Vyhledávání úloh podle oboru

Databáze úloh FYKOSu odjakživa

astrofyzika (76)biofyzika (18)chemie (19)elektrické pole (65)elektrický proud (69)gravitační pole (74)hydromechanika (133)jaderná fyzika (36)kmitání (48)kvantová fyzika (25)magnetické pole (36)matematika (83)mechanika hmotného bodu (255)mechanika plynů (79)mechanika tuhého tělesa (197)molekulová fyzika (61)geometrická optika (72)vlnová optika (53)ostatní (146)relativistická fyzika (35)statistická fyzika (20)termodynamika (131)vlnění (47)

geometrická optika

3. Série 35. Ročníku - 4. laskavý příboj

Blízko pobřeží je rychlost mořských vln ovlivněna přítomností dna. Předpokládejte, že rychlost vln $v$ je funkcí tíhového zrychlení $g$ a hloubky moře $h$. Platí $v = C g^\alpha h^\beta $. Určete pomocí rozměrové analýzy rychlost vln v závislosti na hloubce vody. Číslo $C$ je bezrozměrná konstanta, kterou touto metodou určit nedokážeme.

Kromě rychlosti vln ale koupajícího se Jindru ještě zajímá, z jakého směru k němu vlny dorazí. Definujme souřadnicovou soustavu, ve které hladina vody leží v rovině $xy$. Linie pobřeží má rovnici $y = 0$, oceán leží v polorovině $y > 0$. Hloubka vody $h$ je funkcí vzálenosti od pobřeží $h = \gamma y$, kde $\gamma = \const $. Na širém oceánu, kde je rychlost vln $c$ konstantní (není ovlivněna hloubkou), postupují rovinné vlny, jejichž čela svírají s osou $x$ úhel $\theta _0$. Najděte diferenciální rovnici \[\begin{equation*} \der {y}{x} = \f {f}{y} \end {equation*}\] popisující tvar čela vlny v blízkosti pobřeží, ale nepokoušejte se ji řešit, není vůbec triviální. Spočítejte, pod jakým úhlem narážejí čela vln na pobřeží.

Bonus: Vyřešte diferenciální rovnici a najděte tvar čel vln v blízkosti pobřeží.

2. Série 35. Ročníku - 1. stíhání světel

Jindra kráčí po dlouhé osvětlené chodbě. Jeho oči jsou ve výšce $1,7 \mathrm{m}$ nad podlahou, osvětlení na stropě je ve výšce $3,4 \mathrm{m}$. Jindra se právě nachází ve vzdálenosti $10 \mathrm{m}$ vodorovně od nejbližšího světla a kráčí rychlostí $3 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ přímo k němu. Na vyleštěné podlaze vidí odraz světla. Jak rychle se v tento okamžik odraz přibližuje k Jindrovi?

2. Série 35. Ročníku - 5. Shkadov thruster

Před dávnými časy v předaleké galaxii se jedna civilizace rozhodla přestěhovat celou svou sluneční soustavu. Jednou z možností bylo postavit „poloviční Dysonovu sféru“. Tedy konstrukci, která by zachycovala zhruba polovinu záření z hvězdy a odrážela jej všechno jedním směrem. Ideálním tvarem by tak byl rotační paraboloid. Jaký by musel být vztah mezi zářivým výkonem hvězdy, plošnou hustotou takového zrcadla a jeho vzdáleností od hvězdy, aby se mezi nimi udržovala konstantní vzdálenost?

2. Série 34. Ročníku - 2. loď na obzoru

Kačka a Katka sledují loď plující konstantní rychlostí do přístavu. Kačka stojí na skále nad přístavem, přičemž má oči ve výšce $h_1 = 20 \mathrm{m}$ nad hladinou. Katka se nachází dole pod skálou, její oči jsou v nadmořské výšce $h_2 = 1,7 \mathrm{m}$. Pokud Katka zahlédne na obzoru vrchol blížící se lodi se zpožděním $t = 25 \mathrm{min}$ oproti Kačce, za jak dlouho loď vysoká $h = 30 \mathrm{m}$ dopluje do přístavu? Zemi považujte za dokonalou kouli se známým poloměrem.

Vzpomínky na dovolenou u moře.

1. Série 34. Ročníku - 1. skoro zastavené světlo

Jaký index lomu by musela mít průhledná planparalelní deska tloušťky $d=1 \mathrm{cm}$, abychom při pohledu na ni viděli světlo, které do ní vniklo z druhé strany před rokem? A jak moc je daná situace reálná?

Dodo opět četl sci-fi.

6. Série 33. Ročníku - 5. nazlátlý sirup

Magické pole Zeměplochy je natolik silné, že v něm světlo úplně ztratí smysl pro rychlost. To ovšem platí pouze v blízkosti povrchu, kde má index lomu magického pole hodnotu $n_0 = 2,00 \cdot 10^{6}$. S rostoucí výškou $h$ index lomu klesá podle vztahu $n(h) = n_0\eu ^{-kh}$, kde $k = 1,00 \cdot 10^{-7} \mathrm{m^{-1}}$. Určete, pod jakým úhlem vůči svislému směru musíme z jednoho konce Zeměplochy vyslat světelný signál, aby na druhý konec dorazil v co nejkratším čase. Průměr disku Zeměplochy je $d = 15\;000 \mathrm{km}$ a rychlost světla ve vakuu je $c = 3,00 \cdot 10^{8} \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

Mirek čekal, až k němu dorazí světlo ze semaforu.

4. Série 33. Ročníku - 4. optický fykosák

Pták Fykosák našel na Matfyzu nehlídanou optickou lavici, která umožňuje rozmístit různé pomůcky podél optické osy, a začal si s ní hrát. Na osu umístil postupně bodový zdroj světla, první čočku, druhou čočku a stínítko se stejnými rozestupy (vzdálenost stínítka od zdroje je tedy třikrát větší než vzdálenost jakýchkoli dvou sousedních pomůcek). Na stínítku se vytvořil ostrý obraz zdroje. Fykosák potom celou soustavu ponořil do neznámé kapaliny, kterou našel v podivném kanystru. K jeho úžasu zůstal obraz na stínítku stále ostrý. Určete index lomu této kapaliny, jenž je určitě jiný než index lomu vzduchu, který můžete považovat za jednotkový. Jedna z čoček má desetkrát větší ohniskovou vzdálenost než druhá a obě jsou tenké a vyrobené z materiálu o indexu lomu $2$.

Matěj si rád hraje s cizími věcmi.

6. Série 32. Ročníku - 1. sebeosvícení

figure

Svítíme na zrcadlo pod úhlem $\alpha = 15\mathrm{\dg }$ vůči kolmici. Chceme, aby se nám paprsek vracel zpátky do zdroje. Máme skleněný hranol s indexem lomu $n = 1,8$. Jaký musí být lámavý úhel $\eta $ v závislosti na $\alpha $ a $n$, pokud situace vypadá jako obrázku? Předpokládejte, že okolní prostředí tvoří vzduch s indexem lomu $n_0$.

Nápověda: \[\begin{align*} \sin \(x + y\) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y  , \\
\cos \(x + y\) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y  , \\
\sin x + \sin y &= 2\sin \(\frac {x + y}{2}\)\cos \(\frac {x - y}{2}\)  , \\
\cos x + \cos y &= 2\cos \(\frac {x + y}{2}\)\cos \(\frac {x - y}{2}\)  . \end {align*}\]

Karel se díval na Dančinu úlohu.

2. Série 32. Ročníku - 3. fyzikální trofej

Danka vyhrála závod v derivování a za odměnu dostala sošku vyrobenou z průhledného materiálu ve tvaru hranolu se čtvercovou podstavou o hraně $a = 5$ cm a výšce $h \leq a$. Ať se dívá, jak se dívá, čelní stěnou nikdy nevidí přes boční stěny skrze trofej, vždy vidí pouze odražené paprsky. Jaký může mít materiál trofeje index lomu? Hranol je umístěn ve vzduchu.

Michala K. okouzlila soška.

5. Série 31. Ročníku - 2. paprsky smrti na skle

figure

Lom paprsků

Na skleněnou desku s absolutním indexem lomu $n = 1,5$ dopadá světelný paprsek. Stanovte jeho úhel dopadu $\alpha _1$, jestliže paprsek odražený od rozhraní svírá s lomeným paprskem úhel $60 \mathrm{\dg }$. Deska je uložena ve vzduchu.

Danka ráda řeší více problémů najednou.

Tato stránka využívá cookies pro analýzu provozu. Používáním stránky souhlasíte s ukládáním těchto cookies na vašem počítači.Více informací

Partneři

Pořadatel

Pořadatel MSMT_logotyp_text_cz

Partner

Mediální partner


Created with <love/> by ©FYKOS – webmaster@fykos.cz