v rovnovážné poloze, ale v jejichž okolí se pohybuje)?

  1. Uvažujte švihadlo, přichycené na jednom konci k nehybné stěně. Ve vzdálenosti $L$ od stěny jej chytneme do ruky a začneme s ním pohybovat nahoru a dolů, čímž v něm vytvoříme vlnění. Švihadlo s délkovou hustotou $\lambda $ udržujeme v napětí $T$ ve směru od stěny, výchylka tedy splňuje rovnici

\[\begin{equation*} \ppder {u}{t} = \frac {T}{\lambda } \ppder {u}{x}  . \end {equation*}\] Pro výchylku konce švihadla, se kterým pohybujeme, platí $\f {u_0}{t} = A \f {\cos }{\omega _0 t}$. Předpokládejte, že řešení lze zapsat ve formě dvou rovinných vln, pohybujících se v opačných směrech. Nalezněte takové řešení pouze s využitím zadaných parametrů, tj. $T$, $\lambda $, $L$, $A$ a $\omega _0$. Výsledné řešení má amplitudu rostoucí nade všechny meze pro určité frekvence. Určete jejich hodnoty a jim odpovídající vlnové délky.

Štěpán si hrál se švihadlem.

2. Série 34. Ročníku - 5. detektor magnetických nestacionarit

Elektrický obvod znázorněný na obrázku může sloužit jako detektor nestacionárního magnetického pole. Jedná se o devět hran krychle tvořených elektrickým drátem. Elektrický odpor jedné hrany je $R$. Nachází-li se tato konstrukce v nestacionárním homogenním magnetickém poli, které má pro jednoduchost konstantní směr a jeho velikost se mění jen pomalu, tečou na vyznačených místech proudy $I_1$, $I_2$, $I_3$. Určete ze znalosti těchto proudů směr a časovou změnu velikosti magnetického pole v prostoru.

Vašek si říkal, že řešitelé budou mít z úlohy na elektromagnetickou indukci radost.

3. Série 33. Ročníku - 2. …boom

Nad hlavou nám přeletěla stíhačka letící rovnoměrným pohybem vodorovně se zemským povrchem. Za $t=1{,}50 \mathrm{s}$ na to jsme uslyšeli sonický třesk v okamžiku, kdy měla stíhačka zenitovou vzdálenost $\theta =30.0\dg $. Zjistěte, jak vysoko nad námi stíhačka přeletěla.

Bonus: Z jakého směru jsme třesk slyšeli a jak daleko se toto místo nachází od místa, kde stíhačku vidíme?

Dodo se „těší“ na letecké dny.

1. Série 33. Ročníku - E. lahvová

Jak závisí frekvence zvuku, který vydáváte foukáním do skleněné lahve, na objemu kapaliny v lahvi? Diskutujte, jaký vliv na tuto závislost má tvar lahve.

Legolas neumí hrát na žádný hudební nástroj, tak hraje aspoň na nervy.

4. Série 32. Ročníku - E. papírová izolační

Změřte, jak moc dokáže papír stínit zvuk. K měření stačí použít např. mobilní telefon jako generátor zvuku a mikrofon v počítači jako detektor (Audacity). Použijte papíry různých druhů a tvarů.

Michal přemýšlel, jak se zbavit nepříjemných zvuků, které vydával spolubydlící.

1. Série 32. Ročníku - 4. pád z okna

Když James Bond pustil agenta 006 Aleca Treveljana z konstrukce radioteleskopu Arecibo ve finální scéně filmu Golden Eye, ten začal křičet s frekvencí $f$. Spočítejte závislost frekvence, kterou slyší 007, na čase. Odpor vzduchu neuvažujte.

Nápověda: Pro radu jděte k panu Dopplerovi.

Matěj se rád dívá z ok(n)a.

3. Série 30. Ročníku - 3. kde to píská

Verčiny uši lze aproximovat dvěma bodovými detektory ve vzdálenosti $d$, které detekují zvukové vlny ze všech směrů stejně dobře. Verča umí polohu známého zdroje zvuku poslepu určit velice přesně, proto jednoho dne, když se probudila, vyzvala své přátele k tomu, aby ji vyzkoušeli. Jenže Verča si v jednom uchu zapomněla špunt, který snižuje intenzitu zvuku v jejím levém uchu $k$-krát. Verči byly zavázány oči a zdroj byl umístěn do vzdálenosti $y$ před ni a o $x$ napravo (či $-x$ nalevo). Určete, na které místo $(x',y')$ Verča ukáže, jestliže uši rozeznávají polohu zdroje podle hlasitosti zvuku.

Luboška vyděsil telefon s jedním sluchátkem v uších.

5. Série 28. Ročníku - 2. slyším dobře, to nemohu říct

Ve vzdálenosti $d=5\;\mathrm{m}$ od bodového zdroje zvuku slyšíme zvuk o hladině intenzity $L_{1}=90 \jd{dB}$. V jaké vzdálenosti od zdroje je hladina intenzity tohoto zvuku $L_{2}=50\jd{dB}$?

Karel chtěl zase po pár letech zadat něco z akustiky.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Pořadatel MSMT_logotyp_text_cz

Partner

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz