Vyhledávání úloh podle oboru

Sestavte aparaturu, která bude schopná měřit co nejmenší vlnky na povrchu kapaliny. Nádobu si můžete sami určit – může to být hrnek, láhev či něco jiného. Aparaturu celou řádně popište a vyfoťte. Určete, jakou minimální amplitudu jste schopni naměřit.

Máme hvězdářský (Keplerův) dalekohled, který chceme vyslat do vesmíru. Nejdřív si ho však vyzkoušíme na Zemi, kde naměříme zvětšení $Z$. Jak se musí změnit vzájemná vzdálenost čoček, aby měl stejné zvětšení i ve vesmíru? Čočky mají index lomu $n$.

1. Jak velká musí být apertura prostorového filtru, jestliže jsme pro jeho sestavení použili čočku o průměru $40 \mathrm{cm}$ a ohniskové vzdálenosti $4 \mathrm{m}$? Laserový svazek s gaussovským profilem má na vstupu průměr $30 \mathrm{cm}$ a vlnovou délku $1~053 nm$. Poloměr ohniska (tedy parametr $\sigma $) gaussovského svazku můžeme vypočítat podle vzorce

\[\begin{equation*} r = \frac {2}{\pi }\lambda \frac {f}{D} , \end {equation*}\] kde $D$ je průměr svazku, $f$ je ohnisková vzdálenost čočky a $\lambda $ je vlnová délka laseru.

1. Jakou energii musí mít laserový svazek, který je fokusován na povrch palivové peletky o poloměru $1 \mathrm{mm}$, aby byla dosažena intenzita v ohnisku $10^{14} W.cm^{-2}$? Poloměr ohniska je $25 \mathrm{\micro m}$ a délka pulzu $10 \mathrm{ns}$. Kolik svazků celkem potřebujeme, abychom rovnoměrně pokryli povrch peletky? Jaká je jejich celková energie?
   
2. Jakou energii musí mít laserový, fokusovaný tak, že na povrchu peletky nemá ohnisko, ale průměr svazku odpovídá průměru peletky? Chceme s ním dosáhnout stejné intenzity, jako v předchozím případě. Předpokládejte, že takový svazek máme jeden a že je schopný homogenně ozářit celou peletku „ze všech stran“.

Blízko pobřeží je rychlost mořských vln ovlivněna přítomností dna. Předpokládejte, že rychlost vln $v$ je funkcí tíhového zrychlení $g$ a hloubky moře $h$. Platí $v = C g^\alpha h^\beta $. Určete pomocí rozměrové analýzy rychlost vln v závislosti na hloubce vody. Číslo $C$ je bezrozměrná konstanta, kterou touto metodou určit nedokážeme.

Kromě rychlosti vln ale koupajícího se Jindru ještě zajímá, z jakého směru k němu vlny dorazí. Definujme souřadnicovou soustavu, ve které hladina vody leží v rovině $xy$. Linie pobřeží má rovnici $y = 0$, oceán leží v polorovině $y > 0$. Hloubka vody $h$ je funkcí vzálenosti od pobřeží $h = \gamma y$, kde $\gamma = konst. $. Na širém oceánu, kde je rychlost vln $c$ konstantní (není ovlivněna hloubkou), postupují rovinné vlny, jejichž čela svírají s osou $x$ úhel $\theta _0$. Najděte diferenciální rovnici \[\begin{equation*} \der {y}{x} = \f {f}{y} \end {equation*}\] popisující tvar čela vlny v blízkosti pobřeží, ale nepokoušejte se ji řešit, není vůbec triviální. Spočítejte, pod jakým úhlem narážejí čela vln na pobřeží.

Bonus: Vyřešte diferenciální rovnici a najděte tvar čel vln v blízkosti pobřeží.

Jindra kráčí po dlouhé osvětlené chodbě. Jeho oči jsou ve výšce $1,7 \mathrm{m}$ nad podlahou, osvětlení na stropě je ve výšce $3,4 \mathrm{m}$. Jindra se právě nachází ve vzdálenosti $10 \mathrm{m}$ vodorovně od nejbližšího světla a kráčí rychlostí $3 \mathrm{km\cdot h^{-1}}$ přímo k němu. Na vyleštěné podlaze vidí odraz světla. Jak rychle se v tento okamžik odraz přibližuje k Jindrovi?

Před dávnými časy v předaleké galaxii se jedna civilizace rozhodla přestěhovat celou svou sluneční soustavu. Jednou z možností bylo postavit „poloviční Dysonovu sféru“. Tedy konstrukci, která by zachycovala zhruba polovinu záření z hvězdy a odrážela jej všechno jedním směrem. Ideálním tvarem by tak byl rotační paraboloid. Jaký by musel být vztah mezi zářivým výkonem hvězdy, plošnou hustotou takového zrcadla a jeho vzdáleností od hvězdy, aby se mezi nimi udržovala konstantní vzdálenost?

Kačka a Katka sledují loď plující konstantní rychlostí do přístavu. Kačka stojí na skále nad přístavem, přičemž má oči ve výšce $h_1 = 20 \mathrm{m}$ nad hladinou. Katka se nachází dole pod skálou, její oči jsou v nadmořské výšce $h_2 = 1,7 \mathrm{m}$. Pokud Katka zahlédne na obzoru vrchol blížící se lodi se zpožděním $t = 25 \mathrm{min}$ oproti Kačce, za jak dlouho loď vysoká $h = 30 \mathrm{m}$ dopluje do přístavu? Zemi považujte za dokonalou kouli se známým poloměrem.

Jaký index lomu by musela mít průhledná planparalelní deska tloušťky $d=1 \mathrm{cm}$, abychom při pohledu na ni viděli světlo, které do ní vniklo z druhé strany před rokem? A jak moc je daná situace reálná?

Magické pole Zeměplochy je natolik silné, že v něm světlo úplně ztratí smysl pro rychlost. To ovšem platí pouze v blízkosti povrchu, kde má index lomu magického pole hodnotu $n_0 = 2,00 \cdot 10^{6}$. S rostoucí výškou $h$ index lomu klesá podle vztahu $n(h) = n_0\eu ^{-kh}$, kde $k = 1,00 \cdot 10^{-7} \mathrm{m^{-1}}$. Určete, pod jakým úhlem vůči svislému směru musíme z jednoho konce Zeměplochy vyslat světelný signál, aby na druhý konec dorazil v co nejkratším čase. Průměr disku Zeměplochy je $d = 15\;000 \mathrm{km}$ a rychlost světla ve vakuu je $c = 3,00 \cdot 10^{8} \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.

Pták Fykosák našel na Matfyzu nehlídanou optickou lavici, která umožňuje rozmístit různé pomůcky podél optické osy, a začal si s ní hrát. Na osu umístil postupně bodový zdroj světla, první čočku, druhou čočku a stínítko se stejnými rozestupy (vzdálenost stínítka od zdroje je tedy třikrát větší než vzdálenost jakýchkoli dvou sousedních pomůcek). Na stínítku se vytvořil ostrý obraz zdroje. Fykosák potom celou soustavu ponořil do neznámé kapaliny, kterou našel v podivném kanystru. K jeho úžasu zůstal obraz na stínítku stále ostrý. Určete index lomu této kapaliny, jenž je určitě jiný než index lomu vzduchu, který můžete považovat za jednotkový. Jedna z čoček má desetkrát větší ohniskovou vzdálenost než druhá a obě jsou tenké a vyrobené z materiálu o indexu lomu $2$.